一元函数积分学第2-5节定积分

1、 第二节第二节 定积分的概念与性质定积分的概念与性质 三、定积分的几何意义三、定积分的几何意义 一、两个实例一、两个实例 二、定积分的定义二、定积分的定义 四、定积分的性质与四、定积分的性质与N-LN-L x y o ? A 曲边梯形曲边梯形 1 1 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 一、两个实例一、两个实例 与两条直线与两条直线a x 、bx 0 y和和 )(xfy a b 由连续曲线由连续曲线 直接求直接求A A是困难的是困难的要设法近似取代，要设法近似取代，且要尽量精确且要尽量精确 所围成所围成 矩形面积矩形面积 a h ha a h b 梯形面积梯形面积 )( 2 ba h 方法方法: 用

2、矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然，小矩形越多，显然，小矩形越多， a bx y o （四个小矩形）（四个小矩形） a bx y o （九个小矩形）（九个小矩形） 矩形总面积越接近曲边梯形面积矩形总面积越接近曲边梯形面积 由此得出求曲边梯形面积由此得出求曲边梯形面积A A的一般思路：的一般思路： 曲边梯形如图曲边梯形如图 , 1210 b n x n xxxxa - - L ,ba内插入若干个分点，内插入若干个分点，在区间在区间 a b x y o ; 1- - - - D D iii xxx长度为长度为 , 1- -ii xx， 小区间小区间 ,n个个ba分成分

3、成把区间把区间 ，上任取一点上任取一点 i x x 在每个小区间在每个小区间 ii xx, 1- - iii xfAD D )(x x为为高高的的小小矩矩形形面面积积为为为为底底，以以)(, 1iii fxxx x - - (1) (1) 分割分割 (2) (2) 近似替代近似替代 iii xfSD D )(x x 相应曲边梯形面积的近似值为相应曲边梯形面积的近似值为 i x xi x 1 x 1- -i x 1- -n x x2 2 i n i i xfAD D )( 1 x x曲边梯形面积曲边梯形面积A的近似值为的近似值为 则当则当 0 时时,就有就有 为此为此必须让所有区间的长度都无限缩

4、小必须让所有区间的长度都无限缩小 即即: i n i i xfAD D )(lim 1 0 x x 曲边梯形面积为曲边梯形面积为 (3) (3) 求和求和 将所有小曲边梯形的面积相加可得将所有小曲边梯形的面积相加可得 (4) (4) 取极限取极限 要得到要得到A A的精确值的精确值 必须利用极限工具必须利用极限工具, , 设设为所有小区间长度的最大值为所有小区间长度的最大值 ,xmax n21 D D Lx D D xD D, 2 2 变速直线运动的路程变速直线运动的路程 设某物体作直线运动，设某物体作直线运动， 是时间间隔是时间间隔, 21 TT 上 上 t的一个连续函数，的一个连续函数，

5、求物体在这段时间内所经过的路程求物体在这段时间内所经过的路程S.S. （3）将各小段的路程相加，便得到路程的近似值，）将各小段的路程相加，便得到路程的近似值， )(tv v 已知速度已知速度 0)(tv，且且 思路：思路： 因为速度是变化的，故无法直接求出路程因为速度是变化的，故无法直接求出路程S S，于是，于是 （1）把整段时间分割成若干小段，）把整段时间分割成若干小段， （2）每小段上速度看作不变，求出该小段上路程的近似值）每小段上速度看作不变，求出该小段上路程的近似值 （4）通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值）通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值 （1 1）分割）分割 2121

6、01 TtttttT nn - - L 1- - - - D D iii ttt iii tvsD D D D)( 某小段路程值某小段路程值某时刻的速度某时刻的速度 （3）求和）求和 ii n i tvsD D )( 1 （4 4）取极限）取极限 ,max 21n tttD DD DD D L i n i i tvsD D )(lim 1 0 路程的精确值路程的精确值 即：即： (2) (2) 近似替代近似替代 从以上两例可以看出：从以上两例可以看出： （2 2）近似替代）近似替代 （1 1）分割）分割 （3）求和）求和 （4 4）取极限）取极限 两个背景完全不同的例子，却有着完全类似的解决方

