深化数学课程改革落实数学核心素养(杭州,初中)

1、深化数学课程改革深化数学课程改革 落实数学核心素养落实数学核心素养 人民教育出版社人民教育出版社 章建跃章建跃 一、一、课改的背景和任务课改的背景和任务 教教育育改改革革是社会发展改革整体的有机组成是社会发展改革整体的有机组成 部分，以国家社会发展改革为背景，要结部分，以国家社会发展改革为背景，要结 合国家社会发展与改革的需要来思考。合国家社会发展与改革的需要来思考。 进入进入国家治理国家治理阶段，与国家统治、国家主阶段，与国家统治、国家主 导阶段不同，导阶段不同，最根本的着眼点是深化综合最根本的着眼点是深化综合 改革，理顺各方面的关系。教育改革也要改革，理顺各方面的关系。教育改革也要 抓住抓

2、住“深化深化”、“综合综合”的要求而持续推的要求而持续推 进。进。 五中全会精神五中全会精神 十八届五中全会公报中，强调创新、协调十八届五中全会公报中，强调创新、协调 、绿色、开放、共享的发展理念。、绿色、开放、共享的发展理念。 坚持创新发展，必须把创新摆在国家发展坚持创新发展，必须把创新摆在国家发展 全局的核心位置，不断推进理论创新、制全局的核心位置，不断推进理论创新、制 度创新、科技创新、文化创新等各方面创度创新、科技创新、文化创新等各方面创 新，让创新贯穿党和国家一切工作，让创新，让创新贯穿党和国家一切工作，让创 新在全社会蔚然成风。新在全社会蔚然成风。 推动物质文明和精神文明协调发展，

3、加快推动物质文明和精神文明协调发展，加快 文化改革发展，加强社会主义精神文明建文化改革发展，加强社会主义精神文明建 设，建设社会主义文化强国，加强思想道设，建设社会主义文化强国，加强思想道 德建设和社会诚信建设，增强国家意识、德建设和社会诚信建设，增强国家意识、 法治意识、社会责任意识，倡导科学精神法治意识、社会责任意识，倡导科学精神 ，弘扬中华传统美德。，弘扬中华传统美德。 开放发展，提高教育质量，推动义务教育开放发展，提高教育质量，推动义务教育 均衡发展，普及高中阶段教育，逐步分类均衡发展，普及高中阶段教育，逐步分类 推进中等职业教育免除学杂费，率先从建推进中等职业教育免除学杂费，率先从建

4、 档立卡的家庭经济困难学生实施普通高中档立卡的家庭经济困难学生实施普通高中 免除学杂费，实现家庭经济困难学生资助免除学杂费，实现家庭经济困难学生资助 全覆盖。全覆盖。 全面全面提高教育质量提高教育质量 “全面贯彻党的教育方针，落实立德树人全面贯彻党的教育方针，落实立德树人 根本任务，加强社会主义核心价值观教育根本任务，加强社会主义核心价值观教育 ，培养德智体美全面发展的社会主义建设，培养德智体美全面发展的社会主义建设 者和接班人。深化教育改革，把增强学生者和接班人。深化教育改革，把增强学生 社会责任感、创新精神、实践能力作为重社会责任感、创新精神、实践能力作为重 点任务贯彻到国民教育全过程。点

5、任务贯彻到国民教育全过程。” 推动义务教育均衡发展，全面提高教育教推动义务教育均衡发展，全面提高教育教 学质量学质量。 我国教育的规模问题已经解决。我国教育的规模问题已经解决。2010年教年教 育发展与改革的中长期规划纲要中提出，育发展与改革的中长期规划纲要中提出， 我国教育面临的主要任务是解决内涵质量我国教育面临的主要任务是解决内涵质量 的问题，解决育人模式改革的问题。这就的问题，解决育人模式改革的问题。这就 需要在已有课改的基础上深化改革，而我需要在已有课改的基础上深化改革，而我 们面临的问题错综复杂，许多都是两难问们面临的问题错综复杂，许多都是两难问 题，因此改革具有综合性，需要整体考虑

6、题，因此改革具有综合性，需要整体考虑 。 课改的根本任务：立德树人课改的根本任务：立德树人 以核心素养为纲以核心素养为纲 中国学生发展核心素养中国学生发展核心素养：学生发展核心素学生发展核心素 养，是指学生应具备的、能够适应终身发展和养，是指学生应具备的、能够适应终身发展和 社会发展需要的必备品格和关键能力社会发展需要的必备品格和关键能力。 三大领域的三大领域的9大素养大素养：社会参与领域的社会责社会参与领域的社会责 任、国家认同、国际理解任、国家认同、国际理解；文化修养领域的人文化修养领域的人 文底蕴、科学精神、审美情趣文底蕴、科学精神、审美情趣；自主发展领域自主发展领域 的身心健康、学会学

7、习、实践创新。的身心健康、学会学习、实践创新。 科学精神科学精神 主要是个体在学习、理解、运用科学知识主要是个体在学习、理解、运用科学知识 和技能等方面表现的价值标准、思维方式和技能等方面表现的价值标准、思维方式 和行为规范和行为规范。具体指标是：。具体指标是： 崇尚真知。重点是认识科学本质与价值，崇尚真知。重点是认识科学本质与价值， 养成崇尚科学的精神；掌握基本的科学知养成崇尚科学的精神；掌握基本的科学知 识与技术，形成科学思维的方式与习惯；识与技术，形成科学思维的方式与习惯； 追求真理，坚持真理，不畏权威追求真理，坚持真理，不畏权威。 理性思维。重点是具备严谨求实的科学态理性思维。重点是具

