一般周期函数的傅里叶级数

1、一般周期函数的傅里叶级数 第八节第八节 一般的傅里叶级数一般的傅里叶级数 一、以一、以 2l 为周期为周期的函数的傅里叶级数的函数的傅里叶级数 二、正弦级数与余弦级数二、正弦级数与余弦级数 一般周期函数的傅里叶级数 回顾：回顾：函数展开成傅里叶级数函数展开成傅里叶级数 定理定理 2 . 设设 f (x) 是周期为是周期为 2 的周期函数的周期函数 , 且且 )sincos( 2 )( 1 0 nxbnxa a xf nn n 右端级数可逐项积分右端级数可逐项积分, 则有则有 ), 1,0(dcos)( 1 nxnxxfan ),2, 1(dsin)( 1 nxnxxfbn 一般周期函数的傅里叶

2、级数 定理定理3 (收敛定理收敛定理, 展开定理展开定理) 设设 f (x) 是周期为是周期为2 的的 周期函数周期函数, 并满足狄利克雷并满足狄利克雷( Dirichlet )条件条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2) 在一个周期内只有有限个极值点在一个周期内只有有限个极值点, 则则 f (x) 的傅的傅里里叶级数收敛叶级数收敛 , 且有且有 1 0 sincos 2 n nn nxbnxa a , )(xf , 2 )()( xfxf x 为间断点为间断点 其中其中 nn ba ,为为 f (x) 的傅的傅里里叶系数叶系数 .

3、 x 为连续点为连续点 一般周期函数的傅里叶级数 一、以一、以2l 为周期为周期的傅氏级数的傅氏级数 定理定理 设周期为设周期为 2l 的周期函数的周期函数 f (x) 满足满足Dirichlet 充分条件，则充分条件，则 f (x) 的傅里叶级数的傅里叶级数 1 0 )sincos( 2 n nn x l n bx l n a a 在每点处收敛在每点处收敛. 且当且当 x 是是 f (x) 的连续点时的连续点时 , 级数收敛于级数收敛于 f (x) . 当当 x 是是 f (x) 的间断点时的间断点时, 级数收敛于级数收敛于 . 2 )()( xfxf 其中其中 ), 2 , 1 , 0(,

4、dcos)( 1 nxx l n xf l a l l n ), 2 , 1(,dsin)( 1 nxx l n xf l b l l n 一般周期函数的傅里叶级数 证明证明 , l x z 令令lxl , z , )()()(zF lz fxf 设设.2)(为为周周期期以以 zF ),sincos( 2 )( 1 0 nzbnza a zF n n n .dsin)( 1 ,dcos)( 1 znzzFb znzzFa n n 其中其中 一般周期函数的傅里叶级数 )sincos( 2 )( 1 0 x l n bx l n a a xf n n n ), 3 , 2 , 1(.dsin)(

5、1 ), 3 , 2 , 1 , 0(,dcos)( 1 nxx l n xf l b nxx l n xf l a l l n l l n 其中其中 )()(,xfzF l x z 一般周期函数的傅里叶级数 ,)()1(为为奇奇函函数数如如果果xf则有则有 ,sin)( 1 n n x l n bxf ,dsin)( 2 0 xx l n xf l b l n 其其中中系系数数 ), 2 , 1( n ,)()2(为为偶偶函函数数如如果果xf则有则有 ,cos 2 )( 1 0 n n x l n a a xf xx l n xf l a l n dcos)( 2 0 其其中中系系数数),

6、2 , 1 , 0( n 一般周期函数的傅里叶级数 k 2 x y 2 0 44 解解., 2 满足狄里克雷充分条件满足狄里克雷充分条件 l 2 0 0 2 0 d 2 1 d0 2 1 xkxa,k 一般周期函数的傅里叶级数 2 0 d 2 cos 2 1 xx n k , 0 2 0 d 2 sin 2 1 xx n kbn )cos1( n n k , , 6 , 4 , 20 , 5 , 3 , 1 2 n n n k 当当 当当 ) 2 5 sin 5 1 2 3 sin 3 1 2 (sin 2 2 )( xxxkk xf ),2;(Zkkxx n a), 2 , 1( n 一般周

7、期函数的傅里叶级数 二、二、正弦级数与余弦级数正弦级数与余弦级数 1、周期奇函数和偶函数的傅里叶级数、周期奇函数和偶函数的傅里叶级数 (1)(1)当周期为当周期为 2的奇函数的奇函数)(xf展开成傅展开成傅 里叶级数时里叶级数时, ,它的傅里叶系数为它的傅里叶系数为 ), 2 , 1(dsin)( 2 ), 2 , 1 , 0(0 0 nxnxxfb na n n 定理定理 一般说来一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦一个函数的傅里叶级数既含有正弦 项项,又含有余弦项又含有余弦项.但是但是,也有一些函数的傅里叶级也有一些函数的傅里叶级 数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项数只含有正弦项或

