立体几何证明垂直专项知识点及练习

1、立体几何证明垂直.复习引入1. 空间两条直线的位置关系有：,三种。2. （公理4）平行于同一条直线的两条直线互相 .3. 直线与平面的位置关系有,种。4. 直线与平面平行判定定理：如果的一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行5. 直线与平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么.6. 两个平面的位置关系：,.7. 判定定理1:如果一个平面内有 线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.8. 线面垂直性质定理：垂直于同一条直线的两个平面 .9. 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的 行.10. 如果两个平面平行，那么其

2、中一个平面内的所有直线都 于另一个平面.二.知识点梳理知识点一、直线和平面垂直的定义与判定定义判定语言描述如果直线1和平面a内的任意一条直一条直线与一个平面内的两条相交 线都垂直，我们就说直线 1与平面直线都垂直，则这条直线与该平面垂直.互相垂直，记作1丄a图形b力/条件b为平面a内的任一直线，而1对这 一直线总有1丄al 丄 m , l 丄 n , m A n = B, m,n结论l丄l丄要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不（线线垂直线面垂直）知识点二、直线和平面垂直的性质性质语言描述一条直线垂直于一个平面，那么这条 直线垂直于这个平面内的

3、所有直线垂直于同一个平面的两条直线平行.图形条件1丄禺唧匚口：1丄工用丄4：结论】丄m知识点三、二面角I 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle）.这条直线叫做二 面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面记作二面角 AB .（简记P AB Q ） 二面角的平面角的三个特征：i. 点在棱上ii .线在面内iii .与棱垂直n .二面角的平面角：在二面角 -1- 的棱i上任取一点o ,以点o为垂足，在半平面，内分别作 垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的 AOB叫做二面角的平面角.作用：衡量二面角的大小；范围：001800.知识点四、平面和平

4、面垂直的定义和判定定义判定文字描述两个平面相交，如果它们所成的二面 角是直二面角，就说这两个平面垂 直.一个平面过另一个平面的垂线，则这 两个平面垂直图形B立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法(1)(2)(3)(4)通过“平移”。利用等腰三角形底边上的中线的性质。 利用勾股定理。利用直径所对的圆周角是直角(1)通过“平移”，根据若a/ /b,且b丄平面a,则a丄平面a1.在四棱锥P-ABCD中， PBC为正三角形，AB丄平面PBC AB/ CD,1AB= DC E为 PD 中点.2求证：AE平面PDC.2. 如图，四棱锥P- ABCD的底面是正

5、方形，PA丄底面ABCD , / PDA=45，点E为棱AB的中点.求证：平面 PCE丄平面PCD;D(第2题(2)利用等腰三角形底边上的中线的性质3、在三棱锥 P ABC 中，AC BC 2, ACB 90, AP BP AB , PC AC .(I) 求证：PC AB;(3)利用勾股定理(4)利用直径所对的圆周角是直角4. 如图，四棱锥P ABCD的底面是边长为1的正方形，PA CD,PA 1,PD ,2. 求证：PA平面ABCD ;5、如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA丄平面ABC.(1)求证：平面FAC丄平面PBC;课堂及课后练习题:1. 判断下列命题是否正确，对的打“V”

6、，错误的打“X” O(1) 垂直于同一直线的两个平面互相平行()(2) 垂直于同一平面的两条直线互相平行()(3) 条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线垂直()2.已知直线 a,b 和平面 ，且a b,a则 b 与 的位置关系是3. 如图所示，在四棱锥P ABCD中，AB 平面PAD , AB/CD ,PD AD , E是PB的中点，F是CD上1的点，且DF AB,PH为 PAD中AD边上的高。2(1)证明：PH 平面ABCD ;4. 如图所示,四棱锥P ABCD底面是直角梯形BA AD, CD AD, CD 2AB, PA 底面 ABCD,E为PC的中点,FA= AD。证明

7、：BE 平面PDC ;E5. 如图，在三棱锥P ABC中，/ PAB是等边三角形，/ PAC=PBC=90 o证明：AB丄PC6. 如图，四面体 ABCD中，0、E分别是BD、BC的中点,CA CB CD BD 2, AB AD . 2.(1) 求证：AO 平面BCD ;(2) 求异面直线AB与CD所成角的大小；7. 如图，四棱锥S ABCD中，AB BC , BC CD，侧面SAB为等边三角形 AB BC 2, CD SD 1 证明.SD 平面SAB ；8. 如图，在圆锥PO中，已知PO= 2 , O的直径AB 2,C是狐AB的中点，D为AC的中点证明：平面PD 平面PAC ；课堂及课后练习

8、题答案：1(1) V(2) V (3) V2. b或者b3.证明：因为PH为PAD中AD边上的高，所以PHAD，又因为AB平面PAD，所以ABPH，ABI AD=A，所以 PH 平面 ABCD4分析：取PD的中点F，易证AF/BE,易证AF丄平面PDC从而BE 平面PDC.5.证明：因为 PAB是等边三角形， PAC PBC 90 所以 Rt PBC Rt PAC ,可得 AC BC。如图，取AB中点D，连结PD, CD,则PDAB, CD AB,所以AB 平面PDC ,所以AB PC。6. (1)证明：连结OCQ BO DO, AB AD, AO BD.Q BO DO,BC CD, CO BD.在 AOC中，由已知可得 AO 1,CO 、3.而 AC 2,AO2 CO2 AC2,AOC 90o,即 AO OC.Q BD I OC O, AO 平面 BCD7.(I)取AB中点E,连结DE，则四边形BCDE