7、案两个背景完全不同的例子，却有着完全类似的解决方案 当我们忽略两例的背景，而把上述解题的思路抽象出来，当我们忽略两例的背景，而把上述解题的思路抽象出来， 就可以得到以下重要的定积分的概念就可以得到以下重要的定积分的概念 设函数设函数)(xf在在,ba上有界，上有界， bxxxxxa nn - -1210 L 1- - - - D D iii xxx，), 2 , 1(L i， 定义定义 二、定积分的定义二、定积分的定义 我我们们就就称称这这个个极极限限 I为为函函数数)(xf 记为记为 b a Idxxf)( ii n i xfD D )(lim 1 0 x x 被积函数被积函数 被积表达式被

8、积表达式 积分变量积分变量 积分区间积分区间,ba 积分上限积分上限 积分下限积分下限 积分和积分和 附注：附注： b a dxxf)( b a dttf)( b a duuf)( 而而与与积积分分变变量量字字母母的的选选取取无无关关. .即即 称称)(xf在在区区间间,ba上上可可积积. . 定理定理1 1 )(xf一一定定在在区区间间,ba上上可可积积. . 存在定理存在定理 定理定理2 2 设设函函数数)(xf在在区区间间,ba上上有有界界， 则则)(xf也也一一定定在在区区间间,ba上上可可积积. . 怎怎样样的的函函数数)(xf才才在在区区间间,ba上上可可积积呢呢？. . 若不特别

9、申明，我们以后只讨论连续函数的定积分若不特别申明，我们以后只讨论连续函数的定积分 例例1 1 利用定义计算定积分利用定义计算定积分. 1 0 dxx 解解将将1 , 0n等等分分，分分点点为为 n i xi ，(ni, 2 , 1L ) 小小区区间间, 1ii xx - - 的的长长度度 n xi 1 D D，(ni, 2 , 1L ) 取取 ii x x x ii n i xfD D )( 1 x x ii n i xD D x x 1 nn i n i 1 1 ), 2 , 1(niL n i i n 1 2 1 则：则： 2 )1(1 2 nn n )( 2 1 n ii n i xfD

10、 D )(lim 1 0 x x 故：故：dxx 1 0 2 1 1 1 这显然与实际吻合这显然与实际吻合 但类似的计算非常困难，参见教材但类似的计算非常困难，参见教材P123 P123 例例1 1 因此，要寻找求定积分的更好的方法因此，要寻找求定积分的更好的方法 牛牛莱公式莱公式 , 0)( xf b a Adxxf)( 表示曲边梯形的面积表示曲边梯形的面积 , 0)( xf - - b a Adxxf)( 表示曲边梯形面积的代数和表示曲边梯形面积的代数和 1 A 2 A 3 A 4 A 4321 )(AAAAdxxf b a - - - - 三、定积分的几何意义三、定积分的几何意义 表示曲

11、边梯形面积的负值表示曲边梯形面积的负值 f (x) 任意任意 即：即： 在在 x 轴下方的面积取负号轴下方的面积取负号 轴上方的面积取正号；轴上方的面积取正号；在在 之间的各部分面积的代之间的各部分面积的代数和数和直线直线 的图形及两条的图形及两条轴、函数轴、函数它是介于它是介于 x bxax xfx , )( - - - - 例例2 2 利用几何意义计算定积分利用几何意义计算定积分 解解 1 1 dxx 1 0 )1表示表示 由由 x = 0, x = 1, y = 0, y = x 所围成的直角三角形的面积所围成的直角三角形的面积 表示表示 11 2 1 2 1 dxx - - sin )