8、备严谨求实的科学态 度，形成实事求是、求真务实的知行方式度，形成实事求是、求真务实的知行方式 ；具备较强的抽象思维与逻辑推理能力；具备较强的抽象思维与逻辑推理能力； 能运用归纳与概括、推演与计算、模型与能运用归纳与概括、推演与计算、模型与 建模等理性思维方法来认识和探讨各种自建模等理性思维方法来认识和探讨各种自 然与社会现象，解决各种问题然与社会现象，解决各种问题。 勇于探究。重点是能够坚持不懈地探究科勇于探究。重点是能够坚持不懈地探究科 学问题；能够基于问题提出设想，收集证学问题；能够基于问题提出设想，收集证 据，合理分析论证并得出结论、做出解释据，合理分析论证并得出结论、做出解释 和交流结

9、果；初步形成设计与执行实验、和交流结果；初步形成设计与执行实验、 进行定性和定量分析的能力进行定性和定量分析的能力。 学会学习学会学习 主要表现为个体在学习态度、方式、方法主要表现为个体在学习态度、方式、方法 、进程等方面的选择、评估与调控、进程等方面的选择、评估与调控，具体，具体 指标是：指标是： 乐学善学。重点是理解学习的意义，形成乐学善学。重点是理解学习的意义，形成 终身学习的意识；善于把握知识内在联系终身学习的意识；善于把握知识内在联系 ，注重知识形成过程与迁移运用；具备较，注重知识形成过程与迁移运用；具备较 强自学能力，善于与他人合作学习，具备强自学能力，善于与他人合作学习，具备 自

10、主学习和资源利用的能力；养成适应教自主学习和资源利用的能力；养成适应教 育信息化时代的学习方式与学习习惯育信息化时代的学习方式与学习习惯。 勤于反思。重点是理解自己的学习状况与勤于反思。重点是理解自己的学习状况与 特点，懂得监控、反思、调整和评价自己特点，懂得监控、反思、调整和评价自己 各方面的学习状态；根据自己的学习风格各方面的学习状态；根据自己的学习风格 和特长，积极运用和主动调适各种有效学和特长，积极运用和主动调适各种有效学 习策略和方法；习策略和方法； 善于领悟别人的学习经验善于领悟别人的学习经验 并有效地改进自己的学习并有效地改进自己的学习。 数字学习。重点是具备较强的信息意识，数字

11、学习。重点是具备较强的信息意识， 能明确信息需求，有效获取、处理、判断能明确信息需求，有效获取、处理、判断 、分析、评价和应用信息；主动适应、分析、评价和应用信息；主动适应“互互 联网联网”等社会信息化趋势；具备信息化等社会信息化趋势；具备信息化 社会相应的安全意识、社会道德与伦理行社会相应的安全意识、社会道德与伦理行 为为。 实践创新实践创新 批判质疑。重点是具备强烈的探索意识与批判批判质疑。重点是具备强烈的探索意识与批判 精神，以开放心态和辩证思维看待事物；能从精神，以开放心态和辩证思维看待事物；能从 不同视角分析问题，敢于对前人的观点提出质不同视角分析问题，敢于对前人的观点提出质 疑，敢

12、于提出自己不同的看法与观点；能坚持疑，敢于提出自己不同的看法与观点；能坚持 独立判断、不随大流独立判断、不随大流。 问题解决。重点是具有强烈的问题意识，善于问题解决。重点是具有强烈的问题意识，善于 发现与提出问题；能综合运用各种知识合理地发现与提出问题；能综合运用各种知识合理地 解决问题；能通过发散思维和丰富想象力创新解决问题；能通过发散思维和丰富想象力创新 性地组合知识解决问题；具有创客意识，善于性地组合知识解决问题；具有创客意识，善于 将创新想法付之于实践将创新想法付之于实践。 学科教学以学科核心素养为纲学科教学以学科核心素养为纲 学科学科核心核心素养素养学科为学生提供什么、学科为学生提供

13、什么、 知识知识所蕴含的长期利益所蕴含的长期利益是什么是什么。 数学学科核心素养：数学学科核心素养：数学抽象、逻辑推理数学抽象、逻辑推理 、数学建模、直观想象、数学运算和数据、数学建模、直观想象、数学运算和数据 分析分析。 不是去学科化，而是学科本质化，学科不是去学科化，而是学科本质化，学科教教 育在人的发展中育在人的发展中要做出哪些独特贡献要做出哪些独特贡献； 不是为了考试的功不是为了考试的功利利性目标。性目标。 二、二、数学课改的数学课改的核心核心任务任务 十八大提出的十八大提出的“教育的根本任务在于立德教育的根本任务在于立德 树人树人”就是整个教育改革的核心任务。就是整个教育改革的核心任

14、务。 数学教育的核心任务是数学教育的核心任务是“数学育人数学育人”。 如何把这个要求在如何把这个要求在数学教育数学教育中落实下来，中落实下来， 在在课程教材课程教材中体现出来中体现出来，在课堂教学中，在课堂教学中实实 施下去施下去？ 要把要把“立德树人立德树人”的要求具体化，体现在的要求具体化，体现在 教学内容和教学过程中，转化为一种可操教学内容和教学过程中，转化为一种可操 作的行动，转化为数学育人的具体作的行动，转化为数学育人的具体措施措施。 教育部的顶层设计，数学学科的教育部的顶层设计，数学学科的“立德树人立德树人” 目标，首先体现在数学学科的核心素养上目标，首先体现在数学学科的核心素养上

15、。 义教课标中提出了义教课标中提出了八八个个“核心概念核心概念”：数感、：数感、 符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观 念、运算能力、推理能力、模型思想；念、运算能力、推理能力、模型思想； 高中课标修订组进一步提炼了六个数学学科核高中课标修订组进一步提炼了六个数学学科核 心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数 学运算、直观想象、数据分析。学运算、直观想象、数据分析。 数学课改的数学课改的核心核心任务任务是提升学生的数学学科核是提升学生的数学学科核 心素养，心素养，要有具体措施要有具体措施，要要把数学学科核心素

