导数典型例题讲解

1、资料一：导数.知识点切线线PQ点的1导数的概念例1 已知曲线y= 3x上的一点P(0, 0),求过点P的方程解析：如图，按切线的定义，当 XT 0时，割 的极限位置是y轴(此时斜率不存在)，因此过 P 切线方程是x=0.解析：y=x2,二 二 y=(x0+ ： X)2 x2= 2x。=x+ (二 x)2 =4=x+ ( = x)2例2 求曲线y = x2在点(2，4)处的切线方程心蚂2=劉4 +网=4.曲线y=x2在点(2, 4)处切线方程为y 4 = 4(x 2)即4x y 4= 0.例3物体的运动方程是 S= 1+1 +12,其中S的单位是米，t的单位是秒，求物体在 秒时的瞬时速度及物体在

2、一段时间5, 5+厶t内相应的平均速度.2 2 2 2解析： S=1+t+t , ：S=1+(t+ ：t)+(t+ ：t) (1+t+t )=2t t+ ：t+( ：t),S 2t 1 . ：t ,即 v(t) =2t T ：t , v(5) - ：t 11,Lt即在5，5+厶t的一段时间内平均速度为(沁+ 11)米/秒 ,AS v(t)=S = lim.lim(2 t T ：t) =2t 1即 v(5) = 2X5+ 1= 11.物体在t = 5秒时的瞬时速度是11米/秒.例4利用导数的定义求函数y=在x=1处的导数。解析：A y=J 1一卫=T J1 + 也xJ1 +xAx J1 + 人x

3、(1 +J1 + 也x)y1lim = lim .xT _x0 , 1 二 x(11 二 X)lx2 sin x = 0例5 .已知函数f(x)=x ,求函数f(x)在点x= 0处的导数0 x = 01 解析：由已知 f(x)=0，即 f(x)在 x=0处有定义，:y=f(0+ ：x) f(0)=( ：x)2sin一= ：x sin 丄，lim y = lim x sin 丄=0, 即 f (0)0. x3 x .xx 0：x 函数f(x)在x= 0处导数为0.-(x2+-)例6 已知函数f(x)= 2|-(x+-) 2x x)3+3- (2x3+3)=6x2 x+6x : x)2+2( .

4、： x)3,=6x2+6x x+2( ：x)2, y= lim y =6x2.例8.已知曲线y= 2x3 + 3上一点P, P点横坐标为x=-,求点P处的切线方程和法线方 程.解析： x=-, y=5, P点的坐标为(-,5), 禾用例7的结论知函数的导数为y=6x2, y|x = 6, 曲线在P点处的切线方程为y-5= 6(x-)即6x-y- = 0,又曲线在P点处法线的斜率为一丄，6曲线在P点处法线方程为y- 5= -( x-),即卩6y+ x- 3- = 0.6 例9.抛物线y=x2在哪一点处切线平行于直线y= 4x-5?22= 2x,解析y= lim y = lim 凶 xHO F；X

5、0Lx令2x= 4.A x=2, y= 4,即在点P(2, 4)处切线平行于直线y = 4x-5. 例-0.设mtM0, f(x)在X0处可导，求下列极限值啊血号迪；(2)啊 解析：要将所求极限值转化为导数f(X0)定义中的极限形式。 |jm f(x0 -m X)- f(x。) = |im f(X。-m x) - f(X。)IAma也x(其中一m x 0)f (X0X)-f(X0)f(X)X)-f(X0)呱 七 =叽 匕-mx(_m) _ -m f (Xo),- 厂-fg.例11 设函数f(x)在x= 1处连续，且lim丄凶=2，求f.x-1 X-1解析： f(x)在 x= 1 处连续， li

6、m f (xf(1).而又 lim f (x) =lim( x -1)=lim( x -1) lim =0 2=0.X心x_1J1J1 x_1f(1)=0. f 1)= lim f (1 x) _ f(1) =lim111)=2 (将.：x 换成 x- 1)I Ax x1即 f (1)= 2.例12已知抛物线 尸ax2+bx+c (a0),通过点(1, 1)，且在点(2,- 1)处与直线y=x-3 相切，求a，b，c的值.解析：由 y= lim- = limQa(x lx) b(x lx) c - (ax bx c)2ax b,由函数在点(2，- 1)处与直线y=x-3相切,二2a&+ b=

7、1，又函数过点(1， 1)， (2， 1), a+ b+ c=1， 4a + 2b + c= 1，由三式解得a= 3， b=- 11， c=9.1例13设曲线y= sinx在点A(丄，一)处切线倾斜角为9,求tan(二一9的值.624解析： y=sinx，.:y=sin(x+ . ：x) sinx=2cos(x+- )sin- ,2 2lx lx 人2cos(x + )sin y22 y = lim = lim匚0 x0LXasin lx2=lim cos(x ) limcosx.x Q 2* 2=X2即 y = (sinx) cosx,令在A点处切线斜率为k=cos 一仝6 2二 tan (

