导数中求全参数地取值范围

1、令heX J Xc e e - x - 22(ex-1)令 L x =exZ，X七一1在2：上恒成立,即 L x =ex x2在2,七上为增函数，即Lx L 22=e -40导数中求参数的取值范围求参数取值范围的方法1. 分离参数，恒成立转化为最值问题2. 分离参数，结合零点和单调性解不等式3. 将参数分成若干个区间讨论是否满足题意X1已知函数f X =e -ax（ a，R，e为自然对数的底数）.（I）讨论函数f x的单调性；x2（H）若a=1，函数g x = x-m f x -ex r在2,七上为增函数，求 实数m的取值范围.x解：（I）函数f X的定义域为R , X二e -a .当a乞0时

2、，f x 0 f x在r上为增函数；当 a0 时，由 f（x） = 得 x=l na，当na时，f x ：0函数fx在lna上为减函数，当X，ln a：时，f x 0函数f X在ln a，；上为增函数4分（n）当 a时 g（x）=（x_m；（eX_x）eX+xX-1，x(2,赵)，则(1)+xxxr/ g x在2,；上为增函数； g x = xe _me rn 0在上恒成X 0,求a的取值范围.解：f(x)的定义域为(0 ,+).当 a= 4 时，f (x) = (x + 1)ln x 4(x 1), 1 ,f(1) = 0, f，(x)= In x + 3, f，(1) = 2.故曲线y =

3、 f(x)在(1 , f(1)处的切线方程为2x + y 2 = 0. 0.(2)当 x (1 ,+x)时，f (x) 0 等价于 In设 g( x) = Inax-2ax2+ 22 =xx + 1至,g(1)=0. 当 ax2 2x+ 1 0,故 g (x) 0 , g(x)在(1 , +x )上单调递增,因此g(x) 0; 当 a2 时，令 g (x) = 0得 X1= a 1 , a 12 1, X2= a 1 +a厂2 1.由 X2 1 和 X1X2 = 1 得 X1 v 1,故当 x (1 , X2)时，g (x) v0, g(x)在(1 , X2) 上单调递减，因此g(x) v 0

4、.综上，a的取值范围是(x, 2.3. (2016 全国乙卷)已知函数f(x) = (x 2)ex+ a(x 1)2有两个零点.(1)求a的取值范围； 设X1, X2是f (x)的两个零点，证明：X1 + X20,则当 x ( x, 1)时，f (x)0 ,所以f (x)在(一x, 1)内单调递减，在(1 , +x)内单调递增.a又 f (1) = e, f (2) = a,取 b 满足 b0且 b2(b 2) + a(b 1) = a b qb 0,故f(x)存在两个零点. 设 a0，因此f (x)在(1 ,+x)内单调递增.又当xw 1时，f(x)vo，所以f (x)不存在两个零点.e 若

5、 a1，故当 x (1 , ln( 2a)时，f (x)0.因此f(x)在(1 , ln( 2a)内单调递减，在(ln( 2a)，+)内单调递增.又当xw 1时，f(x)0，所以f (x)不存在两个零点.综上，a的取值范围为(0 ,+ ).(2)证明：不妨设 X1VX2，由(1)知，X1 ( X, 1) , X2 (1 ,+x) , 2 X2 (%, 1)，又f (x)在(一x, 1)内单调递减，所以 X1 + X2f(2 X2)，即 f(2 X2)1 时，g (x)1 时，g(x)0.从而 g(X2) f (2 X2)0，故 X1 + X2bx 2恒成立, 求实数b的取值范围.1 ax1解：

6、由已知得f (X) = a_x=(X0) 当a 0时，f (x) 0 时，由 f (x) v o,得 ovxv孑1由 f (x) o,得 xa， a(nd y f(x)在o, a上单调递减，在-,+上单调递增，1即f (x)在x=a处有极小值.a当a0时，f(x)在(0 ,+)上有一个极值点.：函数f (x)在x= 1处取得极值，1 ln x f (1) = 0,解得 a= 1,.f (x) bx_2? 1+ x_-b,人1 In x ，In x _ 2令 g(x)二 1 + x_ =，贝u g (x)二 壬令 g (x) = 0,得 X= e2.则g(x)在(0 , e2)上单调递减，在(e

7、2,+x)上单调递增,2 - g( x) min g(e )111 _ 2，即 b0，所以f(x)在(0,+x )上单调递增.若a0,则当x 当 x a，+ 时，f (x)0.所以f(X)在f, a上单调递增，在-,+上单调递减. 由 知，当a0时，f(x)在x = a处取得最大值，最大值为f1 Ln丿1-1 一 lniaJaa+ a-1.因此 f 二 2a 2 等价于 In a + a-10.令 g( a) = In a+ a- 1，则g( a)在(0,+x)上单调递增，g(1) = 0.于是，当 0a1 时，g(a)1 时，g( a)0.因此，a的取值范围是(0,1).6. (2016 全