16、把数学学科核心素 养的培育落实在养的培育落实在数学教育的数学教育的各个环节。各个环节。 三、三、提升学生核心素养的思考点提升学生核心素养的思考点 “学科育人学科育人”要依靠学科的内在力量。要依靠学科的内在力量。 “数学育人数学育人”要要用数学的方式，在用数学的方式，在数学内数学内 部挖掘育人资源，并使它们在数学教育的部挖掘育人资源，并使它们在数学教育的 各个环节中发挥作用。各个环节中发挥作用。 从数学的学科本质出发开展思考和研究：从数学的学科本质出发开展思考和研究： 数学数学到底是一门怎样的到底是一门怎样的学科学科？其？其独特的、独特的、 别的学科不能替代的育人功能到底在哪里别的学科不能替代的

17、育人功能到底在哪里 ？怎样教才能实现这些育人功能？这样教？怎样教才能实现这些育人功能？这样教 的效果如何？的效果如何？ 树立课程意识树立课程意识 （1）我教的是一门怎样的课）我教的是一门怎样的课课程性质课程性质 （2）这门课这门课能发挥怎样的育人功能，在学生能发挥怎样的育人功能，在学生 发展中的不可替代作用是什么发展中的不可替代作用是什么课程目标课程目标 （3）如何教这门课）如何教这门课课程实施课程实施 （4）这样教在多大程度上实现了它的育人功）这样教在多大程度上实现了它的育人功 能能课程评价课程评价 数学是这样的学科数学是这样的学科 数学是研究数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学数量关系

18、和空间形式的科学。数学 源于对现实世界的抽象，基于抽象结构，通过源于对现实世界的抽象，基于抽象结构，通过 符号运算、形式推理、模型构建等理解和表达符号运算、形式推理、模型构建等理解和表达 现实世界中事物的本质、关系与规律。现实世界中事物的本质、关系与规律。 数学是思维的科学，数学教学是思维的教学数学是思维的科学，数学教学是思维的教学 数学对于发展学生的思维是至关重要的。数学对于发展学生的思维是至关重要的。 数学是一门语言，与语文有相似的特性，它有数学是一门语言，与语文有相似的特性，它有 自己的一套独立的符号系统和严谨的表达方式自己的一套独立的符号系统和严谨的表达方式 阅读、表达的工具。阅读、表

19、达的工具。 数学学科的独特育人功能数学学科的独特育人功能 主要在培养学生的思维特别是逻辑思维上主要在培养学生的思维特别是逻辑思维上 ，要使学生学会思考，特别是学会，要使学生学会思考，特别是学会“有逻有逻 辑地思考辑地思考”、创造性思考、创造性思考，使，使学学生成为善生成为善 于认识问题、于认识问题、善于善于解决问题的人才。解决问题的人才。 学会使用学会使用数学数学语言，能用数学的方式阅读语言，能用数学的方式阅读 、表达和交流。、表达和交流。 怎样才算读懂了这段教材怎样才算读懂了这段教材 人教版七年级上册人教版七年级上册4.3 角角 （1）对一个几何图形）对一个几何图形角的完整研究。角的完整研究

20、。 一般而言，研究一个几何图形，其基本结一般而言，研究一个几何图形，其基本结 构是：构是： 引入引入概念概念性质性质联系联系应用应用 角角与线段、面积、体积等一样，需要与线段、面积、体积等一样，需要 解决度量与计算问题。解决度量与计算问题。 （2）定义一个几何对象需要做哪些事？）定义一个几何对象需要做哪些事？ 观察与分析：典型、丰富的具体事例的共观察与分析：典型、丰富的具体事例的共 同特征；同特征； 归纳与概括：本质特征、概念内涵、要素归纳与概括：本质特征、概念内涵、要素 等，下定义；等，下定义； 表示：图形表示、符号表示、语言表示；表示：图形表示、符号表示、语言表示； 分类分类思考：为何要分

21、类？如何分类？思考：为何要分类？如何分类？ （3）关于角的度量）关于角的度量 认识几何度量的五个阶段认识几何度量的五个阶段 量的初步认识（直观感知量的初步认识（直观感知“量量”，直观或，直观或 直接比较直接比较“量量”的大小）；的大小）； 量的间接比较（用非标准单位或用另一个量的间接比较（用非标准单位或用另一个 量为量为“中介中介”比较）；比较）； 认识国际通用单位并用其描述大小；认识国际通用单位并用其描述大小； 国际通用单位体系的认识与换算；国际通用单位体系的认识与换算； 利用公式求量的大小（只有面积和体积有利用公式求量的大小（只有面积和体积有 此阶段）。此阶段）。 之所以有相同的认识过程，

22、是因为这些几之所以有相同的认识过程，是因为这些几 何量的数学结构相同，核心要素是：何量的数学结构相同，核心要素是： 度量单位（从不标准单位到标准单位，并度量单位（从不标准单位到标准单位，并 形成单位体系）；形成单位体系）； 单位的个数就是量的大小。单位的个数就是量的大小。 度量的性质是：度量的性质是： 运动不变性；运动不变性； 叠合性；叠合性； 有限可加（减）性；有限可加（减）性； 不可公度性。不可公度性。 在这些在这些“量量”中，中，“长度长度”（一维空间的（一维空间的 延展）是最基本也是最简单的，其次就是延展）是最基本也是最简单的，其次就是 面积（二维空间的延展）。因此，解决几面积（二维空

23、间的延展）。因此，解决几 何度量问题，核心思想是把研究对象看成何度量问题，核心思想是把研究对象看成 一个一个“量量”，并用一个数来描述它。而学，并用一个数来描述它。而学 习的五个阶段，习的五个阶段， 就是从定性到定量，最终就是从定性到定量，最终 用一个数来描述几何量，或建立一个公式用一个数来描述几何量，或建立一个公式 来求几何量的数值。来求几何量的数值。 这里是衔接小学阶段，完善角度制，同时这里是衔接小学阶段，完善角度制，同时 提及弧度制；介绍角的测量工具。提及弧度制；介绍角的测量工具。 （4）关于角的性质）关于角的性质 思考：什么叫角的性质？如何研究角的性思考：什么叫角的性质？如何研究角的性

