第五章 信号处理初步

1、 第五章第五章 重点：相关分析及其应用、功率谱分 析及其应用； 难点：信号数字化中出现的问题：采 样、混叠、截断、泄漏和窗函 数等概念。 测试工作的目的是获得有用的信息，但 测试信号中既含有有用信息，也含有大量干 扰噪声。因此，信号处理的任务：修正测试 系统的某些误差；滤除干扰噪声，提取有用 信息；分离信、噪，提高信噪比。 研究信号的构成和特征值（对信号结构无影响）。 把信号经过必要的变换，以获得所需信息的 过程（有可能改变信号本身结构）。 二者没明确的界限，有时作同义语。 信号分析信号分析： 信号处理信号处理： 信号处理可用模拟信号处理系统和数字 信号系统来实现。 模拟信号处理系统：由实现模

2、拟运算功能的 电路组成。 数字信号处理系统：由微型计算机和相关软 件组成（也可用专用信 号处理机）。 第一节 随着微电子技术和信号处理技术的发展， 在工程测试中，数字信号处理方法得到广泛的 应用。从传感器获取的信号大多为模拟信号， 进行数字信号处理之前，一般先要对信号作预 处理和数字化处理。而数字传感器可直接通过 接口与计算机联接，将数字信号送给计算机 （或数字信号处理器）进行处理。 基本步骤： 数字信号处理系统如下图：数字信号处理系统如下图： 物理信号物理信号 对象对象 传传 感感 器器 电信号电信号 预预 处处 理理 电信号电信号 A/D 转换转换 数字信号数字信号 计计 算算 机机 显显

3、 示示 D/A 转换转换 电信号电信号 控制控制 物理信号物理信号 在数字处理之前，对信号用模拟方法进 行的处理。 如对输入信号的幅值处理，使幅值与A / D 转换器的动态范围相适应；衰减信号中不感兴 趣的高频部分，减少频混的影响；隔离被分析 信号中的直流分量，消除趋势项及直流分量。 1 1、预处理：、预处理： A / D转换转换：将预处理以后的模拟信号变为数 字信号，存入指定的地方。 分析计算分析计算：对采集到的数字信号进行分析、 计算（可用数字运算器件组成的 信号处理器，也可用通用计算机）。 4. 4. 结果显示结果显示：一般采用数据和图形显示结果。 数字信号处理首先把一个连续变化 的模拟

4、信号转化成数字信号，然后由计 算机处理，从中提取有用的信息。 众所周知，数字计算机不能对一个连续的模拟 信号计算，其原因为： 必须经过A / D转换器把一个模拟信号转变成数字 量存放到一定的内存单元，然后进行计算； 2. 计算机内存容量总是有限的，它不可能存放无限 多的采样数据。因此“数值离散”和“点数有限” 是 使用数字计算机进行傅立叶变换的两大特点。为 了区别常见的傅立叶变换，称之为有限离散傅立 叶变换，简称离散傅立叶变换（DFT）。 下面从图形上认识这一过程及出现的问题: 某一连续信号x（t）及傅立叶变换X（f）； 为了用计算机计算，必须将x（t）变换成 有限长的离散序列。 采样：采样：

5、如图53为采样函数s（t）及频谱S（f）。 由图可知，时域函数的离散时域函数的离散导致频域图形的频域图形的 周期化周期化。这是离散傅立叶变换的第一次误差。 时域截断时域截断：取出N个有限点，这在数学上可理 解为把采样后的信号乘以一个矩形窗函数 （图55），窗宽为T 。那么 。 s T N T 如图56所示。可见时域函数的截断截断导致 频域函数出现皱波（泄漏）皱波（泄漏），这是离散傅立叶 变换引入的第二次误差 。 图56中的频域函数仍不是计算机能接受 的离散信号。 至此，得到了如图58所示的离散傅立叶变 换对，它在时域上和频域上都是用离散值表示的， 且在时域、频域都周期化。但计算机中仅存储N 个

6、采样点，分别表示时域、频域波形的一个周期， 可用此近似原来的连续傅立叶变换。那么，必须 要做好该信号处理过程中采样、截断、DFT计算， 否则均会引起失真和误差。 将连续变化的模拟信号离散化的过程。 采样过程可以看作用等间隔的单位脉冲 序列去乘模拟信号。这样各采样点上信号的 大小就变成脉冲序列的强度，这些强度值被 量化而成为相应的数值。 ： X(0), X(1), X(2), , X(n) 长度为T的连续时间信号x（t），从t=0点开始 采样，采样得到的离散时间序列x（n）为 1210 N,nf/nxnTxnx ss s nTts |txnTx 式中 Ts采样间隔； N序列长度，N=T/ Ts