8、者只含有常数项和余弦项. 一般周期函数的傅里叶级数 (2)(2)当周期为当周期为 2的偶函数的偶函数)(xf展开成傅展开成傅 里叶级数时里叶级数时, ,它的傅里叶系数为它的傅里叶系数为 ), 2 , 1(0 ), 2 , 1 , 0(dcos)( 2 0 nb nxnxxfa n n 定义定义 如果如果)(xf为偶函数为偶函数, , 傅氏级数傅氏级数nxa a n n cos 2 1 0 称为称为余弦级数余弦级数. . 一般周期函数的傅里叶级数 例例 1 1 设设)(xf是是周周期期为为 2的的周周期期函函数数,它它在在 ), 上上的的表表达达式式为为xxf )(,将将)(xf展展开开成成 傅

9、傅氏氏级级数数. 2 2 3 3 x y 0 一般周期函数的傅里叶级数 例例 1 1 设设)(xf是是周周期期为为 2的的周周期期函函数数,它它在在 ), 上上的的表表达达式式为为xxf )(,将将)(xf展展开开成成 傅傅氏氏级级数数. 解解 所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件. ,), 2, 1, 0()12(处处不不连连续续在在点点 kkx 2 )0()0( ff 收收敛敛于于 2 )( , 0 ),()12(xfkxx处处收收敛敛于于在在连连续续点点 一般周期函数的傅里叶级数 ,2)()12(为周期的奇函数为周期的奇函数是以是以时时 xfkx ), 2 , 1 ,

10、 0(, 0 nan 0 dsin)( 2 xnxxfbn 0 dsin 2 xnxx 0 2 sincos 2 n nx n nxx n n cos 2 ,)1( 2 1 n n ), 2 , 1( n )4sin 4 1 3sin 3 1 2sin 2 1 (sin2)( xxxxxf (;(21) ,)xxkkZ 一般周期函数的傅里叶级数 例例 2 2 设设)(xf是是周周期期为为 2的的周周期期函函数数,它它在在 ), 上上的的表表达达式式为为|)(xxf ,将将)(xf展展 开开成成傅傅氏氏级级数数. 解解 所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件. x y 0 2

11、2 , 2)( 周期的偶函数周期的偶函数 为为是以是以 xf ), 2 , 1(, 0 nbn 0 0 d)( 2 xxfa 0 d 2 xx, 一般周期函数的傅里叶级数 0 dcos)( 2 xnxxfan 0 dcos 2 xnxx )1(cos 2 2 n n 1)1( 2 2 n n , 2 , 1,2, 0 , 2 , 1, 12, )12( 4 2 kkn kkn k xxxxf5cos 5 1 3cos 3 1 cos 4 2 )( 22 )( x ), 2 , 1( n 02 cossin 2 n nx n nxx 一般周期函数的傅里叶级数 2、非周期函数展开成正弦或余弦级数、

12、非周期函数展开成正弦或余弦级数 非周期函数的周期性延拓非周期函数的周期性延拓 ).( )2(2,) , 0( , 0)( xF llxf 为为周周期期的的函函数数 或或延延拓拓成成以以上上或或定定义义在在设设 , 0)( 0)( )( xxg xxf xF令令),()2(xFxF 且且 则有如下两种情况则有如下两种情况. 偶偶延延拓拓 奇奇延延拓拓 一般周期函数的傅里叶级数 1) 奇延拓奇延拓:)()(xfxg 0)( 00 0)( )( xxf x xxf xF则则 x y 0 的傅氏正弦级数的傅氏正弦级数)(xf 1 sin)( n n nxbxf )0( x 一般周期函数的傅里叶级数 2

13、) 偶延拓偶延拓:)()(xfxg 0)( 0)( )( xxf xxf xF则则 的傅氏余弦级数的傅氏余弦级数)(xf 1 0 cos 2 )( n n nxa a xf)0( x x y 0 一般周期函数的傅里叶级数 定义在定义在0, 上的函数展成正弦级数与余弦级数上的函数展成正弦级数与余弦级数 ,0),(xxf )(xF 周期延拓周期延拓 F (x) )(xF f (x) 在在 0, 上展成上展成 周期延拓周期延拓 F (x) 余弦级数余弦级数 奇延拓奇延拓偶延拓偶延拓 xO y 正弦级数正弦级数 f (x) 在在 0, 上展成上展成 O x y , 0(),(xxf 0, 0 x )0

14、,(),(xxf ,0),(xxf )0,(),(xxf 一般周期函数的傅里叶级数 例例 3 3 将将函函数数)0(1)( xxxf分分别别展展开开成成 正正弦弦级级数数和和余余弦弦级级数数. . 解解 (1)(1)求正弦级数求正弦级数. . x y 0 将将 f (x) 作奇周期延拓作奇周期延拓, , 则有则有 ),2,1,0(0 nan 0 sin)( 2 nxdxxfbn 一般周期函数的傅里叶级数 0 sin)( 2 nxdxxfbn 0 sin)1( 2 nxdxx )coscos1( 2 nn n , 6 , 4 , 2 2 , 5 , 3 , 1 22 n n n n 当当 当当