8、= 3 ,庚(0, n,2叫-9=1 -tan n1 tan1 -2-4.3 H，例14.设f(x)是定义在R上的函数，且对任何X1、x R，都有f(X1 + X2)=f(X1)f(X2)，若f(0) 工0, f( (01，证明：对任何x R,都有f(x)=fxO解析：由 f(X1 + X0)=f(X1)f(X2)，令 X1 = X2 = 0 得 f(0) = f(0)f(0),又 f(0)工 0 f(0)=1(=)即 lim0f ( ：x) - f(0)=lim-0f(：x) -1X=1, f(=.f(x+Ax)-f(x) lim0二 x=ljxm0f (x) f ( ：x) f (x)=

9、f(x) lim0f( ：x) -1=f(X).即f(刈=f(x)成立.2 几种常见函数的导数例 1 已知 f(x)=x3,求 f，X , f (1,) (f(1) / f ( 0.5) 解析：f(x)=x3,二 fxO= 3x2, f (1)=3, f ( 0.5)3X(0.5)2= 0.75, (f(1) =(1) =0.说明：导函数与函数在某点处导数要弄清区别与联系后者是导函数的某一函数值，因此在求函数某一点处导数时可先求导函数，再直接求导函数值.例2已知曲线y=x2上有两点A(1, 1), B(2, 4),求割线AB的斜率；在1 ,1+厶x内的平均变化率； 过点A处的切线斜率kAT；

10、点A处的切线方程.解析：kAB =匕_11解析：y=cosx, y sinx, x=时，k= sin丄=一 , tan 9，6622 = 3 ；2-1y f(1 . ：x) f (1：x)21 平均变化率2 厶x,lxlxlx y= 2x , yx| = 2.即点A处的切线斜率为Kat= 2. 点A处的切线方程为y 1= 2(x 1)即2x y- 1= 0.说明：通过本例搞清割线斜率，区间上平均变化率，某点处切线斜率与某点处的导数之间的区别与联系，再次验证了导数与平均变化率之间的关系例3利用导数定义和导数公式两种方法求曲线y=-在点P(1, 1)处的切线倾斜角及该点x处的法线方程.1 1八x解

11、析：解法一：f(x)= , Ay=f(1+Ax) f(1)= 一-1,x1 +Ax1 + Axyx|= lim y = lim 匚=-1.公卡 Kx 01 + Ax即在点P处斜率为k= 1,二 倾斜角为135法线方程y 1 = x 1即xy= 0.1 1解法(二)：y=f(x) = - , y =x)=-飞， yx|= 1.xx即在点P处切线斜率为k= 1,以下同法(一)说明：求导致方法有两种，一种是利用导致定义法求导数，第二种用导数公式，要 注意题目要求，若无声明，用最简单的方法即可.例4已知曲线y= x上的一点P(0, 0),求过点P的切线方程.解析：由y=Vx, y=xy =,在x=0处

12、导数不存在，由图形知3Vx2过P点的切线方程是x=0.3 例5设曲线y= cosx在A(二,)点处的切线倾斜角为9,求cot(二一B的值6241 1皿9 )=口0兰=二2.JI4 tan (=日)1_ta n 1+1 342例6求曲线y=x3在点(3, 27)处的切线与坐标轴所围成的三角形面积. 解析： y=x3, y =3 yx=3=27,曲线y=x3在点(3, 27)处的切线方程为y 27= 27(x 3),即y= 27x 54.其与x轴，y轴交点分别为(2, 0), (0, 54)切线与坐标轴围成的三角形面积为S=- X2X54= 54.2例7 在抛物线y= x2上取横坐标为X1= 1及

13、X2= 3的两点，作过这两点的割线，问该抛物 线上哪一点的切线平行于这一割线？解析：已知两点A(1, 1)B(3, 9),割线斜率为kAB=4,即在点(2, 4)处切线平行于这一割线./ y= 2x,令 y =2= 4得 x= 2,3函数和、差、积、商的导数例1 求下列函数的导数： y=xtanxcosx2 tan x y=3x + xcosx； y=x解析： y =X+cosx xsinx；,(tan x) x _tan x (x) xsec x _tan xxsin x -2 y=cosxxy= 11 x x 12 cos x_ sin x(cos x -2) xy,=xcosx+sin

