(齐次方程的分离变量法)

1、(齐次方程的分离变量法) 1 分离变数法是定解问题的一种基本解法，适用于大量的分离变数法是定解问题的一种基本解法，适用于大量的 研究两端固定的均匀弦的自由振动，即：研究两端固定的均匀弦的自由振动，即： 0 2 xxtt uau 0| 0| 0 lx x u u )(| )(| 0 0 xu xu tt t 初始初始 征值问题，本章限于本征函数是三角函数的情况。征值问题，本章限于本征函数是三角函数的情况。 个常微分方程，其中有的常微分方程带有附加条件，构成本个常微分方程，其中有的常微分方程带有附加条件，构成本 各种各样的定解问题，其基本思想是把偏微分方程分解各种各样的定解问题，其基本思想是把偏微

2、分方程分解 (齐次方程的分离变量法) 2 这里弦是有限长的，即有两个端点，波在端点时间来回反射这里弦是有限长的，即有两个端点，波在端点时间来回反射 同频率的反向波形成驻波同频率的反向波形成驻波 在驻波中，有的点振幅最大，叫做波腹，还有些最小，叫做波节在驻波中，有的点振幅最大，叫做波腹，还有些最小，叫做波节 驻波没有波形传播，即各振动项位点不依次滞后，他们按统一方驻波没有波形传播，即各振动项位点不依次滞后，他们按统一方 )()(),(tTxXtxu 此时，驻波的一般表达式具有分离变数的形式！此时，驻波的一般表达式具有分离变数的形式！ 把上式代入振动方程和边界条件可得：把上式代入振动方程和边界条件

3、可得： 0 2 TXaTX 0)()( 0)()0( tTlX tTX 0)( 0)0( lX X （与（与t无关）无关） 0 2 xxtt uau 0| 0| 0 lx x u u 式随时间式随时间t振动，可以表示成振动，可以表示成T（t）但各点振幅随地点而异，即是）但各点振幅随地点而异，即是 x的函数的函数X（x），则驻波的一般表达式为：），则驻波的一般表达式为： (齐次方程的分离变量法) 3对于方程对于方程 0 2 TXaTX 同除同除 XTa 2 则可得则可得 X X Ta T 2 左边是时间左边是时间t的函数，与坐标的函数，与坐标x无关，右边是坐标无关，右边是坐标x的函数，与的函数，

4、与 X X Ta T 2 就把原方程分为两个常微分方程，即：就把原方程分为两个常微分方程，即： 0)(, 0)0( 0 lXX XX 0 2 TaT 我们先来求解我们先来求解X，根据，根据 0, 0, 0 的不同来考察的不同来考察 （1）0 时间时间t无关，显然不等，除非等于常数，记常数为无关，显然不等，除非等于常数，记常数为 (齐次方程的分离变量法) 4 0)(, 0)0( 0 lXX XX 方程的解是方程的解是 xx eCeCxX 21 )( 积分常数由初始条件确定：积分常数由初始条件确定： 0 0 21 21 ll eCeC CC 由此可得由此可得0 21 CC即即0)(xX 驻波驻波

5、0)()(),(tTxXtxu没有意义，故排除！没有意义，故排除！ （2）0 此时方程的解是：此时方程的解是：CxCxX 1 )( 积分常数由初始条件确定：积分常数由初始条件确定： 0 0 21 2 ClC C 由此可得由此可得 0 21 CC即即0)(xX 没有意义，故排除！没有意义，故排除！ (齐次方程的分离变量法) 5 （2）0 0)(, 0)0( 0 lXX XX 此时方程解为：此时方程解为： xCxCxXsincos)( 21 积分常数由初始条件来确定积分常数由初始条件来确定 0sin 0 2 1 lC C 此时如果此时如果0sinl仍然可得仍然可得0 21 CC 从而从而 0)(x