24、 质？质？ 几何学研究几何图形的形状、大小和位置几何学研究几何图形的形状、大小和位置 关系，大小关系是最基本的性质；特殊的关系，大小关系是最基本的性质；特殊的 大小关系也是性质；等。于是有：大小关系也是性质；等。于是有： 角的大小比较角的大小比较如何比？定性、定量如何比？定性、定量 角的特殊关系角的特殊关系相等，引申出角的平分相等，引申出角的平分 线、三等分线，如何作图？（尺规作图不线、三等分线，如何作图？（尺规作图不 能问题）能问题） 特殊的大小关系：余角、补角。特殊的大小关系：余角、补角。 对于特殊的图形、关系，一般有两个互逆对于特殊的图形、关系，一般有两个互逆 问题：性质、判定。所以，这

25、里有进一步问题：性质、判定。所以，这里有进一步 的问题是：的问题是： 角平分线的性质与判定，余角、补角的性角平分线的性质与判定，余角、补角的性 质与判定。质与判定。 （5）关于角的计算）关于角的计算 主要是两类：主要是两类： 和、差、倍、半等的作图问题，注意：作和、差、倍、半等的作图问题，注意：作 图也属于计算；图也属于计算； 度分秒的换算问题。度分秒的换算问题。 以数学知识为载体发展学生的以数学知识为载体发展学生的核心素养核心素养 数学对象的获得，要注重数学对象的获得，要注重数学与现实之间的数学与现实之间的联联 系系，也要注重数学内在的前后一致、逻辑连贯也要注重数学内在的前后一致、逻辑连贯

26、性，从这两个方面发现和提出问题，提升数学性，从这两个方面发现和提出问题，提升数学 抽象、直观想象等素养；抽象、直观想象等素养； 对对数学数学对象的对象的研究研究，要注重以，要注重以“一般观念一般观念”为为 引导发现规律、获得猜想，通过数学的推理、引导发现规律、获得猜想，通过数学的推理、 论证证明结论（定理、性质等）的过程，提升论证证明结论（定理、性质等）的过程，提升 推理、运算等素养；推理、运算等素养； 应用数学知识解决问题，要注重利用数学概念应用数学知识解决问题，要注重利用数学概念 原理分析实际问题，体现建模的全过程，学会原理分析实际问题，体现建模的全过程，学会 分析数据，从数据中挖掘信息等

27、。分析数据，从数据中挖掘信息等。 “两个过程两个过程”的合理性的合理性 从数学知识发生发展过程的合理性、学生从数学知识发生发展过程的合理性、学生 思维过程的合理性上加强思考，这是落实思维过程的合理性上加强思考，这是落实 数学学科核心素养的关键点。数学学科核心素养的关键点。 前一个的核心是数学的学科思想问题，后前一个的核心是数学的学科思想问题，后 一个是学生的思维规律、认知特点问题。一个是学生的思维规律、认知特点问题。 以以发展学生发展学生数学素养为追求，根据学生的数学素养为追求，根据学生的 认知规律，螺旋上升地安排教材内容，特认知规律，螺旋上升地安排教材内容，特 别是要让重要的（往往也是难以一

28、次完成别是要让重要的（往往也是难以一次完成 的）数学概念、思想方法得到反复理解的的）数学概念、思想方法得到反复理解的 机会。机会。 以以“事实事实概念概念性质（关系）性质（关系） 结构（联系）结构（联系）应用应用”为明线；为明线； 以以“事实事实方法方法方法论方法论数学学数学学 科本质观科本质观”为暗线。为暗线。 从数学思维、思想或核心素养角度看从数学思维、思想或核心素养角度看 “事实事实概念概念”主要是主要是“抽象抽象”（对典型而丰富对典型而丰富 的具体事例进行观察、比较、分析的具体事例进行观察、比较、分析，归纳共性归纳共性，抽抽 象出共同本质特征，并推广到同类事物中去而得出象出共同本质特征

29、，并推广到同类事物中去而得出 概念概念）；）； “概念概念性质性质”主要是主要是“推理推理”，包括通过归纳，包括通过归纳 推理发现性质，通过（逻辑）演绎推理证明性质；推理发现性质，通过（逻辑）演绎推理证明性质； “性质性质结构结构”主要也是主要也是“推理推理”，是建立相关，是建立相关 知识之间的联系而形成结构功能良好、迁移能力强知识之间的联系而形成结构功能良好、迁移能力强 大的数学认知结构的过程；大的数学认知结构的过程； “概念、性质、结构概念、性质、结构应用应用”主要是主要是“建模建模”， 是用是用数学数学知识解决数学内外的问题。知识解决数学内外的问题。 在整个教在整个教学学过程中，都要发挥

30、过程中，都要发挥“一般观念一般观念 ”的作用，加强的作用，加强“如何思考如何思考”、“如何发如何发 现现”的启发和引导，特别是在概念的抽象的启发和引导，特别是在概念的抽象 要做什么要做什么、“几何性质几何性质”“”“代数性质代数性质”“”“ 函数性质函数性质”指什么等问题上要及时引导，指什么等问题上要及时引导， 以使学生明确思考方向。以使学生明确思考方向。 “不在不在知其然知其然，而在，而在知其所以然知其所以然；不在；不在知知 其所以然，其所以然，而在何而在何由以知其所以然由以知其所以然”； “启发学启发学者者，示以思维之道，示以思维之道耳耳”。 当前的教学，主要问题是数学没有讲好，当前的教学