14、x) cosx (xsinx2) (sin x) y =：2cos x=-11，y = (x+1)2 (x+1)2 .例 2.已知函数 f(x)=x3 7x+1，求 f , f (1) f (1.5).解析：f(x)=x3 7x+1, y = x0=3x2 7, f (1)4, f (1.5)-.4注意：导函数与导数的区别与联系，函数在某一点的导数是导函数在这一点处的函 数值.例3.已知函数y= x3+ ax2 4a的导数为0的x值也都使y值为0,求常数a的值.3解析：y =x2+2ax,令 y =0则 3x2+2ax=0, X1=0, x2= - a,3当 x=0 时，y=0= 4a,. a

15、=0,即 a= 0 满足条件，3当 x= - a 时.y= 0= 2a3 a2_4a 得 a= 0 或 a= 33 2793检验知a=3不满足条件，常数的值为0.例4曲线y= x2 + 4x上有两点A(4, 0), B(2, 4),求 割线AB的斜率kAB； 过点A处的切线斜率kA； 点A处的切线方程。解析： 割线AB的斜率kAB=H 二一2;24 y 2x+4, y=4= 4,即 kA= 4; 过A点的切线方程为y 0= 4(x 4),即卩y= 4x+ 16.例5.已知F(x)=f(x) + g(x)，就下列两种情形判断F(x)在x= xo处是否可导？ f(x)在x = xo处可导，g(x)

16、在x=xo处不可导. f(x), g(x)在x=xo处均不可导.解析：F(k)在x= xo处不可导.假设 F(x)在 x = xo处可导，由 F(x)=f(x) + g(x), g(x)= F(x) f(x)./ f(x)在x= xo处可导， g(x)在x=xo处可导，与条件g(x)在x=xo处不可导矛盾， F(x)在x=xo处不可导.F(x)在x = xo处不一定可导.1 1如设 f(x)=sinx+ , g(x)=cosx,则 f(x), g(x)在 x= o 处均不可导，xx但 F (x)=f(x)+g(x) = sinx+ cosx 在 x= 0 处可导.另：若.g(x)=tanx+丄

17、上，在x= 0处不可导，x2F(x)=f(x)+g(x)=sinx+tanx+ 在 x= 0 处也不可导.x例6.曲线y=x3 + x 1上求一点P,使过P点切线与直线y=4x 7平行.解析：y + x 1) 3x2 + 1,由过P点切线与直线y=4x 7平行， 令3x2 + 1= 4得x= ,当x=1时，y=1,此时切线为y 1 = 4(x 1),即y=4x 3与直线y= 4x 7平行， P 点坐标为(1, 1)。当x= 1时，y= 3,此时切线为y+ 3= 3(x+ 1),即卩y=4x+ 1也满足条件， P 点坐标为(一1, 3).综上得P点坐标为(1, 1)或(1, 3).例 7.证明：

18、过抛物线 y= a(x X1)(xX2), (a0, X1 0,且为可导函数，求证：两曲线 在公共点处彼此相切.JI 解析：由 f(x)=f(x)sinax, f(x)0, sinax=1, ax=2k n+ (k Z),2jiji2k2k 二 x=2，设曲线交点 (xo, yo),即 xo= .aa又两曲线 y1=f(x),=x( y1 =f(x)sinax, y2 = X)sinax+a cosx (x)二 f (x0)sin(2) af (x0)cos(y|xK = f(Xo), y2|lx =x)2ky(xo),ki=k2,即两曲线在公共点处相切例9.已知直线 尸kx与曲线y=x3 3

19、x2+ 2x相切，求k的值.解析：由 y =X? 6x+2=k,又由 kx=x3 3x2+2x,. 3x3 6x2+2x=x3 3x2+2x,即 2x3 3x2 = 0 得 xi = 0 或 X2= 3 . . k= 2 或一.2 44.复合函数的导数、对数函数与指数函数的导数2例1 .函数y= (sinx2)3是由函数 y=, u=, v=三个函数复合而成.2解析：答案分别为：y=u3, u=s inv. v=x2.例2.求下列函数的导数： 1 y=(x2+2x)3， y=e5*(sin 2x)2 nlnx、nn ln xn ln x11 n n J y=x = (e ) e , y = n

20、 =n x=nx . x说明：本例集中训练常见函数求导公式，导数的四则运算法则，复合函数的求导法 则等，这些要反复熟记例3 .求函数f(x)= &审&)2a x b解析：厂刈=2(x-a)(x-b)(x-b) (x-a) a xg(.1 1解析：fx)=1+, gx)=,由 f x)g(x)，有x5x121+ ,即 也 0, a x5 或 x5,所以，不等式f x)gx)的解集为(5,+x ). 说明：求导数有关问题时还要注意原函数定义域.例5证明：可导奇函数的导数是偶函数。解析：法一：定义法：设f(x)为可导奇函数，则f( X)二一f(x),即f x)=f (.a导函数为偶函数 法二：复合函