6、X 应该予以排除！应该予以排除！ 只剩下一种可能：只剩下一种可能：0 1 C 0sinl 则则)( Znnl即：即： .3 , 2 , 1 2 22 n l n 而此时而此时x l xn CxX sin)( 2 C2为任意常数为任意常数 注：上式正是傅里叶正弦级数的基本函数族！注：上式正是傅里叶正弦级数的基本函数族！ (齐次方程的分离变量法) 6 由以上过程可知道，分离变数过程中所引入的常数由以上过程可知道，分离变数过程中所引入的常数 不能 不能 为负数或者零，也不是任意的正数，必须取特定的数值，才能为负数或者零，也不是任意的正数，必须取特定的数值，才能 使原方程有有意义的解。常数使原方程有有

7、意义的解。常数 的这种特殊数值叫做本征值，的这种特殊数值叫做本征值， 0)(, 0)0( 0 lXX XX而此时而此时T的方程应该写成：的方程应该写成： 0 2 22 2 T l n aT 0 2 TaT 此方程的解为：此方程的解为： l atn B l atn AtT sincos)( 其中，其中，A，B为积分常数为积分常数 把把X（x）和）和T（t）代入原方程就可得分离变数形式的解：）代入原方程就可得分离变数形式的解： .)3 , 2 , 1(sin)sincos(),(n l xn l atn B l atn Atxun 相应的解叫做本征函数，即构成本征值问题。相应的解叫做本征函数，即构

8、成本征值问题。 (齐次方程的分离变量法) 7 .)3 , 2 , 1(sin)sincos(),(n l xn l atn B l atn Atxun 这就是两端固定弦上的可能的驻波，每个自然数这就是两端固定弦上的可能的驻波，每个自然数n对应一个对应一个 在在).2 , 1 , 0(/nknklx共计共计n1个点上，个点上， 0sin)/sin(klxn 则则U（x,t）=0,这些点是驻波的节点这些点是驻波的节点 相邻节点间隔相邻节点间隔l/n为半波长，故波长应为：为半波长，故波长应为：2l/n 本征振动的角频率为本征振动的角频率为 lan/则频率为则频率为: lnaf2/2/ 当当n=1的驻

9、波的驻波,除了两端除了两端x=0和和x=l之外没有其他的节点之外没有其他的节点,波长波长2l在在 N1的各个驻波叫做的各个驻波叫做n次谐波次谐波,波长波长2l/n是基波的是基波的1/n,频率频率na/2l 驻波，这些驻波也叫做两端固定弦的本征振动。驻波，这些驻波也叫做两端固定弦的本征振动。 所有本征振动里边是最长的所有本征振动里边是最长的,频率最低频率最低,这个驻波叫做基波这个驻波叫做基波. 是基波的是基波的n倍倍. (齐次方程的分离变量法) 8 以上的本征振动是满足弦振动方程以上的本征振动是满足弦振动方程0 2 xxtt uau 和边界条件和边界条件 0| 0| 0 lx x u u 的线性

10、独立的特解的线性独立的特解,由于方程和边界由于方程和边界 条件都是齐次的条件都是齐次的,故所有的本征振动的线性叠加故所有的本征振动的线性叠加: 1 sin)sincos(),( n nn l xn l atn B l atn Atxu 仍然满足仍然满足 原方程和边界条件原方程和边界条件,此即满足方程的一般解此即满足方程的一般解,其中其中A,B为任意常数为任意常数 但此时未考虑初始条件但此时未考虑初始条件! 以下就是考虑到初始条件求定解问题的确定解以下就是考虑到初始条件求定解问题的确定解,就是选取适当的就是选取适当的 )(| )(| 0 0 xu xu tt t 把上述一般解代入初始条件把上述一

11、般解代入初始条件,可得可得: 叠加系数叠加系数An和和Bn,满足初始条件满足初始条件: (齐次方程的分离变量法) 9 1 1 )(sin )(sin n n n n x l xn l an B x l xn A )0(lx 左边是傅里叶正弦级数左边是傅里叶正弦级数,我们只要把函数我们只要把函数 (x)(x),展开成展开成 傅里叶正弦级数傅里叶正弦级数,比较系数就可以得到比较系数就可以得到An和和Bn: l nn l nn d l n anan l B d l n l A 0 0 sin)( 2 sin)( 2 傅里叶系数 傅里叶系数 这样这样,我们就得到了原定解问题的解我们就得到了原定解问题的