12、2 由由 x = -, x =, y = 0, y = sinx 所围成的两块图形所围成的两块图形 两块图形面积相等两块图形面积相等, 又分别在上下半平面又分别在上下半平面. = 0 .)1 1 0 dxx .sin)2dxx - - .)3 0 22 dxxa a - - 6420246 - 1 1 -1-1 的面积的面积, , 例例2 2 利用几何意义计算定积分利用几何意义计算定积分.)1 1 0 dxx 解解 .sin)2dxx - - .)3 0 22 dxxa a - - 是半径为是半径为 a 的圆的圆 表示表示半径为半径为 a 的圆面积的圆面积的四分之一的四分之一( (第一象限部分

13、第一象限部分) ) )3 22 xay- - dxxa a - - 0 22 故故 a a 2 4 a 用上述方法求定积分只适用于特殊情形用上述方法求定积分只适用于特殊情形, , 一般情形一般情形, ,需另谋出路需另谋出路 牛牛莱公式莱公式 对定积分的补充规定对定积分的补充规定: : 说明说明 在下面的性质中，假定定积分都存在，在下面的性质中，假定定积分都存在， 且不考虑积分上下限的大小且不考虑积分上下限的大小 四、定积分的性质四、定积分的性质 和牛顿和牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式 证证 b a dxxgxf)()( iii n i xgfD D )()(lim 1 0 x xx x ii n

14、 i xfD D )(lim 1 0 x x ii n i xgD D )(lim 1 0 x x b a dxxf)(.)( b a dxxg （此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况） b a dxxgxf)()( b a dxxf)( b a dxxg)(.性质性质2 2 函数的和与差可与函数的和与差可与 定积分交换顺序定积分交换顺序 dx b a 1dx b a ab- - . 性质性质1 1 证证 b a dxxkf)( ii n i xkfD D )(lim 1 0 x x ii n i xfkD D )(lim 1 0 x x ii n

15、i xfkD D )(lim 1 0 x x .)( b a dxxfk 性质性质3 3 常数可与定积分交换顺序常数可与定积分交换顺序常数是常数是“自由人自由人” b a b a dxxfkdxxkf)()( (k为常数为常数). 补充：不论补充：不论 的相对位置如何的相对位置如何, , 上式总成立上式总成立. .cba, 例例 若若, cba c a dxxf)( c b b a dxxfdxxf)()( .)()( b c c a dxxfdxxf 定积分对于积分区间定积分对于积分区间 具有可加性具有可加性 b a dxxf)( - - c b c a dxxfdxxf)()(则则 b a

16、 dxxf)( b c c a dxxfdxxf)()(. 性质性质4 4 性质性质1 1、2 2、3 3常用于定积分的计算常用于定积分的计算 证证 , 0)( xf , 0)( x x i f), 2 , 1(niL , 0 D D i x, 0)( 1 D Dx x ii n i xf ,max 21n xxxD DD DD D L ii n i xfD D )(lim 1 0 x x . 0)( b a dxxf 性质性质5 5 解解令令 ,)(xexf x - - 0, 2- - x , 0)( xf, 0)( 0 2 - - - - dxxe x dxe x - - 0 2 , 0

17、2 dxx - - 于是于是 dxe x - -2 0 . 2 0 dxx - - 性质性质5 5常用于定积分的大小比较常用于定积分的大小比较 3 性质性质5 5的推论：的推论： 证证 ),()(xgxf , 0)()( - -xfxg , 0)()( - - dxxfxg b a , 0)()( - - b a b a dxxfdxxg （1） )(ba 证证 , )()()(xfxfxf - - ,)()()(dxxfdxxfdxxf b a b a b a - - 即即dxxf b a )(dxxf b a )(. 说明：说明： 可积性是显然的可积性是显然的. . 性质性质5 5的推论：