7、； fs 采样频率， fs =1/ Ts ； 采样间隔太小（采样频率 ），数字序列 长，计算工作量大，计算速度慢； 若采样间隔过大（采样频率），则可能 丢掉有用的信息。 1、混叠现象：混叠现象： 混叠现象的解释及其避免的办法：混叠现象的解释及其避免的办法： n s nTtts r ss T r f T fS 1 tstx r ss r ss T r fX T T r f T fXfSfX 1 1 采样函数： 频域解释频域解释 0 t0f 0 t0f t 0 0f 采样间隔不当引起频率混叠。 2、避免混叠的方法：避免混叠的方法： 混叠必定出现在f= fs /2（折叠频率）左右两侧 的频率处。可以

8、证明，任何一个高频成分f1和 低频率成分f2、 fs的关系为： 22 21 /f/ff s 不产生频率混叠的条件：不产生频率混叠的条件： 1、使被采样的模拟信号x（t）成为有限带 宽的信号。 2、应使采样频率fs大于 带限信号的最高频率fh 的2倍（采样定理）， 即 h s s f T f2 1 采样定理：采样定理：采样的基本法则 fs 2 fh 实际工作中选 fc ：滤波器的截止频率。 cs ff43 若x（t）不是带限信号，则A/D采样前 抗混叠滤波处理： 物理信号物理信号 对象对象 传传 感感 器器 电信号电信号 放放 大大 调调 制制 电信号电信号 A/D 转换转换 数字信号数字信号

9、展开展开 低通滤波低通滤波放大放大 把采样点上信号的瞬时幅值转换成二进制 的数字量。即离散信号变成离散数字信号。 在工作中，采用A / D转换器来完成，A / D 的位数是一定的，且不论它的位数有多高，模 拟信号采样点的幅值电平总落在两个相邻量化 电平之间，就要舍入到相近的一个量化电平上， 见上图，由于有舍入，就会产生误差。 量化电平与信号实际电平之间的差 ，( ) n 其最大值为 。 2 x 以后的讨论假设 ( )n 为0。 信号的历程是无限的，而不可能对无限长 的信号进行处理，所以要截断。 将无限长的信号乘以有限 宽的窗函数。 为便于数学处理，通常对截断的信号做周期延 拓，得到虚拟的无限长

10、的信号。 设有余弦信号x(t), 用矩形窗函数w(t)与 其相乘，得到截断信号：y(t) =x(t)w(t) 将截断信号谱将截断信号谱 X XT T()()与与 原始信号谱原始信号谱X()X()相比较相比较 可知，它已不是原来的两可知，它已不是原来的两 条谱线，而是两段振荡的条谱线，而是两段振荡的 连续谱连续谱. . 原来集中在原来集中在f0f0处处 的能量被分散到两个较宽的能量被分散到两个较宽 的频带中去了，这种现象的频带中去了，这种现象 称之为频谱能量泄漏。称之为频谱能量泄漏。 样本截断引起泄漏样本截断引起泄漏。 泄漏与窗函数(Function of the window)频 谱的旁瓣有关

11、，窗函数旁瓣，相应的泄漏误 差也将减小。所以选择合适的窗函数也是信号 处理中的重要问题之一。 经过、截断后，其频谱在频域 是连续的（图56），所以必须使频率离散 化，实行 时域采样的结果使时域信号平移至各脉冲坐 标位置重新构图时域周期延拓。 ：不论时域或频域 采样，有如透过栅栏取值，总会有落 在栅栏之外的。 频率采样间隔 f 是频率分辨力的指标： 1 s f f NT s f 采样频率 N 采样点数 若按整周期截断信号，则延拓后的信号 将和原信号完全重合。 选择窗函数应使频谱的主瓣宽度窄、旁瓣幅 度小。窄的主瓣可提高频率的分辨力，小的旁瓣 可以减小泄漏。 主瓣最窄2/T，旁瓣较高T，泄漏较大。