12、解: 1 sin)sincos(),( n nn l xn l atn B l atn Atxu 系数由以上的傅里叶级系数确定系数由以上的傅里叶级系数确定,展开成傅里叶正弦级数是由展开成傅里叶正弦级数是由 第一类边界条件确定的第一类边界条件确定的! (齐次方程的分离变量法) 10 偏微分偏微分 方方 程程 分离分离 变数变数 常微分方程常微分方程2解解2 本本 征征 解解 解解2解解1 齐次边齐次边 界条件界条件 分离分离 变数变数 常微分方程常微分方程1 条件条件 解解1 （本征函数）（本征函数） 所求解所求解 本征值问题 本征值 本征解 初始初始 条件条件 关键在于分离变数，使偏微分问题化

13、为常微分问题，同时把边界关键在于分离变数，使偏微分问题化为常微分问题，同时把边界 条件化为常微分方程的附加条件，构成本征值问题。可以推广到条件化为常微分方程的附加条件，构成本征值问题。可以推广到 线性齐次方程和线性齐次边界条件的多种定解问题中！线性齐次方程和线性齐次边界条件的多种定解问题中！ (齐次方程的分离变量法) 11 2 0 ,0,0, (0, )( , )0 ( ) txx t ua uxl t utu l t ux 求解求解: (齐次方程的分离变量法) 12 磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等核心是两端自由的磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等核心是两端自由的 )0( )(| )(| 0|

14、 0| 0 0 0 0 2 lx xu xu u u uau tt t lxx xx xxtt （边界条件）（边界条件） （初始条件）（初始条件） （泛定方程）（泛定方程） 解解 分离变量：分离变量：)()(),(tTxXtxu代入泛定方程和边界条件代入泛定方程和边界条件 0)()(, 0)()0( 0 2 tTlXtTX TXaTX 即：即：0)(, 0)0(lXX 均匀杆，作纵振动，定解问题如下：均匀杆，作纵振动，定解问题如下： (齐次方程的分离变量法) 13 0 2 TXaTX对于方程对于方程化为：化为： X X Ta T 2 两边分别是两边分别是x和和t的函数，不可能相等，除非是一常数

15、，设为的函数，不可能相等，除非是一常数，设为 X X Ta T 2 则则于是可分解为关于于是可分解为关于X和和T的常微分方程的常微分方程 0)(, 0)0( 0 lXX XX 0 2 TaT （1） （2） 对于本征值问题（对于本征值问题（1） 如果如果0则则X（x）恒为零，无意义。）恒为零，无意义。 如果如果0则方程的解是：则方程的解是：xDCxX 00 )( 代入常微条件得：代入常微条件得：D00则则 0 )(CxX (齐次方程的分离变量法) 14 0 )(CxX 为对应于本征值为对应于本征值 0 的本征函数的本征函数 如果如果0方程方程0 XX的解是：的解是： xCxCxXsincos)

16、( 21 积分常数满足：积分常数满足： 0)cossin( 0 21 2 lClC C 0 故故C200sin 1 lC若若C10，则无意义！，则无意义！ 则则0sin, 0 1 lC可得：可得：.)3 , 2 , 1( nnl 即即 .)3 , 2 , 1(/ 222 nln 相应的本征函数为：相应的本征函数为： .)3 , 2 , 1)(/cos()( 1 nlxnCxX 以下把以下把 00 的情况合二为一。的情况合二为一。 (齐次方程的分离变量法) 15 .)3 , 2 , 1( , 2 22 n l n .)3 , 2 , 1( ,cos)( 1 nx l n CxX C1为任意常数，

17、上式是傅里叶余弦级数的基本函数族。为任意常数，上式是傅里叶余弦级数的基本函数族。 0 将本征值代入将本征值代入T的方程的方程0 2 TaT 可以得到：可以得到： )0( , 0, 0 2 222 nT l an TT 解分别为：解分别为：tBAtT 000 )( .)3 , 2 , 1( ,sincos)(nt l an B l an AtT nnn 其中系数均为独立的任意常数。其中系数均为独立的任意常数。 把把X（x），），T（t）分别代回）分别代回)()(),(tTxXtxu 得到本征振动如下：得到本征振动如下： (齐次方程的分离变量法) 16 tBAtu 000 )( .)3 , 2 ,