21、数求导法：am/s，问在容器的设f(x)为可导奇函数，则f( x) = f(x)，两边对x求导得：f ( x) = x 即一f X)二一f x),a f x) = fx(.A f x为偶函数，即命题成立. 同理可证：可导偶函数的导数是奇函数.例6.石头落在平静水面上，产生同心波纹，若最外一圈波半径增大速度总是 b秒末波扰动水面积的增大速度是多少？解析：设b秒末最外一圈波纹的半径为 R,则R=ab,a S= nR，又 R= a， a S R=ab=2 nRR t(R=ab=2 nab.即b秒末波扰动水面积的增大率为 2 n2b m2/s. 例7.将水注入锥形容器中，其速度为4米3/分，设锥形 高

22、为8米，顶口直径为6米，求当水深为5米时，水面 速度.(如图)解析：设注入水t分钟后，水深为h米，由相似三角形对应过之比可得水面直径为-h米，4这时水的体积温V=1 X3 h)2 h= h3，由于水面高3 864时间t而变化，因此h是t的函数h = h(t)，由此可得水的体积关于时间tVh ht，a vt=(h3) ht 二 h2 ht，6464由假设，注水的速度为 4米3/分.649 二 h、256当h= 5米时，水面上升的速度为hh=5=(米/分).225兀5函数的单调性和极值1求函数y= exx+ 1的单调区间解析：y =(x x+1) ex 1,由ex 10得x0，即函数在(0, +x

23、)上为增函数； 由ex 10得x0 f(x)在(0, 1)上递增；当 x (1 , 2)时,y 0 得 x ,即 y=f(x)在(,丄)内是单调递增;3 333同理，由 y 0 得 0x ：或x0),求a的范围，使函数f(x)在(0,+)上是单调函数.解析：f刈=X a，当 x (0, +x )时，0x_0,且f(x)在(0,+x)上是单调函数， 则必有 f x)v0,. a 1.即a 1时，函数f(x)在(0,+)上是单调函数.例5.已知函数f(x)二alg(2x) (a0且a 1)在定义域(0, 1)上是减函数，求a的取值范围.解析：定义域要求2 ax0, x-,又函数在(0, 1)上都有

24、意义，a1 , aW 2,a. y=ig(2x)和 a- log10 e (_a) = alg(2x) lg a 1,2 ax2xalg a 0 lg a 0由y 0得 2 或 2,x 0 x 0La La若 0a1,贝U lga0,则 x 2 与定义域 x (0, 1)矛盾，aa22. 只有 a1,此时 lga0, x 0, x 2, . 1a0时，证明不等式亠 ：ln(1 x) ： x1+x解析：设 f(x)= -ln(1 x) =1 -ln(1 x),x(1 x)2 ，1+x1+x贝U f x)=2当 x0 时，f x)=-0,即f(x)在(0,+x)上是递减函数,(1+x) 1 +x(

25、1+x)2又当 x= 0 时，f(0)= 0. f(x)f(0), 即一 - In(1 x) 0时，g x)O,. g(x)也为减函数，图形说明又当 x= 0 时，g(x) = 0,. g(x)g(0). In( 1 + x)xv0 即 ln(1 + x) 0解析：由得f(x)的定义域为一3 x 0上的最值问题。1 1- yfx)二5一=,Jx +32 J4 _x在 - 3, 4上fx) 0恒成立, f(x )在-3, 4 上单调递增.当 x= 3 时 ymin 15 7 ,当 x=4 时 ymax=20 + 27 , 函数的值域为15 7 , 20+ 2 7.例2.设-a1，函数f(x) x

26、3 - ax2+ b ( Kxf(a), f( 1)0,二 f(x)的最大值为 f(0) b 1,21 312又 f( 1) f(a)=丄(a3- 3a 2)=丄(a+1)2(a )0,2 2f(x)|min=f( 1), 一 a 1+b= 一 a= , a= , b=1.2223例3.若函数f(x)在0, a上单调递增且可导，f(x)O,t f(x)0,. f x) x f(x)0,.便=f(x) xjf(x)0,.比 在(O, a上是增函数。xxx 竺 在(0, a上最大值为丄回.xa34例 4设 g(y) = 1 x + 4 xy y 在 y 1, 0上最大值为 f(x), x R, 求f(x)表达式； 求f(x)最大值。解析：gy)= 4y 1当 0x (a)5 时 f，x( 0 , 2(y 3x), y 1,0,当 x0 时，gy) 0,. g(y)在1,0上递增, f(x)=