15、4sin 4 3sin)2( 3 1 2sin 2 sin)2( 2 1 xxxxx (0)x 02 cossincos 2 n nx n nx n nxx 一般周期函数的傅里叶级数 (2)(2)求余弦级数求余弦级数. . 将将 f (x) 作偶周期延拓作偶周期延拓, , 则有则有 x y 0 1 0 0 d)1( 2 xxa,2 0 dcos)1( 2 xnxxan )1(cos 2 2 n n , 5 , 3 , 1 4 , 6 , 4 , 20 2 n n n 当当 当当 xxxx5cos 5 1 3cos 3 1 cos 4 1 2 1 22 )0( x ),2,1(0 nbn 一般周

16、期函数的傅里叶级数 例例4 4. 把把 展开成展开成)20()( xxxf (1) 正弦级数正弦级数; (2) 余弦级数余弦级数. 解解: (1) 将将 f (x) 作奇周期延拓作奇周期延拓, , 2 o y x ),2,1,0(0 nan 2 0 d 2 sin 2 2 x xn xbn n n cos 4 ),2,1()1( 4 1 n n n 2 4 sin 4 1 2 3 sin 3 1 2 2 sin 2 1 2 sin 4 )( xxxx xf )20( x 一般周期函数的傅里叶级数 2 o y x (2) 将将 f (x) 作偶周期延拓作偶周期延拓, , ),2,1(0 nbn

17、2 0 0 d 2 2 xxa2 2 0 d 2 cos 2 2 x xn xan 1)1( 4 22 n n xxf )( ),2,1( k 2 5 cos 5 1 2 3 cos 3 1 2 cos 8 1 222 xxx )20( x kn2,0 , )12( 8 22 k 12 kn 一般周期函数的傅里叶级数 当函数定义在任意有限区间上时当函数定义在任意有限区间上时, 方法方法1, , )(baxxf 令 , 2 ab zx 即 2 ab xz z ab zfxfzF, ) 2 ()()( 2 , 2 abab 在 2 , 2 abab 上展成傅里叶级数上展成傅里叶级数)(zF 周期延

18、拓周期延拓 将将 2 ab xz )(xf 在在 ,ba 代入展开式代入展开式 上的傅里叶级数上的傅里叶级数 其展开方法为其展开方法为: x a b 2 ba 一般周期函数的傅里叶级数 方法方法2, , )(baxxf 令,azx zazfxfzF, )()()( ab,0 在 ab,0 上展成正弦或余弦级数上展成正弦或余弦级数)(zF 奇或偶式周期延拓奇或偶式周期延拓 将将 代入展开式代入展开式axz )(xf在在,ba 即 axz 上的正弦或余弦级数上的正弦或余弦级数 x a b 一般周期函数的傅里叶级数 例例3. 将函数)155(10)(xxxf展成傅里里叶级数. 解解: 令,10 xz

19、设 )55( )10()()(zzzfxfzF 将F(z) 延拓成周期为 10 的周期函数, 理条件.由于F(z) 是奇函数, 故 ),2, 1,0(0nan 5 0 5 2 zbnz zn d 5 sin n n 10 ) 1( ),2,1(n 则它满足收敛定 5 sin ) 1(10 )( 1 zn n zF n n )55(z 5 sin ) 1(10 10 1 xn n x n n )155( x )(zF z55O 一般周期函数的傅里叶级数 , 处收敛于 练习练习1. )(xf 0 x,1 x0,1 2 x 则它的傅里里叶级数在x 在4x处收敛于 . 提示提示: 2 )()(ff 2

20、 )( f)( f 2 2 2 2 )4()4(ff 2 )0()0( ff 2 11 0 2 设周期函数在一个周期内的表达式为 x y O 1 1 一般周期函数的傅里叶级数 x y O 1 1 )(xf 练习练习. 写出函 数 )(xf 0, 1x x0, 1 上在, 傅氏级数的和函数 . )(xS 0, 1x x0, 1 0 x,0 x,0 答案: 一般周期函数的傅里叶级数 三、小结三、小结 1. 验证是否满足狄氏条件验证是否满足狄氏条件(收敛域收敛域,奇偶性奇偶性); 2.求出傅氏系数求出傅氏系数; 3.写出傅氏级数写出傅氏级数,并注明它在何处收敛于并注明它在何处收敛于).(xf 以以 2l 为周期的傅里叶系数；奇函数和偶函数的为周期的傅里叶系数；奇函数和偶函数的 傅里叶系数；正弦级数与余弦级数；非周期函傅里叶系数；正弦级数与余弦级数；非周期函 数的周期性延拓数的周期性延拓 . 求傅里叶级数展开式的步骤：求傅里叶级数展开式的步骤： 一般周期函数