18、 1( ,cos)sincos(),(nx l an t l an B l an Atxu nnn 注意，上式是傅里叶余弦级数的基本函数族。注意，上式是傅里叶余弦级数的基本函数族。 所有本征振动叠加即得一般解：所有本征振动叠加即得一般解： 1 00 cos)sincos(),( n nn x l an t l an Bt l an AtBAtxu 其中系数由初始条件其中系数由初始条件)0( )(| )(| 0 0 lx xu xu tt t 确定。确定。 把一般解代入初始条件，可以得到：把一般解代入初始条件，可以得到： )0( )(cos )(cos 1 0 1 0 lx xx l n B l

19、 an B xx l n AA n n n n (齐次方程的分离变量法) 17把左边的函数把左边的函数)(),(xx展开成傅里叶余弦级数，比较系数展开成傅里叶余弦级数，比较系数 l l d l B d l A 0 0 0 0 )( 1 )( 1 l l n d l n an B d l n l A 0 0 0 cos)( 2 cos)( 2 由上可知，由上可知，A0和和B0分别表示平均初始位移和平均初始速度，由于分别表示平均初始位移和平均初始速度，由于 研究细杆导热问题，初始时刻杆的一端问题为零，另一端研究细杆导热问题，初始时刻杆的一端问题为零，另一端 一端为第一类边界条件，另一端为第二类边界

20、条件一端为第一类边界条件，另一端为第二类边界条件 类齐次边界条件所决定的。类齐次边界条件所决定的。 不受外力作用，以不变的速度不受外力作用，以不变的速度B0移动，傅里叶余弦级数是由第二移动，傅里叶余弦级数是由第二 另一端跟外界绝热，试求杆上温度的变化。另一端跟外界绝热，试求杆上温度的变化。 温度为温度为U0，杆上温度梯度均匀，零度的一端保持温度不变，杆上温度梯度均匀，零度的一端保持温度不变， (齐次方程的分离变量法) 18 可得杆上温度可得杆上温度U（x，t）满足的泛定方程和定解条件：）满足的泛定方程和定解条件： )0 ,/| 0| 0| )/( , 0 00 0 22 lxlxuu u u

21、ckauau t lxx x xxt （ 这里泛定方程和边界条件都是齐次的，利用分离变数法，得：这里泛定方程和边界条件都是齐次的，利用分离变数法，得： )()(),(tTxXtxu 代入泛定方程和边界条件可得关于代入泛定方程和边界条件可得关于X（x）和常微分方程及条件）和常微分方程及条件 及关于及关于T的常微分方程：的常微分方程： 0 0)(, 0)0( 0 2 TaT lXX XX X（x）的方程和条件构成）的方程和条件构成 本征值问题，只能得到本征值问题，只能得到 0 0)(, 0 xX无意义无意义 (齐次方程的分离变量法) 19则当则当0时得到常微方程的通解为：时得到常微方程的通解为：

22、xCxCxXsincos)( 21 代入常微分方程的初始条件，可得：代入常微分方程的初始条件，可得： 0cos 0 2 1 lC C 除非是除非是0cosl 否则还是得到无意义的解否则还是得到无意义的解0)(xX 则此时可得：则此时可得：0cosl C20 即：即：.)2 , 1 , 0( ,) 2 1 (kkl .2 , 1 , 0, 4 ) 12( ) 2 1 ( 2 22 2 22 k l k l k 这里给出本征值，相应的本征函数为：这里给出本征值，相应的本征函数为： (齐次方程的分离变量法) 20.)2 , 1 , 0( 2 ) 12( sin)( 2 kx l k CxX 而关于而

23、关于T的方程的方程0 2 TaT此时变为：此时变为： 0 2 1 2 22 2 T l k aT ）（ 此方程的解为：此方程的解为： 2 222 ) 2 1 ( )( l tak CetT U（x,t）的一般解是：）的一般解是： 0 ) 2 1 ( ) 2 1 ( sin),( 2 222 k l tak k l xk eCtxu 其中其中Ck由初始条件确定：由初始条件确定：)0 ,/| 00 lxlxuu t （ )0( , ) 2 1 ( sin 0 0 lxx l u l xk C k k (齐次方程的分离变量法) 21 左边是以左边是以 l xk) 2 1 ( sin 为基本函数族的级

