材料力学第04章第05章及附录习题课

1、1 附录附录:平面图形几何性质平面图形几何性质 主要公式主要公式静矩（一次矩）静矩（一次矩） z A s = ydA y A s = zdA 形心坐标形心坐标 zA ydA S y= AA y A zdA S z= AA ; 惯性矩（二次矩）惯性矩（二次矩） 2 z A I = y dA 2 y A I = z dA , 惯性半径惯性半径(回回 转半径转半径) y2 yyy I I =Aii = A 2 z zzz I I =Aii = A 2 极惯性矩极惯性矩 2 A I =dA yz A I = yzdA 惯性积惯性积 平行移轴定理平行移轴定理 2 yyC 2 zzC yzyCzC I =

2、I+a A I =I +b A I =I+abA 主惯性矩计算公式主惯性矩计算公式 0 0 2 yzyz2 yyz 2 yzyz2 zyz I +II -I I =+I 22 I +II -I I =-+I 22 主惯性轴方向主惯性轴方向 xy 0 yz 2I tan2=- I -I 3 习题习题.2确定图示梯形的形心位置确定图示梯形的形心位置 解：取参考坐标轴如图所示，平面解：取参考坐标轴如图所示，平面 图形对称于图形对称于z轴，形心轴，形心C必然在必然在z轴轴 上，故上，故 ,将此图形分成两个将此图形分成两个 三角形三角形 C y =0 12 11 A =bhA =ah 22 ； 12 C

3、C 12 z =hz =h 33 ； 12 1 C2 C C 12 1112 bhh+ ahh Az +A zh 2a+b 2323 z = 11 A+A3 a+b bh+ ah 22 4 确定图示图形的形心确定图示图形的形心 位置位置 解：取参考坐标轴解：取参考坐标轴 如图所示，平面图如图所示，平面图 形对称于形对称于z轴，形心轴，形心 C必然在必然在z轴上，故轴上，故, 将此图形分成三部将此图形分成三部 分，两个实矩形，分，两个实矩形， 一个空矩形一个空矩形 1 52 1C A=500 600=3 10 mmz =500mm， 2 52 2C A = 500-362600-40 =2.4

4、10 mmz =200+280=480mm， 3 52 3C A =200 600=1.2 10 mmz =100mm， 123 1C2C3C cC 123 A z -A z +A z 3 500-2.4480+1.2 100 z =z =260mm A -A +A3-2.4+1.2 5 习题习题.3用积分法求用积分法求Iy 解：取微分面积如图所示解：取微分面积如图所示 z dA=b z dz=b 1-dz h h 22 y 0 h 34343 0 z I = z dA= bz1-dz h zzhhbh =b-=b-= 34h34h12 6 习题习题.4确定图示图形的确定图示图形的IyC 解：

5、将图形分成三部分，计算三解：将图形分成三部分，计算三 个图形对参考坐标轴个图形对参考坐标轴y轴的惯性轴的惯性 矩，再利用平行移轴定理进行计矩，再利用平行移轴定理进行计 算算IyC yy1y2 2 33 33 I =2I +I 1b-a1h =2h +ah +ah 122122 11 =bh +ah 124 C h 2a+b z = 3 a+b C 2 yyc 2322 2 33 2 I =I -z A ha +4ab+b h2a+b111 =bh +ah -a+b h= 124236 a+b 9 a+b 7 习题习题.6计算计算 半圆对形心半圆对形心 轴的惯性矩轴的惯性矩 IyC 解：半圆形心

6、轴的位置，即确定解：半圆形心轴的位置，即确定OC的距离的距离 ，取微面，取微面 积积 ，所以，所以 C y dA= d d r 222 y 00 2 S = zdA=sin d d =dsin d =r 3 -1 2 y3 C S 2r4r y =r= A323 积分可得半圆对参考坐积分可得半圆对参考坐 标轴的惯性矩标轴的惯性矩 r 4 2 232 y A00 r I = z dA=sind d =dsind = 8 C 3 24 yy 4r1 I =I -r =0.11r 32 8 第四章弯曲内力第四章弯曲内力 梁梁 静定梁：由静力学方程可求出支反力静定梁：由静力学方程可求出支反力 超静定梁

7、：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全 部支反力。部支反力。 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩 梁的内力有剪力和弯矩梁的内力有剪力和弯矩,任一截面上的剪力和弯矩都可以任一截面上的剪力和弯矩都可以 表示为截面位置表示为截面位置x的函数，称为剪力方程和弯矩方程的函数，称为剪力方程和弯矩方程 剪力剪力:绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负 弯矩：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负 弯矩弯矩 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 剪力图：剪力方程的几何表示剪力图：剪力方程的