31、，主要问题是数学没有讲好， 老师不知道如何老师不知道如何“示以思维之道示以思维之道”，教材，教材 对此应当有所作为。对此应当有所作为。 四、教师专业发展的三大基石四、教师专业发展的三大基石 理解数学理解数学 理解学生理解学生 理解教学理解教学 特别是，特别是，“内容所反映的数学思想方法内容所反映的数学思想方法” 的理解水平决定了理解数学的高度，同时的理解水平决定了理解数学的高度，同时 也决定了教学所能达到的水平和效果。也决定了教学所能达到的水平和效果。 “理解数学理解数学”到底要理解什么？到底要理解什么？ 理解数学理解数学理解数学知识的意蕴。理解数学知识的意蕴。 知识的意蕴就是知识所蕴含的理性

32、内涵，知识的意蕴就是知识所蕴含的理性内涵， 包括知识的价值、知识的精神、知识的情包括知识的价值、知识的精神、知识的情 感等，它是知识的精义和主旨所在。感等，它是知识的精义和主旨所在。 数学知识的意蕴与数学的文化价值、美育数学知识的意蕴与数学的文化价值、美育 价值有着天然联系。价值有着天然联系。 只有感知和领悟了数学知识的意蕴，才能理解只有感知和领悟了数学知识的意蕴，才能理解 数学的基本思想，才能领会数学思维的奥秘，数学的基本思想，才能领会数学思维的奥秘， 才能把握数学的基本方法。所以，理解数学知才能把握数学的基本方法。所以，理解数学知 识的意蕴是形成数学学科核心素养的前提。识的意蕴是形成数学学

33、科核心素养的前提。 数学知识的意蕴是启动、维持与深化认识活动数学知识的意蕴是启动、维持与深化认识活动 的原动力，是推动数学知识产生的内在根本力的原动力，是推动数学知识产生的内在根本力 量。所以，从数学学习的角度看，使学生感悟量。所以，从数学学习的角度看，使学生感悟 数学知识的意蕴是培养学生数学地认识问题和数学知识的意蕴是培养学生数学地认识问题和 解决问题能力的根基所在。解决问题能力的根基所在。 从培养创新人才出发从培养创新人才出发,应围绕应围绕“数量关系数量关系” 、“空间形式空间形式”、“数形结合数形结合”和和“公理公理 化思想化思想”这四条主线这四条主线,让让学生学生有机会体会和有机会体会

34、和 认识一些数学本源性问题，例如引发某个认识一些数学本源性问题，例如引发某个 数学分支创立的基本问题数学分支创立的基本问题,创立过程中出现创立过程中出现 的瓶颈和突破的关键思想的瓶颈和突破的关键思想,以及从定性到精以及从定性到精 确定量的基本过程等。确定量的基本过程等。 数学对象是怎么抽象出来的；有哪些问题数学对象是怎么抽象出来的；有哪些问题 值得研究，如何构建研究路径，如何形成值得研究，如何构建研究路径，如何形成 研究方法；如何用已有知识去解决问题，研究方法；如何用已有知识去解决问题， 发展新知识；等等。发展新知识；等等。 例例1 几个几个“简单简单”概念的理解概念的理解 空间中的空间中的“

35、位置位置”差异用什么表示？差异用什么表示？ 空间中的空间中的“方向方向”差异用什么表示？差异用什么表示？ 如何刻画直线的如何刻画直线的“直直”？ 如何刻画平面的如何刻画平面的“平平”？ “位置位置”是宇宙空间的最基本要素，位置是宇宙空间的最基本要素，位置 用用“点点”表示；表示； 直线段是连接两点的最短通路，两个点的直线段是连接两点的最短通路，两个点的 位置差异用有向线段的长度表示；位置差异用有向线段的长度表示； 两个两个“方向方向”的差异用角度表示；的差异用角度表示； 直线的直线的“直直”用点与点、点与线之间的位用点与点、点与线之间的位 置关系来刻画；置关系来刻画； 平面的平面的“平平”用点

36、、直线与平面的位置关用点、直线与平面的位置关 系刻画，特别是用直线的直来刻画。系刻画，特别是用直线的直来刻画。 例例2 从自然数系到有理数系从自然数系到有理数系 什么叫自然数？如何引入自然数？什么叫自然数？如何引入自然数？ 为什么要引入分数、负数？如何理解分数为什么要引入分数、负数？如何理解分数 概念？如何引入分数、负数？概念？如何引入分数、负数？ 什么叫加法？什么叫乘法？什么叫乘方？什么叫加法？什么叫乘法？什么叫乘方？ 自然数乃是大自然之数。自然数乃是大自然之数。 自然数系是人们用来数自然数系是人们用来数“个数个数”的工具，的工具， 其本质是一个顺序排列的体系，它是以其本质是一个顺序排列的体

37、系，它是以1为为 起点，然后逐个加起点，然后逐个加1以至无穷而生成的。所以至无穷而生成的。所 以，自然数系最原始根本的结构是以，自然数系最原始根本的结构是“+”运运 算。算。 自然数系的运算及其运算律是代数学的出自然数系的运算及其运算律是代数学的出 发点。发点。 代数的根本在于数的运算和运算律。代数的根本在于数的运算和运算律。 由自然数系最根本原始的结构，可以归纳由自然数系最根本原始的结构，可以归纳 地定义自然数系的加、乘和乘方运算：地定义自然数系的加、乘和乘方运算： 加法是加法是“+1”的复合，即的复合，即a+(n+1)=(a+n)+1 ； 乘法是自相加的缩写，即乘法是自相加的缩写，即(n+

38、1)a=na+a； 乘方是自相乘的缩写，即乘方是自相乘的缩写，即an+1 =ana。 以这些定义为起点，用数学归纳法可以证以这些定义为起点，用数学归纳法可以证 明算术运算的运算律。明算术运算的运算律。 数系扩充的基本思想数系扩充的基本思想 数学推广过程的一个重要特性是：使得在数学推广过程的一个重要特性是：使得在 原来范围内成立的规律在更大的范围内仍原来范围内成立的规律在更大的范围内仍 然成立。然成立。 数系扩充：引入一种新数（如何引入）；数系扩充：引入一种新数（如何引入）； 定义其运算（如何定义）；满足怎样的运定义其运算（如何定义）；满足怎样的运 算律。算律。 扩充的基本原则是：使算术运算的运