24、数，启发我们把右边为基本函数族的级数，启发我们把右边 也展开成以也展开成以 l xk) 2 1 ( sin 为基本函数族的级数（傅里叶正弦级数）为基本函数族的级数（傅里叶正弦级数） 比较系数可得：比较系数可得： d l k l u l C l k ) 2 1 ( sin 2 0 0 l l k l k l k k u 0 22 0 ) 2 1 ( cos ) 2 1 () 2 1 ( sin ) 2 1 ( 2 22 0 ) 2 1 ( 2 ) 1( k lu k (齐次方程的分离变量法) 22 此时可得最后结果为：此时可得最后结果为： l xk e k lu txu t l ak k k )

25、 2 1 ( sin ) 2 1 ( ) 1( 2 ),( 2 222 ) 2 1 ( 0 2 2 0 对于本征函数即对于本征函数即 l xk) 2 1 ( sin 既不同于第一类齐次边界条件既不同于第一类齐次边界条件 l xn sin又不同于第二类齐次边界条件的又不同于第二类齐次边界条件的 l xn cos 边界条件边界条件 0| lxx u 表明应该把导热细杆从区间表明应该把导热细杆从区间0，l偶延拓到偶延拓到l，2l 延拓后条件为：延拓后条件为：0| , 0| , 0| 20 lxxlxxx uuu 一，三决定了本征函数为一，三决定了本征函数为 l xn 2 sin n是正整数是正整数第

26、二个条件则第二个条件则 限定限定n只能是奇数，只能是奇数， 2 cos 22 sin n l n l xn lx 边界条件边界条件 (齐次方程的分离变量法) 23 若若n为偶数，则为偶数，则 2 cos n 不为零，综上所述可得本征函数为：不为零，综上所述可得本征函数为： l xk 2 ) 12( sin l xk) 2 1 ( sin 即即 对于一般解，如果考虑早先的时刻即对于一般解，如果考虑早先的时刻即t0 却不能却不能早先时刻的温度分布，这是输运过程的特点。早先时刻的温度分布，这是输运过程的特点。 ，从某个时刻的温度分布可以推算出以后时刻的温度分布，但，从某个时刻的温度分布可以推算出以后

27、时刻的温度分布，但 边界条件相同，不管初始温度分布如何，总趋于统一平衡状态边界条件相同，不管初始温度分布如何，总趋于统一平衡状态 (齐次方程的分离变量法) 24 t l ak e 2 222 ) 2 1 ( 随随k的增大而急剧减小，此时一般解级数的增大而急剧减小，此时一般解级数 收敛很快，在收敛很快，在t0.18l2/a2时，可以只保留第一项时，可以只保留第一项k0，此时误差，此时误差 l x e u tx t l a 2 sin 8 ),u( 2 22 4 2 0 散热片的横截面为矩形，一边散热片的横截面为矩形，一边yb处于较高温度处于较高温度U，其他，其他 )0( ,|,| )0( ,|,

28、| 0 000 000 axuuuu byuuuu uu byy axx yyxx 不超过不超过1% 解横截面上的稳定温度分布解横截面上的稳定温度分布u（x，y），即定解问题：），即定解问题： 三边三边y0，x0和和xa处于冷却介保持较低的温度处于冷却介保持较低的温度u0，求，求 (齐次方程的分离变量法) 25 x y U u0 u0 u0 O a b 如右图所示：如右图所示： 这是二维拉普拉斯方程的第一类边界值这是二维拉普拉斯方程的第一类边界值 把把u（x，y）分解为）分解为v（x，y）和）和w（x，y）的线性叠加：）的线性叠加： ),(),(),(yxwyxvyxu 其中其中v和和w分别满