18、的推论： dxxf b a )(dxxf b a )(.（2） 证证,)(Mxfm ,)( b a b a b a Mdxdxxfdxm ).()()(abMdxxfabm b a - - - - 性质性质6常用于估计积分值的大致范围常用于估计积分值的大致范围 性质性质6 6 解解 , sin3 1 )( 3 x xf , 0 x , 1sin0 3 x , 3 1 sin3 1 4 1 3 x , 3 1 sin3 1 4 1 00 3 0 dxdx x dx . 3sin3 1 4 0 3 dx x 4 证证 Mdxxf ab m b a - - )( 1 )()()(abMdxxfabm

19、 b a - - - - 由闭区间上连续函数的介值定理知由闭区间上连续函数的介值定理知 性质性质7 7（定积分中值定理）（定积分中值定理） 积分中值公式积分中值公式 性质性质7 常用于常用于 有关有关 定积分的定积分的 证明题中证明题中 使使,)( 1 )( - - x x b a dxxf ab f )(ba x xdxxf b a )()(abf- - x x. 即即 积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释： x y oa bx x )(x xf 底底边边， 设函数设函数)(xf在区间在区间,ba上连续，上连续， 考察定积分考察定积分 x a dxxf)( x a dttf)( 记

20、为：记为：.)()( x a dttfx称为积分上限函数称为积分上限函数 如果上限如果上限x在区间在区间,ba上任意变动，上任意变动， ,ba上定义了一个函数，上定义了一个函数， 先引入积分上限函数的概念先引入积分上限函数的概念 x为 为,ba上的一点，上的一点，并且设并且设 所以它在所以它在 一个取定的一个取定的x值，定积分值，定积分都都有一个对应值，有一个对应值，则对于每则对于每 或：变上限函数或：变上限函数 中值定理的应用中值定理的应用: : 原函数存在定理原函数存在定理 积分上限函数的性质积分上限函数的性质 a bx y o 积分上限函数的性质积分上限函数的性质 xxD D 证：证：

21、dttfxx xx a D D D D )()( )()(xxx - -D D DD dttfdttf x a xx a - - D D )()( )(x x 显然只能利用导数的定义来证显然只能利用导数的定义来证 （P129） dttfdttfdttf x a xx x x a - - D D )()()( ,)( D D xx x dttf 由积分中值定理得由积分中值定理得 xfD D DD)(x x,xxxD D x x ),(x xf x D D DD )(limlim 00 x xf x xxD DD D D D D D xxD Dx x, 0).()(xfx a bx y oxxD

22、D )( x x 证毕证毕 x x 定理定理 （原函数存在定理）（原函数存在定理） 则积分上限的函数则积分上限的函数 就是就是)(xf在在,ba上的一个原函数上的一个原函数. . 定理的重要意义定理的重要意义： （1 1）肯定了连续函数的原函数是存在的）肯定了连续函数的原函数是存在的. . （2 2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系. . x a dttfx)()( 如果如果)(xf在在,ba上连续，上连续， )(sin)(5 2 0 2 xdttx x 求求，：设：设例例 )()()( )( xxfdttf x a 一一般般地地： 一

23、方面，由定积分的定义知，路程一方面，由定积分的定义知，路程S为为 2 1 )( T T dttv 另一方面这段路程可表示为另一方面这段路程可表示为)()( 12 TsTs- - ).()()( 12 2 1 TsTsdttv T T - - ).()(tvts 其其中中 一个实例：变速直线运动中一个实例：变速直线运动中 位置函数与速度函数的位置函数与速度函数的联系联系 设某物体作直线运动，设某物体作直线运动， 是时间间隔是时间间隔, 21 TT上 上 t的一个连续函数，的一个连续函数， 求物体在这段时间内所经过的路程求物体在这段时间内所经过的路程S.S. )(tv v 已知速度已知速度 0)(