8、国甲卷)已知函数 f (x) = (x+ 1)ln x-a(x- 1).(1)当a= 4时，求曲线y= f(x)在(1，f(1)处的切线方程；若当x (1，+)时，f(x) 0,求a的取值范围.解：f(x)的定义域为(0 ,+).当 a= 4 时，f (x) = (x + 1)ln x-4(x- 1),1f(1) = 0, f (x)= In x + x-3, f (1) =-2.故曲线y = f (x)在(1 , f(1)处的切线方程为2x + y-2 = 0. 0.(2)当 x (1 ,+x)时，f (x) 0 等价于 Ina x 1设g(x) =ln x-=T1则g(x) = 1-2ax

9、2+ 22 =xx + 1运,g(1) 当 ax2-2x+ 1 0,故 g (x) 0, g(x) 在(1 ,+x )上单调递增，因此g(x) 0; 当 a2 时，令 g (x) = 0得 X1= a-1 - , a- 1 2- 1, a- 1 +a- 12-1.由 X2 1 和 X1X2 = 1 得 Xi v 1,故当 x (1 , X2)时，g (x) v0, g(x)在(1 , X2)上单调递减，因此g(X)v 0.综上，a的取值范围是(, 2.27. (2016 山东高考)设 f(X)= Xln x ax + (2 a 1)x, a R(1) 令g(x) = f (x)，求g(x)的单

10、调区间；(2) 已知f(x)在x = 1处取得极大值，求实数a的取值范围.解：(1)由 f (x) = In x 2ax + 2a，可得 g(x) = In x 2ax+ 2a，x (0，+ ).112ax所以 g (x) =- 2a = xx当 a0，函数 g(x)单调递增；当a0，x 0，2a时，g (x) 0，函数g(x)单调递增，x ，+x时，g (x) v0，函数g(x)单调递减. Ua丿所以当a0时，g(x)的单调增区间为0,亦J,单调减区间为a，+/由(1)知，f (1) = 0当a 0, f(x)单调递增.所以f (x)在x = 1处取得极小值，不合题意.1 1 当 0vavq

11、时,2 1，(1、由(1)知f (x)在0,亦内单调递增，可得当 x (0,1)时，f (x) v 0,当 x 1, 时，f (x) 0.(1、所以f (x)在(0,1)内单调递减，在J,石丿内单调递增，所以f (x)在x = 1处取得极小值，不合题意.1 1 当吐时,2a=1，f (X)在(0,1)内单调递增，在(1 , +)内单调递减，所以当x (0 ,+)时，f (x) 时，Ov20, f(x)单调递增，匕a丿当 x (1 ,+x)时，f (x) 0, f(x)单调递减.所以f (x)在x = 1处取极大值，符合题意.综上可知，实数 a的取值范围为 1，+.8. . (2016 海口调研

12、)已知函数 f (x) = mx m，g(x) = 3ln x. x(1)当m= 4时，求曲线y= f(x)在点(2，f(2)处的切线方程； 若x (1， e(e是自然对数的底数)时，不等式f(x) g(x) 3恒成立, 求实数m的取值范围.44解： 当 m= 4 时，f (x) = 4x x, f (x) = 4+-2,xxf 二 5,又 f(2)二 6,所求切线方程为y 6= 5(x 2),即 y= 5x 4.(2)由题意知，x (1 , e时，mtmx- - 3ln x 3 恒成立，x即 mx2 1) 0,则m3x + 3xln x2 1x,恒成立.人， 3x + 3xln x厂令 h(

13、x)=x, x (1 , e,则 m h(x) minh (x)2x + 1 In x 63x2 + 1I l n x + 6 x (1 , e, h (x) 0,即h( x)在(1 ,e上是减函数.x (1 ,.e时，h(x)min= h( e) = ? e 1 m的取值范围是 g,e . 0时，g(x) kf (x)，求k的取值范围.1解：因为 f (x)二a x+1 (xT) , g (x)二ex 1,依题意，f (0) = g (0)，即 a 1 = 0,解得 a= 1,1 x所以 f (x) = 1=-x + 1 x + 1 当一1v XV 0 时，f (x) v 0；当 x 0 时

14、，f (x) 0.故f (x)的单调递减区间为(一1,0)，单调递增区间为(0，+g). 由(1)知，当x= 0时，f(x)取得最小值0,所以f (x)0,即xln( x+ 1)，从而ex + 1.设 F(x) = g(x) kf (x) = ex+ kln( x + 1) (k + 1) x 1,x kk贝U F (x) = e + x+1 (k + 1) x + 1 +x+1 (k + 1),(i )当 k = 1 时，因为 x0，所以 F (x) x + 1 + 20(当且仅当 x = 0 x十I时等号成立)，此时F(x)在0，+g)上单调递增，从而 F(x) F(0) = 0，即 g(x) kf (x).(ii)当 kv 1 时，因为 f (x) 0,所以 f(x) kf (x). 由(i )知 g(x) f(x) 0,所以 g(x) f (x) kf (x), 故 g( x) kf (x).k(iii)当 k 1 时，令 h(x) = ex + 石(k + 1),则 h (x) = ex kx+ 12,显然h (x)在0，+g )上单调递增