29、足一组齐次边界条件即：分别满足一组齐次边界条件即： 0|, 0| |,| 0 0 000 byy axx yyxx vv uvuv vv 000 0 |,| 0|, 0| 0 uwuw ww ww byy axx yyxx 化为齐次的，可以带来方便。化为齐次的，可以带来方便。 是齐次的，此时恒为零，但可以把边界是齐次的，此时恒为零，但可以把边界 问题，没有初始条件，边界条件不能都问题，没有初始条件，边界条件不能都 (齐次方程的分离变量法) 26 可以验证，把可以验证，把w和和v的泛定方程叠加起来就是的泛定方程叠加起来就是u的泛定方程的泛定方程 把把v和和w的边界条件叠加起来就是的边界条件叠加起

30、来就是u的边界条件，则原问题化为的边界条件，则原问题化为 令令),(),( 0 yxvutxu把原来的温度把原来的温度U0作为新作为新 的温标的温标v（x，y）的零点，代入泛定方程和边界条件可得：）的零点，代入泛定方程和边界条件可得： 00 0 |, 0| 0|, 0| 0 uuvv vv uv byy axx yyxx 分离变数令：分离变数令：)()(),(yYxXtxv 问题解出。问题解出。 求解求解v和和w，而此时，而此时v和和w各有两个齐次边界条件可以利用本征值各有两个齐次边界条件可以利用本征值 (齐次方程的分离变量法) 27代入上述泛定方程和齐次边界条件，可得代入上述泛定方程和齐次边

31、界条件，可得X和和Y的常微分方程的常微分方程 和和X的边界条件：的边界条件： 0)(, 0)0( 0 aXX XX 0 YY（1） （2） 则显然（则显然（1）构成本征值问题，可得本征值为：）构成本征值问题，可得本征值为： .)3 , 2 , 1( , 2 22 n a n 本征函数为：本征函数为：.)3 , 2 , 1( ,sin)(nx a n CxX 将本征值代入（将本征值代入（2）可得：）可得： y a n y a n BeAeyY )( 分离解为：分离解为：x a n eBeAyxv y a n n y a n nn sin)(),( 叠加即得一般解：叠加即得一般解： 1 sin)(

32、),( n y a n n y a n n x a n eBeAyxv (齐次方程的分离变量法) 28 为确定系数为确定系数An和和Bn,j将上式代入非齐次边界条件：将上式代入非齐次边界条件： 1 0 1 sin)( 0sin)( n b a n n b a n n n nn uUx a n eBeA x a n BA 右边展开比较系数右边展开比较系数 为奇数）（ 为偶数）（ nuU n n eBeA BA b a n n b a n n nn )( 4 0 0 0 由此可得：由此可得： 为奇数）（ 为偶数）（ n )(/ )(4 n 0 / 0 abnabn nn eenuU BA 可得最后

33、结果：可得最后结果： a xk a bk sh a yk sh k uU uyxu k ) 12( sin ) 12( ) 12( ) 12( 1)(4 ),( 0 0 0 (齐次方程的分离变量法) 29带电的云跟大地之间的静电场带电的云跟大地之间的静电场 可近似看成匀强电场，电场强度为可近似看成匀强电场，电场强度为E0竖直竖直 表示为定解问题，取圆柱的轴为表示为定解问题，取圆柱的轴为z轴，如果把导线看成无限轴，如果把导线看成无限 + + + + 带电云带电云 A B y x 大地大地 在在xy平面的剖面是个圆：平面的剖面是个圆：x2+y2=a2,a为半径。为半径。 柱外空间没有电荷，电势柱外

34、空间没有电荷，电势u满足二维拉普拉斯方程满足二维拉普拉斯方程 0 yyxx uu（柱外空间）（柱外空间） 长，则静电场的强度电势与长，则静电场的强度电势与z无关，我们只在无关，我们只在xy平面研究。平面研究。 体圆柱如何改变静电场。体圆柱如何改变静电场。 “无限远无限远”的静电场保持匀强，现在来看导的静电场保持匀强，现在来看导 临近的电场也就不再是匀强电场，离圆柱临近的电场也就不再是匀强电场，离圆柱 输电线是导电圆柱体，柱面产生感应电荷输电线是导电圆柱体，柱面产生感应电荷 水平架设的输电线处在静电场中，如图：水平架设的输电线处在静电场中，如图： (齐次方程的分离变量法) 30对于导体来说，电荷