24、tv，且且 由此可见，定积分是其原函数在积分区间上的增量由此可见，定积分是其原函数在积分区间上的增量 它有一般性吗？它有一般性吗？ 定理定理 3 3（微积分基本公式）（微积分基本公式） 如果如果)(xF是连续函数是连续函数)(xf在区间在区间,ba上的上的 一个原函数，一个原函数， 又又也是也是)(xf的一个原函数的一个原函数, , CxxF - -)()(,bax 证证 牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式 b a dxxf)()()(aFbF- - 则则 x a dttfx)()( 令令ax ,)()(CaaF - - 0)()( dttfa a a ,)(CaF ).()()(aFbFdxx

25、f b a - - 牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式 CxxF - -)()( 令令bx ,)()(CbbF - - )()()(aFbFb- - 微积分基本公式表明：微积分基本公式表明： )()()(aFbFdxxf b a - - b a xF)( 求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题. .于是，于是， 过程为：过程为： dxxf b a )( b a xF)( )()(aFbF- - 注意注意 当当b a 时，时， 上式仍成立上式仍成立 D D 例例6 6 求求 原式原式 1 0 3 3 x 解解 . 1 0 2 dxx 3 0 3 1 33 - - 3 1

26、例例8 8 求求 原式原式 3 1 arctan - - x 解解 . 1 1 3 1 2 - - dx x ) 4 ( 3 - - - )1arctan(3arctan- - - 12 7 例例7 7 求求 .tan 4 0 xdx 原式原式 4 0 cosln x- - 解解 0 2 2 ln- - - 2ln 2 1 例例9 9 求求 . 1 1 2 dx x - - - - 解解 dx x - - - - 1 2 1 1 2 |ln - - - - x. 2ln2ln1ln- - - - x y o 解解 面积面积 0 sinxdxA - - 0 cos x )1(1- - - 10

27、. 2 例例11 11 求求 .)1sincos2( 2 0 - - dxxx 例例12 12 设设 , 求求 . 215 102 )( x xx xf 2 0 )(dxxf 原式原式 2 0 cossin2 xxx- - - . 2 3 - - 解解 解解 1 0 2 1 2 0 )()()(dxxfdxxfdxxf 1 0 2 15 2dxxdx原原式式 x y o12 . 6 2 1 1 0 2 5xx 例例13 13 求求 .,max 2 2 2 - - dxxx 解解由图形可知由图形可知 ,max)( 2 xxxf , 21 10 02 2 2 - - xx xx xx - - 2

28、1 2 1 0 0 2 2 dxxxdxdxx原式原式 . 2 1 5 3 1 3 8 0 2 1 ) 3 8 (0 - - - - - - - x y o 2 xy xy 12 2- - 2 1 3 1 0 2 0 2 3 323 - - xxx 例例14 14 求求.1 2 0 - -dxx 解解 - - - - 1 0 2 1 11dxxdxx原式原式 2 1 2 1 0 2 2 1 2 1 - - - - xxxx - - - - 1 0 2 1 )1()1(dxxdxx 1 , 0)(2)( - - xfxF, 1)( xf , 01)0( - - F - - 1 0 )(1)1(d

29、ttfF - - 1 0 )(1 dttf , 0 所以根据介值定理所以根据介值定理 0)( xF即原方程在即原方程在00，11上只有一个解上只有一个解. . 证证, 1)(2)( 0 - - - dttfxxF x 令令 15 第四节第四节 定积分的计算定积分的计算 一、定积分的换元法一、定积分的换元法 二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法 定积分虽然是定积分虽然是 f (x) 的原函数在的原函数在 a , b 上的增量，上的增量， 但在求定积分时通常不先求出原函数但在求定积分时通常不先求出原函数, 再求增量再求增量, 而是把求不定积分的方法用到时求定积分的过程中而是把求不定积分的方