39、算律扩充的基本原则是：使算术运算的运算律 保持不变。保持不变。 “有理数有理数”的结构的结构 背景引入背景引入现实的背景、数学内在的逻辑必然现实的背景、数学内在的逻辑必然 性；性； 定义定义外延列举式；外延列举式； 表示表示符号、图形；符号、图形； 分类分类分类标准的确定；分类标准的确定； 性质性质相反数、绝对值、大小关系等；相反数、绝对值、大小关系等； 运算和运算律运算和运算律如何定义运算法则？运算法则如何定义运算法则？运算法则 需要证明吗？运算律与运算法则的关系？运算律需要证明吗？运算律与运算法则的关系？运算律 如何证明？为什么（如何证明？为什么（1）（1）1？ 这段教材是这段教材是 如何

40、渗透数如何渗透数 系扩充基本系扩充基本 思想的思想的 使算术运算使算术运算 的运算律保的运算律保 持不变。持不变。 理解数学知识的三重境界理解数学知识的三重境界 知其然知其然 知其所以然知其所以然 何由以知其所以然何由以知其所以然 启发学生，示以思维之道耳！启发学生，示以思维之道耳！ 五、数学思维再认识五、数学思维再认识 思维是指理性认识，或指理性认识的过程思维是指理性认识，或指理性认识的过程 ，它是人脑对客观事物能动的、间接的和，它是人脑对客观事物能动的、间接的和 概括的反映，包括逻辑思维和形象思维，概括的反映，包括逻辑思维和形象思维， 但通常是指逻辑思维。但通常是指逻辑思维。 思维的工具是

41、语言；思维的工具是语言； 思维的形式是概念、判断、推理等；思维的形式是概念、判断、推理等； 思维的方法是抽象、归纳、演绎、分析和思维的方法是抽象、归纳、演绎、分析和 综合等。综合等。 一个结构一个结构 数学地认识事物数学地认识事物的的基本结构：定义概念基本结构：定义概念 推导性质推导性质建立联系建立联系实践应用。实践应用。 先从数、形的角度抽象事物的本质属性，先从数、形的角度抽象事物的本质属性， 定义概念从而明确数学对象；探索对象的定义概念从而明确数学对象；探索对象的 要素与要素、要素与环境等之间的关系和要素与要素、要素与环境等之间的关系和 相互作用而获得性质；建立相关知识的联相互作用而获得性

42、质；建立相关知识的联 系而形成知识体系；应用所得知识解决数系而形成知识体系；应用所得知识解决数 学内外的问题，并深化认识、拓展新知。学内外的问题，并深化认识、拓展新知。 这是一个螺旋上升、逐渐深入的过程。这是一个螺旋上升、逐渐深入的过程。 两个方向（方面）两个方向（方面） 数学思维有两个相辅相成的方向或方面数学思维有两个相辅相成的方向或方面归归 纳和演绎。在对某一数学领域或对象的探索认纳和演绎。在对某一数学领域或对象的探索认 知过程中，一方面要从具体事例的实验、分析知过程中，一方面要从具体事例的实验、分析 中归纳其本质，获得数学猜想、命题等；另一中归纳其本质，获得数学猜想、命题等；另一 方面又

43、要用逻辑推理、数理分析去研讨业已认方面又要用逻辑推理、数理分析去研讨业已认 知的本质，证明猜想，发现新的性质，认知相知的本质，证明猜想，发现新的性质，认知相 关概念的联系性和一致性，直至形成不同学科关概念的联系性和一致性，直至形成不同学科 统一性的认知。数学思维中，归纳和演绎的配统一性的认知。数学思维中，归纳和演绎的配 合，往往能相互为用、相得益彰，产生意想不合，往往能相互为用、相得益彰，产生意想不 到的效果。到的效果。 代数代数归纳地发现归纳地发现 三种语言三种语言 数学思维的工具数学思维的工具：符号语言、图形语言和符号语言、图形语言和 普通文字语言。普通文字语言。 数学有自己的符号体系和表

44、达方式，它使数学有自己的符号体系和表达方式，它使 人们能方便、简捷地呈现数学思想和成果人们能方便、简捷地呈现数学思想和成果 。数学符号是内涵丰富的。数学符号是内涵丰富的“信息块信息块”，因，因 而成为数学思维活动的理想载体。另外，而成为数学思维活动的理想载体。另外， 数学符号语言能缩短数学思维过程，使之数学符号语言能缩短数学思维过程，使之 变得简约、精练。变得简约、精练。 四种形式四种形式 数学思维的基本形式数学思维的基本形式： 逻辑推理逻辑推理 代数运算代数运算 几何直观几何直观 数形结合数形结合 逻辑推理逻辑推理 逻辑推理是数学思维的主要形式，是从一逻辑推理是数学思维的主要形式，是从一 些

45、数学事实、概念、定理出发，依据逻辑些数学事实、概念、定理出发，依据逻辑 规则推出结论的思维过程。规则推出结论的思维过程。 认识问题的要点在于把认识问题的要点在于把握握好本质，发现问好本质，发现问 题；解决问题的任务是运用题；解决问题的任务是运用“已知已知”之性之性 质去推论质去推论“待知待知”之性质。概括言之，乃之性质。概括言之，乃 是在性质层面的一种以简驭繁。而逻辑推是在性质层面的一种以简驭繁。而逻辑推 理就是这种以简驭繁的实践与步骤。理就是这种以简驭繁的实践与步骤。 代数运算代数运算 “代数学的根源在于代数运算代数学的根源在于代数运算”，有效有，有效有 系统地运用运算律去解决问题是代数学的