12、 适合于要获得精确主峰的频率，而对 幅值精度要求不高的场合。 特点：特点：主瓣宽度约为矩形窗 的2倍，但旁瓣低且不会出现 负值。 2 0 2 2 1 T t T tt T twT 2 sin 2 2 2 sin 2 2 2 fT c T fT fT T fWT 旁瓣明显降低，有抑 制泄漏的作用，但主瓣较宽， 致使频率分辨能力较差。 在截断随机信号或 非整周期截断周期函数时， 为了平滑或削弱截取信号的 两端，减小泄漏，宜加汉宁 窗。 （四）、指数窗（四）、指数窗 无旁瓣，主瓣很宽，其频率分辨力低。 对脉冲响应类信号宜加指数窗，若适 当选择衰减函数，可起到抑制噪声的 作用。 常用窗函数常用窗函数

13、在测试技术中，无论分析两个随 机变量之间的关系，还是分析两个信 号或一个信号在一定时移前后之间的 关系，都需要应用相关分析。 通常，两个变量之间存在对应的确定关系，则 为函数关系。如球的体积与半径之间的依存性。 随着某一变量数值的确定，另一变量却可能取 许多不同值，但取值有一定概率统计规律。如农产 品的含水率与干燥时间的关系，每一确定干燥时间， 含水率不是一恒定值(在一定范围内)，但有规律， 随干燥时间增加，含水率下降。 b）有相关性。 a）不相关。 如果所研究的变量x, y是与时间有关的函 数，即x(t)与y(t)： x(t)x(t) y(t)y(t) 22 2 () xx E x 22 2

14、 () yy E y yx yx xy yxE 222 yxyx yExEyxE 1 xy 则对于变量x和y之间的相关程度常用相关系 数来表示： x y ，x y 正相关。 x y ，x y 负相关。 0， x 、y之间无关。但可能存在非线 性相关或函数关系。 xy 当数据点分布愈来愈近一条直线时， 的绝对值接近1，x与y的线性相关程度愈好。 的正负号表示一变量随另一变量的增加而 增加或减少。 xy xy x y 1 xy x y 1 xy x y 10 xy x y 0 xy 信号的自相关是描述信号在一个时刻的取 值与另一个时刻取值的依赖关系；用下式表示： 0 1 ( )( ) () lim

15、 T x T Rx t x tdt T （519） 式中，T为样本记录长度（即观测时间） x(t) x(t) 时时 延延 器器 乘乘 法法 器器 x(t +) x(t)x(t +) 积积 分分 器器 Rxx() 2222 ( ) xxxxx R1 1） 即： 时， 2 (0) xx R为最大值。 0 2 2）自相关函数在 时为最大值，并为 该信号的均方值 。 2 x 。 0 自相关函数的性质：自相关函数的性质： 3 3）当 足够大或 时， 2 0 xxx R 4 4）自相关函数为偶函数 。 ()( ) xx RR 5 5）周期函数的自相关函数仍为同频率的周期 函数，其幅值与原周期信号幅值有关，

16、而 丢失了原信号的相位信息。 图517 典型信号的自相关函数 案例：机械加工表面粗糙度自相关分析案例：机械加工表面粗糙度自相关分析 提取出回转误差等周期性的故障源。提取出回转误差等周期性的故障源。 被测工件被测工件 相关分析相关分析 案例：案例：自相关分析测量转速自相关分析测量转速 理想信号理想信号 干扰信号干扰信号 实测信号实测信号 自相关系数自相关系数 提取周期性转速成分。提取周期性转速成分。 自相关分析的主要应用：自相关分析的主要应用： 用来检测混淆在干扰信号中用来检测混淆在干扰信号中 的确定性周期信号成分。的确定性周期信号成分。 两个各态历经的随机信号x（t）和y（t） 的互相关函数

17、： ( ) xy R 0 1 ( )( ) () lim T xy T Rx t y tdt T (525) x(t) y(t) 时时 延延 器器 乘乘 法法 器器 y(t +) x(t)y(t +) 积积 分分 器器 Rxy() 互相关函数的性质互相关函数的性质 峰值点峰值点 互相关函数不是偶函数，其峰值偏离原点的 位置反映了两信号在错开多大时，相关程度 最高。 Rxy（）Ryx（） 3）频率相同的两个周期信号的互相关函数的仍是 周期函数，其周期与原信号相同。保留了两个 信号的频率，幅值和相位的信息（同频相关， 不同频不相关）。 4）若 ( ) ( )x ty t、完全独立无关，且均值为0，