30、法用到时求定积分的过程中, 从而就有了与求不定积分十分类似的从而就有了与求不定积分十分类似的 换元法和分部积分法换元法和分部积分法 定理定理 一、定积分的换元法一、定积分的换元法P150 应用换元公式时应注意应用换元公式时应注意: : 不必象计算不定积分那样不必象计算不定积分那样 要把要把 t的上、下限分别代入的上、下限分别代入 然后相减就行了然后相减就行了. 求出求出)()(ttf 的一个原函数的一个原函数 )(t 后，后， （2 2） （1 1） 用用)(tx 把变量把变量x换成新变量换成新变量t时，时， 积分限也要相应的改变积分限也要相应的改变. . 换元必换限换元必换限 )(t )(t

31、而只要把新变量而只要把新变量 无需回代无需回代 再变换成原变量再变换成原变量 x 的函数，的函数， 例例1 1 计算计算 .sincos 2 0 5 xdxx - - 0 1 5dt t 1 0 6 6 t . 6 1 解：解： f (x) 中含中含 sinx 与与 cosx 的积，的积， 2 0 5 sincosxdxx - - 2 0 5 )cos(cos xxd 2 0 6 6 cos - - x ) 6 1 (0- - - . 6 1 换元必换限换元必换限 不换元则不换限不换元则不换限 故可故可“凑微分凑微分” )cos( - -x 类例：类例： P150, 例例4 例例2 2 计算计

32、算. 0 22 - - R dhhRh 故可故可“凑微分凑微分” 解解 hhR2)( 22 - - - -被积函数中含有根式，被积函数中含有根式， 于是于是 R hR 0 2 3 22 )( 3 2 2 1 - - - 但但 - - R dhhRh 0 22 - - - - R hRdhR 0 2222 )( 2 1 ) 3 1 (0 3 R- - - 3 3 R 例例3 3 计算计算 .sinsin 0 53 - -dxxx 解解 xxxf 53 sinsin)(- - 2 3 sincosxx - - 0 53 sinsindxxx 0 2 3 sincosdxxx 2 0 2 3 sin

33、cosdxxx - - 2 2 3 sincosdxxx 2 0 2 3 sinsinxdx - - 2 2 3 sinsinxdx 2 0 2 5 sin 5 2 x - - 2 2 5 sin 5 2 x. 5 4 练习：练习： P150, 例例5 例例4 4 计算计算. 2 12 1 02 - - dx x x 解解分母中出现根式分母中出现根式 4 222 - - 2 2x- - 而分子中同时出现而分子中同时出现 x 和和 1 ，故应分开处理。，故应分开处理。 原式原式 - - 1 02 2 2 dx x x - - 1 02 2 1 dx x - - - - - - 1 02 2 2

34、)2( x xd 1 0 2 arcsin x 1 0 2 22x- - - 0 4 - - 例例5 5 计算计算 解解 xd x x 4 0 12 2 被积函数是分式函数，分子次数高于分母，故可分拆变形。被积函数是分式函数，分子次数高于分母，故可分拆变形。 xd x x 4 0 12 2 xd x x 4 0 12 2 3 2 1 xd x xdx 4 0 4 0 122 3 12 2 1 )12()12( 4 3 )12()12( 4 1 4 0 2 1 4 0 2 1 - - xdxxdx 4 0 2 1 4 0 2 3 )12(2 4 3 )12( 3 2 4 1 xx )13( 2

35、3 )127( 6 1 - - - - 3 22 3 3 13 )12( 2 1 xddx 证证 ,)()()( 0 0 - - - a a a a dxxfdxxfdxxf 6 - - 0 )( a dxxf - - - 0 )( a dttf,)( 0 - - a dttf ),()(tftf - - - - - a a a a dxxfdxxfdxxf 0 0 )()()( ;)(2 0 a dxxf ),()(tftf- - - - - - - a a a a dxxfdxxfdxxf 0 0 )()()(. 0 例例7 7 计算计算. 1 sin 1 1 2 32 - - dx x