46、系统地运用运算律去解决问题是代数学的 基本思想；基本思想； 数及其运算是一切运算系统的模范，与它数及其运算是一切运算系统的模范，与它 类比而发现需研究的问题和方法，是基本类比而发现需研究的问题和方法，是基本 而重要的数学思维方式；而重要的数学思维方式； 代数运算的过程和方法可以容易地发展成代数运算的过程和方法可以容易地发展成 高层次函数观点。高层次函数观点。 例例3 “整式的乘法整式的乘法”如何教如何教 立意：立意：构建一个前后一致、逻辑连贯的代构建一个前后一致、逻辑连贯的代 数学习过程，使学生在掌握知识的过程中数学习过程，使学生在掌握知识的过程中 学会思考，把学生培养成为善于认识问题学会思考

47、，把学生培养成为善于认识问题 、善于解决问题的人才。、善于解决问题的人才。 关注的重点：关注的重点：数学的整体性，代数基数学的整体性，代数基 本思想，运算技能，发现和提出问题本思想，运算技能，发现和提出问题 的能力。的能力。 1.为什么要学习本章内容？为什么要学习本章内容？ 运算运算代数学的根源在于代数运算，代数学的根源在于代数运算， 代代 数学这门学问所要研讨的就是如何有效、数学这门学问所要研讨的就是如何有效、 有系统地解决各种各样的代数问题。有系统地解决各种各样的代数问题。 整式本身就是运算的结果；整式本身就是运算的结果； 整式中的数和字母都满足运算律；整式中的数和字母都满足运算律； 整式

48、的运算就是对数、字母符号运用运算整式的运算就是对数、字母符号运用运算 律所进行的形式运算；律所进行的形式运算； 前面已经学习整式的加减（利用分配律去前面已经学习整式的加减（利用分配律去 括号，再合并同类项）。括号，再合并同类项）。 接下来自然要学习整式的乘法、除法等。接下来自然要学习整式的乘法、除法等。 两个多项式相乘两个多项式相乘（用分配律）转化为（用分配律）转化为 单项式的乘积之和式单项式的乘积之和式用乘法的交换律用乘法的交换律 、结合律和幂的运算性质（指数法则）得、结合律和幂的运算性质（指数法则）得 到单项式的乘积。所以，多项式乘法的基到单项式的乘积。所以，多项式乘法的基 础是单项式的乘

49、法，而单项式的乘法又以础是单项式的乘法，而单项式的乘法又以 幂的运算性质为基础。幂的运算性质为基础。 通过归纳可以发现，幂的运算最基本的形通过归纳可以发现，幂的运算最基本的形 式是三类：式是三类：aman，(am)n，(ab)n。 “整式的乘法整式的乘法”的逻辑线索的逻辑线索 同底数幂的乘法同底数幂的乘法幂的乘方幂的乘方积的乘积的乘 方方单项式的乘法单项式的乘法单项式乘多项式单项式乘多项式 多项式乘多项式多项式乘多项式乘法公式乘法公式 2如何开篇？如何开篇？ 重点：构建重点：构建“先行组织者先行组织者”，使学生明确，使学生明确 本章的学习主线。本章的学习主线。 思路一思路一 从整体出发，逐渐分

50、化从整体出发，逐渐分化从整式从整式 运算的整体出发，引导学生从宏观到微观运算的整体出发，引导学生从宏观到微观 ，逐步寻找整式的乘法所需要的逻辑基础，逐步寻找整式的乘法所需要的逻辑基础 ，将研究的问题具体化，进而构建整体研，将研究的问题具体化，进而构建整体研 究思路，然后再按照知识的逻辑顺序逐步究思路，然后再按照知识的逻辑顺序逐步 展开学习。展开学习。 思路二思路二 从一个从一个“实际问题实际问题”出发，直接提出发，直接提 出同底数幂的乘法的学习任务，再采用从出同底数幂的乘法的学习任务，再采用从 具体到抽象的方法，从具体数字的运算中具体到抽象的方法，从具体数字的运算中 归纳出同底数幂的乘法、幂的

51、乘方、积的归纳出同底数幂的乘法、幂的乘方、积的 乘方等运算法则。乘方等运算法则。 显然，前一种立意高，思想性强，显然，前一种立意高，思想性强，“数学数学 味味”更浓，课题的引入更加自然而水到渠更浓，课题的引入更加自然而水到渠 成，能使学生切实地感受到学习同底数幂成，能使学生切实地感受到学习同底数幂 的乘法的必要性，同时还能更好地落实的乘法的必要性，同时还能更好地落实“ 发现和提出问题的能力、分析和解决问题发现和提出问题的能力、分析和解决问题 的能力的培养的能力的培养”。这样的安排，更加符合。这样的安排，更加符合 数学法则产生的原来面目，完美地体现了数学法则产生的原来面目，完美地体现了 数学的整

52、体观，课堂更加大气，能给学生数学的整体观，课堂更加大气，能给学生 更多智慧的启迪，思维的教学更加到位。更多智慧的启迪，思维的教学更加到位。 对对“从学生现实出发从学生现实出发”的理解的理解 流行的做法：从现实情景、生活实例中抽流行的做法：从现实情景、生活实例中抽 象出研究的对象。本课也是先给一个具体象出研究的对象。本课也是先给一个具体 问题，列出包含同底数幂的算式，再提出问题，列出包含同底数幂的算式，再提出 学习任务。学习任务。 更全面的认识：包括更全面的认识：包括“生活的现实生活的现实”和和“ 数学的现实数学的现实”。 “生活的现实生活的现实”应该是学生熟悉的，与当应该是学生熟悉的，与当 前