35、不再移动，说明导体中各处的电势相同，对于导体来说，电荷不再移动，说明导体中各处的电势相同， 0| 222 ayx u 分离变数法代入拉普拉斯方程可以分解为两个常微分方程，但分离变数法代入拉普拉斯方程可以分解为两个常微分方程，但 边界条件为：边界条件为： 0)()( 22 xaYxX 不能分解为不能分解为X（x）或）或Y（y）的边界条件，无法进行下去！）的边界条件，无法进行下去！ 边界是圆，提示我们采用平面极坐标系。边界是圆，提示我们采用平面极坐标系。 在极坐标系中，方程可表示为：在极坐标系中，方程可表示为： 00 11 2 2 22 2 uu u 其中其中 为极径，为极径，为极角为极角 导体电

36、势为零表示为齐次的边界：导体电势为零表示为齐次的边界： 0| a u 如下：如下： 又电势只是相对高低，可以把导体的电势作为零点，边界条件又电势只是相对高低，可以把导体的电势作为零点，边界条件 (齐次方程的分离变量法) 31 在无限远处，电势保持为在无限远处，电势保持为E0，故在无限远处，故在无限远处，Ey0，ExE0 即即0 E x u cos 00 ExEu隐含着非齐次边界条件：隐含着非齐次边界条件： cos| 0 Eu 现在问题转化成极坐标系中的定解问题：现在问题转化成极坐标系中的定解问题： 00 11 2 2 22 2 uu u 0| a u cos| 0 Eu 分离变数设：分离变数设

37、：)()(),( Ru 代入泛定方程可得代入泛定方程可得 11 d dR d d R 左边与左边与 无关，右边与无关，右边与无关，除非为一常数！无关，除非为一常数！ (齐次方程的分离变量法) 32把此常数记为：把此常数记为： 11 d dR d d R 此时分解为两个常微分方程：此时分解为两个常微分方程： 0 0 2 RRR 对于第一个方程，隐含着附加条件，某点的极角可以相差对于第一个方程，隐含着附加条件，某点的极角可以相差 ),()2,(uu的整数倍，但电势在某点是确定值，故：的整数倍，但电势在某点是确定值，故： 即：即：)()2( 自然的周期条件自然的周期条件 此条件与常微分方程构成本征值

38、问题，可以求得常微方程解：此条件与常微分方程构成本征值问题，可以求得常微方程解： BeAe BA BAsincos )( )0( )0( )0( (齐次方程的分离变量法) 33从而可求得本征值和本征函数：从而可求得本征值和本征函数： )0( )0( sincos )( .)2 , 1 , 0( 2 mA mmBmA mm 把本征值代入常微分方程把本征值代入常微分方程0 2 RRR可得：可得： 0 2 2 2 2 Rm d dR d Rd 欧拉型常微分方程欧拉型常微分方程 作代换作代换ln, tet方程可化为：方程可化为： 0 2 2 2 Rm dt Rd ln 1 DCDtC DCDeCe R

39、 m mmtmt 0 0 m m 由此我们可得到分离变数形式的解为：由此我们可得到分离变数形式的解为： (齐次方程的分离变量法) 34 )sincos( )sincos(),( ln),( 000 mDmC mBmAu DCu mm m mm m m 拉普拉斯方程是线性的，其一般解为所有本征解的叠加：拉普拉斯方程是线性的，其一般解为所有本征解的叠加： 1 1 00 )sincos( )sincos(ln),( m mm m m mm m mDmC mBmADCu 为了确定上式中的系数，先代入齐次边界条件：为了确定上式中的系数，先代入齐次边界条件： 0)sincos( )sincos(ln 1

40、1 00 m mm m m mm m mDmCa mBmAaaDC 一个傅里叶级数为零，所有的系数为零，即：一个傅里叶级数为零，所有的系数为零，即： 0| a u (齐次方程的分离变量法) 35 m m m m m m BaD AaC aDC 2 2 00 ln 0 0 0ln 00 m m m m m m m m DaBa CaAa aDC 再来看非齐次边界条件：再来看非齐次边界条件： cos| 0 Eu 对于非常大的对于非常大的一般解中的一般解中的 m DC ln 00 ，远远小于远远小于 m 可以略去，代入非齐次边界条件可得：可以略去，代入非齐次边界条件可得： cos)sincos( 0