36、xx 解解这是对称区间上的积分这是对称区间上的积分 2 2 - - 但被积函数是非奇非偶函数，但被积函数是非奇非偶函数， 原式原式 1 0 arctan2xx - - 故必须分开处理：故必须分开处理： - - 1 1 2 2 1 dx x x - - 1 1 2 3 1 sin dx x x - - 1 0 2 ) 1 1 1(2dx x 0 定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式 推导推导 ,vuvuuv ,)( b a b a uvdxuv , b a b a b a dxvudxvuuv . - - b a b a b a vduuvudv 二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法

37、 .duvuvudv - - 例例11 11 计算计算 .sin 0 xdxx 解解 uv uv duvdu - - 0 )cos(xxd 原式原式 = = 0 )cos(xx - - dxx - - - 0 )cos( dxx 0 cos 0 sinx 例例12 12 计算计算 . cos 4 0 2 dx x x 解解 u dv uvduvdu 4 0 tan xxd原式原式 = = 4 0 )(tan xx dxx - - 4 0 tan 4 4 0 cosln x 2ln 2 1 4 - - 练习练习 计算计算. 2cos1 4 0 x xdx 解解,cos22cos1 2 xx 4

38、0 2cos1x xdx 4 0 2 cos2x xdx xd x tan 2 4 0 4 0 tan 2 1 xx xdxtan 2 1 4 0 - - 4 0 secln 2 1 8 - - x . 4 2ln 8 - - 例例13 13 计算计算.arcsin 2 1 0 xdx 2 1 0 arcsin xdx 2 1 0 arcsin xx - - - - 2 1 0 2 1x xdx 62 1 )1( 1 1 2 1 2 0 2 2 1 xd x - - - - 12 2 1 0 2 1x- - . 1 2 3 12 - - 解解 被积函数是反三角函数与幂函数的乘积，故被积函数是反

39、三角函数与幂函数的乘积，故 uvuv du vdu =xdx 例例14 14 计算计算 .ln 2 1 2 xdxx 解解 u v uv du vdu 2 1 3 ) 3 1 (lnxxd原式原式 = = 2 1 3 ln 3 1 xxxdxln 3 1 2 1 3 - - 3 2ln8 dxx - - 2 1 2 3 1 2ln 3 8 2 1 3 9 1 - -x2ln 3 8 9 7 - - 例例15 15 证明定积分公式证明定积分公式 22 00 cossinxdxxdxI nn n - - - - - - - - - - - - n n n n n n n n n n , 3 2 5

40、 4 2 31 , 22 1 4 3 2 31 L L 为正偶数为正偶数 为大于为大于1 1的正奇数的正奇数 证证设设 ,sin 1 xu n- - ,sinxdxdv ,cossin)1( 2 xdxxndu n- - - - ,cos xv- - 连续偶数连续偶数连续奇数连续奇数 (拆出一个拆出一个 sinx 来来) x 2 sin1- -0 dxxxnxxI nn n - - - - - - - 2 2 0 22 0 1 cossin)1(cossin dxxndxxnI nn n - - - - - -22 00 2 sin)1(sin)1( nn InIn)1()1( 2 - - -

41、 - - - 2 1 - - - - nn I n n I 积分积分 关于下标的递推公式关于下标的递推公式 n I 42 2 3 - - - - - - - nn I n n I,LL直到下标减到直到下标减到0 0或或1 1为止为止 22 00 cossinxdxxdxI nn n ,sin 1 xu n- - ,cossin)1( 2 xdxxndu n- - - - ,cos xv- - , 2 1 4 3 6 5 22 32 2 12 02 I m m m m I m - - - - - - L , 3 2 5 4 7 6 12 22 12 2 112 I m m m m I m - -