18、则 ， ( )0 xy R 均值不为0，( ) xtxy R ； 2)( )( ) xyyx RR与不同， ()( ) xyyx RR 关函数的对称性，见上图 ，即互相 1 1）检测混淆在噪声中的信号）检测混淆在噪声中的信号 激振信号x（t）,所测定的信号为y（t）+ n（t）， n（t）为噪声信号。 那么做 互相关分析， y（t）与 n（t）频率无关，那么仅x（t）和 y（t）的互相关函数 存在，并反映了 激振的响应幅值和相位差。消除了噪声。 ( ) xy R ( ) ( )( ) x t y tn t d d v 1 2 Sv 据互相关图，发动机与座椅之间相关性差，而车 轮与座椅之间互相关

19、明显，那么振动主要由车轮引起。 注意：注意：对能量有限信号进行相关分析时，应 按下面定义来计算： dttytxR dttxtxR xy x 矩形脉冲信号、 衰减指数函数 等 对于随机信号，可用有限时间的样本记 录所求得的相关函数值来作为随机信号相关 函数的估计，即： T xy T x dttytx T R dttxtx T R 0 0 1 1 对于周期信号，可用一个周期内的观察 值的平均值代表整个过程的平均值。 对于有限个序列点N的数字信号的相关 函数估计，可写成： Nmr rnynx N rR rnxnx N rR N n xy N n x , 2 , 1 , 0 1 1 1 0 1 0 x

20、（t）是零均值的随机信号（若x（t）是非 零均值的，可以通过适当处理使其均值为0）， 并假定x（t）中没有周期分量，则： dR R x x 0lim 将自相关函数的傅立叶变换 （534） deRfS fj xx 2 （535） dfefSR fj xx 2 定义为 的自功率谱密度函数，简称 自功率谱自功率谱或自谱自谱。据傅立叶逆变换，有： ( )x t fS x 当=0 时，上式为： (前面已述，均方值为信号的平均功率)。 dffSdttx T limR x T T x0 2 1 0 这表示自功率谱 与频率轴所包围 的面积就是信号的平均功率。因此， 给出了信号中各频率分量的功率沿频率轴的 分布

21、，故称 为自功率谱密度函数。 fS x fS x fS x 为实偶函数。 称 为信号x（t）的单边功率谱。如图5-22所示。 fS x fSfG xx 2 dffXdttx 2 2 称为能谱，它是沿频率轴的能量分布 密度，在整个时间轴上信号平均功率为 2 fX dffX T dttx T P T T T av 2 0 2 1 lim 1 lim 巴塞伐尔定理巴塞伐尔定理 dffSdttx T limR x T T x0 2 1 0 根据式 得自功率谱密度函数和幅值谱的关系为： 所以功率谱可通过直接对时域信号作傅 里叶变换来计算。 21 fX T limfS T x (5-38) 功率谱的估计功

22、率谱的估计 用有限长度T的样本记录来计算样本功率 谱，并以此作为信号功率谱的初步估计值： 2 2 2 1 fX T fG fX T fS x x 对于数字信号： 2 2 2 1 kX N kG kX N kS x x 1 1）分析信号的成分和结构）分析信号的成分和结构 与幅值谱 均可反映频率结构， 但 反映的是信 号幅值的平方，因此 其频率结构更为明显 （见图523）。 fS x fS x fX 2 2）故障的判断和分析）故障的判断和分析 据功率谱的变化来判断发生原因，以便排除。 3 3）通过输入、输出自谱的分析，可得系统的）通过输入、输出自谱的分析，可得系统的 幅频特性幅频特性 fSfHfS

23、 xy 2 但在计算中丢失了相位信息，因而不能 得出系统的相频特性。 4 4）用来检测信号的周期成分）用来检测信号的周期成分 周期成分在实测的自功率谱密度图形中 以陡峭有限峰值的形态出现。 如果互相关函数满足傅立叶变换条件： dRxy deRfS fj xyxy 2 为x（t）和y（t）的互谱密度函数，简 称互谱互谱。 则定义 互谱和互相关函数构成一对傅立叶变换对， 所以二者包含有相同的信息，都可用来描述信 号之间的相关性，不同点是互相关函数在时间 域上，而互谱在频率域上。 互谱的傅立叶逆变换为： （546） dfefSR fj xyxy 2 互谱估计的计算式如下： i i * yx ii * xy fXfY T fS fY