8、几何表示 弯矩图：弯矩方程的几何表示弯矩图：弯矩方程的几何表示 9 载荷集度剪力弯矩之间的微分关系和积分关系载荷集度剪力弯矩之间的微分关系和积分关系 xq x xQ d d s dFx q x dx )( d )(d xQ x xM s dM x Fx dx )( d )(d 2 2 xq x xM xx 11 xx 21s2s1 xx Q x-Q x =q x dx Fx-Fx =q x dx 或者 xx 11 xx 2121s xx M x-M x = Q x dx M x-M x =Fx dx 或者 10 平面刚架：平面刚架： 同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端相互刚性连同一平面内，不

9、同取向的杆件，通过杆端相互刚性连 接而组成的结构。接而组成的结构。 平面刚架特点：刚架各杆的内力有弯矩、剪力和轴力平面刚架特点：刚架各杆的内力有弯矩、剪力和轴力 平面刚架内力图规定：弯矩图：画在各杆的受拉一侧，平面刚架内力图规定：弯矩图：画在各杆的受拉一侧， 不注明正、负号。不注明正、负号。 剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧（通常正剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧（通常正 值画在刚架的外侧），但须注明正、负号。值画在刚架的外侧），但须注明正、负号。 11 习题习题4.6a图示组合梁图示组合梁BE段受到均布载荷作用段受到均布载荷作用,求支座求支座A、 B、D的反力和的反力和DC中点的

10、弯矩中点的弯矩 解：本题结构为静定组合梁解：本题结构为静定组合梁,以以CE段为研究对象段为研究对象 CRBRB M =0F2-223=0F =6kN CE梁通过铰接点梁通过铰接点C对对AD的作用力的作用力 6kN-4kN=2kN 以以AC段为研究对象段为研究对象 ARDRD 10 M =0F3-2 5=0F =kN 3 RA 104 F =-2=kN 33 DC中点的弯矩中点的弯矩M=2 1=2kN m下沿受拉下沿受拉 12 习题习题4.6求支座反力和求支座反力和AD中点的弯矩中点的弯矩 解：本题结构为静定组合梁解：本题结构为静定组合梁,以以BC 段为研究对象段为研究对象 BRCRC M =0

11、F2-501=0F=25kN 则则AB梁在梁在B点给点给BC向上的作用力是向上的作用力是,或者说则或者说则BC梁在梁在B点给点给AB 向下的作用力是向下的作用力是25kN 以以AB段为研究对象段为研究对象 yRA F =0F =50+25=75kN A M =50 2+25 4=200kN m上 沿 受 拉 AD中点的弯矩中点的弯矩 M=50 1+25 3=125kN m 13 习题习题4.7c求支座反力和求支座反力和EC中点的弯矩中点的弯矩 解：此题为平面刚架解：此题为平面刚架 xAx F =0R =3kN A Dy Dy M =0 R3m+1kN1m-8kN1m-4kN2m=0 R =5k

12、N yAy F =0R =8kN-5kN=3kN EC中点的弯矩中点的弯矩 M=5kN1m-1kN3m=2kN m 14 习题习题4.13d载荷和几何尺寸如图所示，载荷和几何尺寸如图所示， 求支座反力和指定求支座反力和指定AB中点的弯矩。中点的弯矩。 解解:本题结构为静定组合梁本题结构为静定组合梁,以以BD 段为研究对象段为研究对象 BRC 2 RCC 15 M =0F a-qaa=0 23 512qa F =qa M =-qaa= 6233 AB梁在梁在B点对点对BD梁的作用力梁的作用力 511 qa-qa=qa 623 BD梁在梁在B点对点对AB梁的作用力梁的作用力 1 qa 3 以以AB

13、段为研究对象段为研究对象 yRA 152 F =0F =qa+qa-qa=qa 263 2 A 111 M =qaa-qaa=-qa 326 上沿受拉上沿受拉 AB中点的弯矩中点的弯矩 2 1111 M=qaa-qaa 3224 1 =qa 24 下沿受拉下沿受拉 15 第第05章弯曲应力习题章弯曲应力习题 5.2简支梁承受均布载荷作用，如图所示简支梁承受均布载荷作用，如图所示,若分别采用面积相等的实若分别采用面积相等的实 心和空心圆截面心和空心圆截面,且实心圆的直径为且实心圆的直径为 ，空心管的外径内，空心管的外径内 径分别为径分别为 ， ,分别计算它们的最大正应力并做比较分别计算它们的最大

14、正应力并做比较 1 D =40mm 21 Dd和 2 2 d3 = D5 解解:先计算空心圆的内外径先计算空心圆的内外径,因为空心圆与实心圆的面积相等因为空心圆与实心圆的面积相等,所以所以 22 2222222 122122222 212122 34 D =D -dD =D -d =D -D=D 4455 45533 D =DD =D =40=50mm d =D =50=30mm 54455 在均布载荷作用下的简支梁在均布载荷作用下的简支梁,最大弯矩产生在梁的跨度中间截面上最大弯矩产生在梁的跨度中间截面上 22 max 11 M=ql =2 2 =1kN m 88 16 最大应力发生在梁跨度中