42、 - - L ), 2 , 1(L m , 2 2 0 0 dxI , 1cossin 2 0 0 1 2 - - xxdxI , 22 1 4 3 6 5 22 32 2 12 2 - - - - - - L m m m m I m . 3 2 5 4 7 6 12 22 12 2 12 - - - - L m m m m I m 于是于是 故故 而而 105 48 3 2 5 4 7 6 7 I例例: 768 105 22 1 4 3 6 5 8 7 8 I 例例16 16 计算计算.sin 4 2 0 dxx 2 0 cos2 tt- - 解解 先设法去掉根式先设法去掉根式, ,xt 则

43、则 u dv uv vdu 令令 原式原式 = 2 0 2sin tdtt 2 0 sin2 tdtt - - - 2 0 cos2 tdt 2 0 sin20 t 2 tdtdx2 ,costv- - 例例17 17 计算计算 - - a adx xax 0 22 )0(. 1 ax , 2 t0 x, 0 t 解解令令,sintax ,costdtadx 原式原式 - - 2 0 22 )sin1(sin cos dt tata ta 2 0 cossin cos dt tt t - - 2 0 cossin sincos 1 2 1 dt tt tt 2 0 cossinln 2 1 2

44、2 1 tt . 4 )cos(sinttd 0 第五节第五节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 一、一、 定积分的元素法定积分的元素法(微元法微元法) 二、平面图形的面积二、平面图形的面积 回顾回顾求曲边梯形面积的问题求曲边梯形面积的问题 b a dxxfA)( a b x y o )(xfy 一、一、 定积分的元素法定积分的元素法 它的面积它的面积 将面积表示为定积分的步骤如下将面积表示为定积分的步骤如下: （3 3）求和，得）求和，得A的近似值的近似值.)( 1 ii n i xfAD D x x （n . i 1）把区间）把区间,ba分成分成个长度为个长度为 的小区间，相的小区

45、间，相 应的曲边梯形被分为应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，第个小窄曲边梯形，第 个小窄个小窄 曲边梯形的面积为曲边梯形的面积为 D D n i iA A 1 则则, i AD D i xD D iii xfAD D D D)(x x ii xD D x x （2 2）计算）计算 i AD D的近似值的近似值 )(xfy y （4 4） 求极限，得求极限，得A的精确值的精确值 b a dxxf)( ii n i xfAD D )(lim 1 0 x x a b x o 由于区间由于区间xi , xi + x的任意性的任意性 窄曲边梯形的面积窄曲边梯形的面积A 就可表示为：就可表示为： dxx

46、f)( .)( b a dxxf dxxfA n i )(lim 1 0 在以上过程中，在以上过程中， Ai 的获取最为关键的获取最为关键 以及以及i 的任意性的任意性 可以省略足标可以省略足标 i ，并将，并将取取成左端点取取成左端点 x 这样这样, 任一小区间任一小区间x , x + x上的上的 A = 对面积元素求和取极限（即积分），对面积元素求和取极限（即积分）， 就有：就有： xdxx dA 面积元素面积元素 使用元素法解题的一般步骤：使用元素法解题的一般步骤： 1）根据所求量）根据所求量 A 的具体情况，的具体情况， 为积分变量，为积分变量， 2 2）设想把区间）设想把区间,ba分

47、成分成 n 个小区间，个小区间， 取其中任一小区间并记为取其中任一小区间并记为 ,dxxx ， 求出相应于这小区间的部分量的近似值求出相应于这小区间的部分量的近似值 U 称为量称为量 A的元素的元素dAdxxfA)( 前述这种求面积的方法称为前述这种求面积的方法称为“元素法元素法” 且记作且记作 即得所求量即得所求量A的积分表达式的积分表达式: :,ba上作定积分，上作定积分， 在区间在区间 3 3）以所求量）以所求量A的元素的元素dxxf)(为被积表达式，为被积表达式， dA = .)( b a dxxfA x)选取一个变量选取一个变量(例如例如 ,ba；并确定它的变化区间并确定它的变化区间 能使用能使用“元素法元素法”求解的所求量求解的所求量 A 必须符合下列条件：必须符合下列条件： （1 1）A是一个与变量是一个与变量 x的变化区间