41、 1 EmBmA m mm m 这里如果出现这里如果出现 ) 1(m m 则主要部分就不是则主要部分就不是 1 而是而是) 1(m m 主部主部 故可得：故可得：) 1( , 0, 0mBA mm 由第一项由第一项 1 可得可得0, 101 BEA 可得：可得：) 1(0),1(0, 2 0 2 11 mDmCaEaAC mm (齐次方程的分离变量法) 36最后我们可得柱外的静电势为：最后我们可得柱外的静电势为： coscosln),( 2 000 a EE a Du 对于此一般解，中间一项，即对于此一般解，中间一项，即cos 0 E是原来静电场的电势是原来静电场的电势 分布，最后一项分布，最

42、后一项 cos 2 0 a E当当 充分大时，可以忽略，代表充分大时，可以忽略，代表 在圆柱附近对匀强电场的修正，是柱面感应电荷的影响。在圆柱附近对匀强电场的修正，是柱面感应电荷的影响。 a D ln 0 对于对于系数是任意常数，表明有不确定的因素！系数是任意常数，表明有不确定的因素！ 在物理上，此不确定因素出在原来导体所带电量上，这一项正在物理上，此不确定因素出在原来导体所带电量上，这一项正 是圆柱原来带的电量。是圆柱原来带的电量。 设原来圆柱体不带电，则设原来圆柱体不带电，则D00，此时，此时 coscos),( 2 00 a EEu (齐次方程的分离变量法) 37 若只看若只看y轴下方，

43、则如图，可以看成平行轴下方，则如图，可以看成平行 + + + + 带电云带电云 A B y x 大地大地 此时，上下两端，即此时，上下两端，即A和和B点的电场强度为：点的电场强度为： 0 , 0 2 2 00 , 0 2 coscos E a EE u E aa 是原来电场的两倍！且与半径无关！是原来电场的两倍！且与半径无关！ 此处最容积击穿！此处最容积击穿！ Y轴上的电势轴上的电势 0|coscos| 2/ 2 2 002/ a EEu与导体圆柱相同与导体圆柱相同 A 电容器的极板必须加工的非常平滑！电容器的极板必须加工的非常平滑！ 两倍！对于高压电容器来说，很危险！容易击穿，故高压两倍！对

44、于高压电容器来说，很危险！容易击穿，故高压 此突起的电场强度是其他匀强电场强度的此突起的电场强度是其他匀强电场强度的 板电容器之间的静电场，但上面带有突起板电容器之间的静电场，但上面带有突起 (齐次方程的分离变量法) 38 长为长为l的理想传输线，一端的理想传输线，一端x0接交流电，电动势为接交流电，电动势为 tvsin 0 另一端另一端xl是开路，求解线上的稳恒电振荡。是开路，求解线上的稳恒电振荡。 理想传输线是一种理想化的模型，实际上总有损耗，初始条件引起的自理想传输线是一种理想化的模型，实际上总有损耗，初始条件引起的自 由振荡总是逐渐衰减，经过许多个周期之后，自由振荡消失，此时的电由振荡

45、总是逐渐衰减，经过许多个周期之后，自由振荡消失，此时的电 振荡完全是由交流电源引起的，电源提供的能量正好补偿了消耗，使得振荡完全是由交流电源引起的，电源提供的能量正好补偿了消耗，使得 振荡可以维持而不衰减，这就是现实中的稳恒电振荡。振荡可以维持而不衰减，这就是现实中的稳恒电振荡。 初始条件所引起的自由振荡已经消失，故不用考虑初始初始条件所引起的自由振荡已经消失，故不用考虑初始 条件，这里的定解问题是没有初始条件的。条件，这里的定解问题是没有初始条件的。 0| | )/1( , 0 00 22 lx ti x xxtt j evv LCavav 最后取结果的最后取结果的 虚部即可虚部即可 (齐次方程的分离变量法) 39稳恒振荡完全由交流电源引起，故周期相同，则：稳恒振荡完全由交流电源引起，故周期相同，则： ti exXtxv )(),( 代入泛定方程，可得代入泛定方程，可得X的常微分方程：的常微分方程： 0