将军饮马系列

1、“将军饮马”系列最值问题知识回顾J1.两点之间，线段最短.2点到直线的距离，垂线段最短.3. 三角形两边之和大于第三边，两边之差小鱼第三边.4. A B分别为同一圆心 0半径不等的两个圆上的一点，RrABRr当且仅当A、B、0三点共线时能取等号.丄知识讲解古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦.有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：如图，将军从A出发到河边饮马，然后再到B地军营视察，显然有许多走法.问怎样走路线最短呢？精通数理的海伦稍加思索， 便 作了完善的回答.这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题.下面我们来看看数学家是怎样解决的海伦发现这是一个求折

2、线和最短的数学问题.根据公理：连接两点的所有线中，线段最短.若A、B在河流的异侧，直接连接 AB , AB与I的交点即为所求.若A、B在河流的同侧，根据两点间线段最短，那么显然要把折线变成直线再解.海伦解决本问题时，是利用作对称点把折线问题转化成直线现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理，即轴对称思想轴对称及其性质:那么这个图形就叫做轴对称图（或轴）对称.如等腰AABC是轴对把一个图形沿某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合,形.这条直线就是它的对称轴.这时我们就说这个图形关于这条直线称图形.那么就是说这两个图形关于这条把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形

3、重合, 直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.如下图，ABC与.ABC关于直线I对称，I叫做对称轴.A和A , B和B , C和C是对称点.轴对称的两个图形有如下性质： 关于某条直线对称的两个图形是全等形； 对称轴是任何一对对应点所连线的垂直平分线； 两个图形关于某条直线对称，如果他们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.线段垂直平分线：垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等；到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.当已知条件出现了等腰三角形、角平分线、高，或者求几条折线段的最小值等情况，通常考虑作轴对称变换，以“补齐”图形，集中条件。所有的轴对称图形

4、(角、线、等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圆、坐 标轴)，都可以考察“将军饮马”问题。考察知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。构建“对称模型”实现转化APA PB BC常见模型：(1) PA PB 最小同侧异侧IA(2)实用标准PA _PB最小同侧异侧异侧(3)(4)(5)IIAIAPA PB最大同侧异侧I【变形】异侧时，也可以问：在直线I上是否存在一点P使的直线I为.APB的角平分线周长最短类型一类型“过河”类型一最短距离线段和最小A

5、类型三B类型ZAPEBPE丄同步练习【例1】尺规作图，作线段 AB的垂直平分线，作.COD的角平分线.【变式练习】已知：如图，.ABC及两点M、N 求作：点P，使得PM二PN，且P点到.ABC两边 所在的直线的距离相等.【例2】已知点A在直线l夕卜，点P为直线丨上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P在直线l上运动时，点P与A、B两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B ;若不存在，请说明理由.【例3】如图，在公路a的同旁有两个仓库 A、B，现需要建一货物中转站，要求到A、B两仓库的距离和最短，这个中转站 M应建在公路旁的哪个位置比较合理？” BA、a【变式练习】如图， M、N为 ABC的

6、边AC、BC上的两个定点，在 AB上求一点P，使 PMN的周 长最短.C【例4】如图，.AOB =45，角内有点P，在角的两边有两点 Q、R（均不同于0点），求作Q、R , 使得APQR的周长的最小.【例引如图，在 POQ内部有M点和N点，同时能使.MOPNOQ，这时在直线0P上再取A点,使从A点到M点及N点的距离和为最小；在直线 OQ上也取B点，使从B点到M点和N点 的距离和也最小.证明：AM AN = BM BN .【例6】已知如图，点M在锐角 AOB的内部，在OB边上求作一点P ,使点P到点M的距离与点P到OA的边的距离和最小.A【例7】已知：A、B两点在直线丨的同侧， 在丨上求作一点M

7、，使得|AM -BM |最小值和最大值.【变式练习】（07年三帆中学期中试题）如图，正方形ABCD中，AB=8 ,M是DC上的一点，且DM =2 ,N是AC上的一动点.求（1） DN MN的最小值与最大值.（2） DN -MN的最小值与最大值.MM【例8】如图 ABC , D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点（均不与点A、B、C重合），记ADEF的周长为P，请作出周长最小的 DEF .课后练习【习题1】如图，在等腰Rt ABC中，CA=CB=：3 , E的BC上一点，满足BE =2，在斜边AB上求作一点P使得PC PE长度之和最小.【习题2】如图，菱形ABCD的两条对角线分别长 6和8，点

8、M、N分别是变AB、BC的中点，在对 文档实用标准角线AC求作一点P使得PM - PN的值最小.【习题3】如图，在锐角 ABC中,CAB=4. 2， . BAC =45?.BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM - MN的最小值是B【习题4】已知O O的直径CD为4，/ AOD的度数为60，点B是的中点，在直径 CD上找一点P ,使 BP AP的值最小，并求 BP AP的最小值.BD【习题5】如图所示，正方形 ABCD的面积为12 , ABE是等边三角形，点 E在正方形ABCD 内，在对角线 AC上有一点P，使PD PE的和最小，则这个最小值为（）B .2 6D .6【习题6】如图，在平面直角坐标系中，直线I是第一、三象限的角平分线.实用标准实验与探究：(1 )由图观察易知A 2 ,0关于直线丨的对称点A的坐标为2 ,0,请在图中分别标B(5 ,3 )、C(/ ,5 )关于直线I的对称点B、C的位置，并写出它们的坐标：