15、点处截面的上下边缘上最大应力发生在梁跨度中点处截面的上下边缘上 实心圆截面梁的最大正应力实心圆截面梁的最大正应力 max 3 M1000N m =159.2MPa 0.04W 32 实 实 空心圆截面梁的最大正应力空心圆截面梁的最大正应力 maxmax 3434 22 44 2 MM1000N m =93.6MPa W0.050.0332Dd 1-1- 320.05D 空 空 两种截面梁最大应力比较两种截面梁最大应力比较 - 159.1-93.6 =41.2% 159.1 空实 实 在均布载荷作用下的简支梁在均布载荷作用下的简支梁,最最 大剪力产生在梁端点截面上大剪力产生在梁端点截面上 kN2

16、ql 2 1 Fs MPaMPa A Fs 122591 3 4 020 2000 3 4 3 4 2 . . max 实 MPa MPa A Fs 183 59122 . . max 17 5.3某圆轴的外伸部分系空心圆截面某圆轴的外伸部分系空心圆截面,载荷工况如图所示载荷工况如图所示,做该做该 轴的弯矩图轴的弯矩图,并求轴的最大正应力并求轴的最大正应力 ARBRB M =0F1.4=5 0.4+3 1.2+3 1.7=10.7F =7.64kN yRARBRA F =0F +F5+3+3=11F =11-7.64=3.36kN C D B M =3.36kN0.4m=1.344kN m M

17、 =3.36kN1.2m-5 0.8=0.032kN m M =3kN0.3m=0.9kN m 下沿受拉 下沿受拉 上沿受拉 解解: 1.求反力求反力 2.关键点弯矩关键点弯矩 18 3.弯矩图弯矩图 4.惯性矩和抗弯截惯性矩和抗弯截 面系数面系数 35- 33 ZC 4 ZC m102.12 32 0.06 32 D W, 64 D I 35- 44 ZB 44 ZB m104489. 1 32D dD W, 64 dD I 5.最大应力最大应力 MPa4 .63 1012. 2 1000344. 1 W M 5 ZC C xCma MPa1 .62 104489. 1 10009 . 0

18、W M 5 ZB B xBma MPa4 .63 mac 19 5.4矩形截面悬臂梁如图所示矩形截面悬臂梁如图所示,已知已知 ,确定此梁的截面尺寸确定此梁的截面尺寸 MPa10,m/kN10q , 3 2 h b ,m4l 解：此梁的最大弯矩解：此梁的最大弯矩 上沿受拉mN80000mkN801610 2 1 ql 2 1 M 2 max 惯性矩和抗弯截面系数惯性矩和抗弯截面系数 18 h 12 bh I 43 Z 9 h 2/h I W 3 Z Z 强度条件决定几何尺寸强度条件决定几何尺寸 Z max max W M mbmh Mh 277. 0,416. 0 10 8 1010 80000

19、 9 36 max 3 20 5.5 已知已知20a工字梁的惯性矩工字梁的惯性矩 ，抗弯截面系，抗弯截面系 数数 ，支承情况和受力情况如图所示，支承情况和受力情况如图所示， ， 求最大载荷求最大载荷 4 Z cm2370I 3 Z cm237W MPa160 解解 1.支座反力支座反力 F 3 1 F0F2F46F0M F 3 1 F0F2F46F0M yAyAB yByBA 2.关键点弯矩关键点弯矩 mN0M mmNFN 3 2 F2-F 3 4 M mFN 3 2 M mkN0M B D C A 上沿受拉 下沿受拉 3.弯矩图弯矩图 21 强度条件决定载荷强度条件决定载荷 56.88kN5

20、6880NF 10160 10237 F 3 2 W M 6 6- Z max max 22 5.12倒倒T形截面铸铁悬臂梁，尺寸及载荷如图所示，材料的拉形截面铸铁悬臂梁，尺寸及载荷如图所示，材料的拉 伸许用应力为伸许用应力为 ，压缩许用应力为，压缩许用应力为 ， 截面对形心轴的惯性矩截面对形心轴的惯性矩 ， ，试计算，试计算 梁的许可载荷梁的许可载荷F，并求最大切应力（后一问题为，并求最大切应力（后一问题为5.28题）题） 40MPa t 160MPa c 4 zC 10180cmI9.64cmh1 解：先做弯矩图和剪力图解：先做弯矩图和剪力图 23 在在A点截面上点截面上 52.8kN52

21、800.8NF Pa1040 10101.8 0.09640.8F 40MPa I h0.8F 6 6- t zC 1 tA 132.6kN132552.1NF Pa10160 10101.8 0.15360.8F 160MPa I h0.8F 6 -6 c zC 2 cA 在在C点截面上点截面上 218.6kN218604NF Pa10160 10101.8 0.09640.6F 160MPa I h0.6F 6 6- c zC 1 cC 44.2kN44184NF Pa1040 10101.8 0.15360.6F 40MPa I h0.6F 6 -6 t zC 2 tC 44.2kNFmax 24 剪力算法一剪力算法一 5.12MPa