53、学习内容紧密相关，要尽量避免人为编前学习内容紧密相关，要尽量避免人为编 造；造； “数学的现实数学的现实”是在数学知识发展过程中是在数学知识发展过程中 自然而然地提出的问题。随着数学学习的自然而然地提出的问题。随着数学学习的 不断深入，学习内容的抽象程度不断提高不断深入，学习内容的抽象程度不断提高 ，更应强调从数学知识发展的逻辑必然性，更应强调从数学知识发展的逻辑必然性 中提出问题。中提出问题。 学生已经学过整式的概念、加减运算，从学生已经学过整式的概念、加减运算，从 “数式通性数式通性”的角度说，学习同底数幂的的角度说，学习同底数幂的 乘法的基础（即数的乘方）很牢固，因此乘法的基础（即数的乘

54、方）很牢固，因此 ，用前一种方式引入，不仅更能体现数学，用前一种方式引入，不仅更能体现数学 的整体性，更有利于创新精神和实践能力的整体性，更有利于创新精神和实践能力 的培养，数学的思维训练价值更能得到充的培养，数学的思维训练价值更能得到充 分发挥，而且也与学生的认知准备相适应分发挥，而且也与学生的认知准备相适应 ，更能体现学习的自主性，也更能激发学，更能体现学习的自主性，也更能激发学 生的学习主动性。生的学习主动性。 关于引入的教学设计关于引入的教学设计 （1）前面我们学习了数的运算，学习了哪些）前面我们学习了数的运算，学习了哪些 内容？是怎样学习的（学习路径）？内容？是怎样学习的（学习路径）

55、？ （2）整式运算，我们已学习了什么运算？能）整式运算，我们已学习了什么运算？能 否类比数的运算，猜想我们将要学习整式否类比数的运算，猜想我们将要学习整式 的哪种运算？的哪种运算？ （3） 探究活动：下面有四个整式，从中任探究活动：下面有四个整式，从中任 选两个构造乘法运算：选两个构造乘法运算： a2 ，a3 ，a3 +ab，a +ab 你能写出哪些算式？（只需列式，不要求你能写出哪些算式？（只需列式，不要求 计算）；计算）； 试着将你写出的算式分类，你认为整式乘试着将你写出的算式分类，你认为整式乘 法有哪几种类型法有哪几种类型? （4） 小组讨论单项式乘多项式和多项式乘小组讨论单项式乘多项式

56、和多项式乘 多项式的步骤。多项式的步骤。 先由学生回答，教师帮助、补充先由学生回答，教师帮助、补充 （5）你认为在单项式乘单项式中，最基本的）你认为在单项式乘单项式中，最基本的 运算有哪些？运算有哪些？ 学生思考并尝试回答，教师归纳、讲解：学生思考并尝试回答，教师归纳、讲解： 最基本的运算是最基本的运算是am an，(am)n ， (ab)n 。 出示课题。出示课题。 3.乘法公式的理解和教学乘法公式的理解和教学 乘法公式是研究一般多项式乘法基础上对乘法公式是研究一般多项式乘法基础上对 “特例特例”的考察，寻找一个模式：的考察，寻找一个模式： 在在(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中

57、，字母中，字母a，b， c，d有某些特殊关系时的特殊形式，即有某些特殊关系时的特殊形式，即 （1）c=a，d=b时为平方差公式；时为平方差公式； （2）c=a，d=b时为完全平方和公式；等。时为完全平方和公式；等。 从一般到特殊，归纳的思想，从一般到特殊，归纳的思想，“考察特例考察特例” 是数学研究的是数学研究的“基本套路基本套路”。 提出问题的过程设计提出问题的过程设计 （1）复习与引入）复习与引入 问题问题1 前面我们学习了单项式、多项式的前面我们学习了单项式、多项式的 乘法，你能说说是怎么算的吗？乘法，你能说说是怎么算的吗？ 设计意图：回顾运算法则，强化设计意图：回顾运算法则，强化“用运

58、算用运算 律计算律计算”的意识。的意识。 先行组织者：先行组织者：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，中， a，b，c，d可以是数、式或别的什么。数可以是数、式或别的什么。数 学中，经常要通过考察特殊情况来获得对学中，经常要通过考察特殊情况来获得对 问题的进一步认识，在多项式乘法中，也问题的进一步认识，在多项式乘法中，也 有一些特殊情形值得研究。有一些特殊情形值得研究。 （2）公式的探究）公式的探究 问题问题2 (x+b)(x+d)可以利用公式直接写出结可以利用公式直接写出结 果。它是果。它是(a+b)(c+d)在在a=c=x时的特例。在时的特例。在 (a+b)(c+d)=ac+a

59、d+bc+bd中，你认为还有哪中，你认为还有哪 些特殊情形？你能得到什么？些特殊情形？你能得到什么？ 设计意图：通过设计意图：通过“先行组织者先行组织者”，渗透从，渗透从 一般到特殊，考察特例，深入认识数学对一般到特殊，考察特例，深入认识数学对 象的方法；在让学生自主活动之前，先指象的方法；在让学生自主活动之前，先指 出已有特例出已有特例(x+b)(x+d)，使学生有一个类比，使学生有一个类比 对象，明确思考方向。对象，明确思考方向。 （3）能否循着上述思路，再提出一些值得研）能否循着上述思路，再提出一些值得研 究的问题，自主发现一些公式？究的问题，自主发现一些公式？ 设计意图：引导学生自主研

60、究。必要时可设计意图：引导学生自主研究。必要时可 作提示，如公式作提示，如公式(a+b)2=a2+2ab+b2中，推广中，推广 “次数次数”，可以研究，可以研究(a+b)3，(a+b)4； 或推广字母个数或推广字母个数(a+b+c)2。 几何直观几何直观 几何直观是利用几何概念抽象空间事物获几何直观是利用几何概念抽象空间事物获 得几何图形，用图形描述事物的结构特征得几何图形，用图形描述事物的结构特征 ，用点线面体的关系探索事物的关系，乃，用点线面体的关系探索事物的关系，乃 至用图形及其关系认知、表达事物的本质至用图形及其关系认知、表达事物的本质 和关系，几何直观是展开逻辑推理的思维和关系，几何