D8-1多元函数概念(全)

1、D8-1多元函数概念(全) 推广推广 第九章第九章 一元函数微分学一元函数微分学 多元函数微分学多元函数微分学 注意注意: : 善于类比善于类比, , 区别异同区别异同 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用 D8-1多元函数概念(全) 第一节第一节 一、一、平面点集平面点集n 维空间维空间 二、多元函数的概念二、多元函数的概念 三、多元函数的极限三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 多元函数的基本概念多元函数的基本概念 第九章第九章 D8-1多元函数概念(全) 1 1邻域邻域 0 P ),( 0 PU

2、0 |PPP 22 00 ( , )()().x yxxyy 一、平面点集一、平面点集n 维空间维空间(不记笔记不记笔记) 注注 0 (, )U P 0 0|PPP 称为点称为点 的去心邻域。的去心邻域。 0 P D8-1多元函数概念(全) 2 2区域区域 (1) (1) 内点、外点、边界点与边界内点、外点、边界点与边界 设有点集设有点集 E 及一点及一点 P， 若存在点若存在点 P 的某邻域的某邻域U(P)，使得，使得U(P) E , 若存在点若存在点 P 的某邻域的某邻域U(P)，使得，使得 U(P) E = , , 若点若点 P 的任一邻域的任一邻域 U(P)内内既含属于既含属于 E 的

3、点，又含不的点，又含不 E 则称则称 P 为为 E 的内点；的内点； 属于属于 E 的点的点 , 则称则称 P 为为 E 的边界点；的边界点； 则称则称 P 为为 E 的外点的外点; E 的边界点的全体称为的边界点的全体称为E 的边界。的边界。 D8-1多元函数概念(全) 例如：例如： ( , )0 x yxy 22 ( , )4x yxy 0 xy 22 ( , ) 14x yxy 上任一点都是边界点上任一点都是边界点 x y o 2 x y o x y o 21 22 4xy 边界为圆周边界为圆周 22 4xy 的边界为圆周的边界为圆周 22 1xy 22 4xy 及圆周及圆周 的边界为的

4、边界为 若点若点 P 的任一邻域的任一邻域 U(P)内既含内既含 属于属于 E 的点，又含不属于的点，又含不属于 E 的的 点点 , 则称则称 P 为为 E 的边界点；的边界点； E E 的边界点的全体称为的边界点的全体称为E 的边界。的边界。 D8-1多元函数概念(全) (3) (3) 开集、闭集开集、闭集 若点集若点集 E 的点都是内点，则称的点都是内点，则称 E 为开集；为开集； 若若E 的边界包含在的边界包含在 E 内内, 则称则称 E 为闭集；为闭集； 例如：例如： ( , )0 x yxy 22 ( , ) 14x yxy ( , )0 x yxy 开集开集 为闭集为闭集 x y

5、o 21 x y o x y o D8-1多元函数概念(全) (4) (4) 连通集连通集 D 若集若集 D 中任意两点都可用一完全属于中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连的折线相连 , , 则称则称 D 是连通集是连通集; ; ( , )1x yx 是开集，是开集， 但不是连通集但不是连通集 11x y ( , )0 x yxy 22 ( , ) 14x yxy 是连通集是连通集 x y o 21 x y o D8-1多元函数概念(全) (5) (5) (开开) )区域、闭区域区域、闭区域 D 开区域连同它的边界一起称为闭区域。开区域连同它的边界一起称为闭区域。 连通的开集称为开区域连

6、通的开集称为开区域 , ,简称区域简称区域 ; ; 例如，例如， ( , )0 x yxy 22 ( , ) 14x yxy ( , )0 x yxy 22 ( , ) 14x yxy （开）区域（开）区域 闭区域闭区域 x y o 21 x y o x y o 21 x y o D8-1多元函数概念(全) 0| ),( yxyx 为有界闭区域；为有界闭区域； 为无界开区域为无界开区域 x y o 例如，例如， 41| ),( 22 yxyx （6 6）有界点集、无界点集）有界点集、无界点集 若平面点集若平面点集 E 可包含于原点的某个邻域内，则称可包含于原点的某个邻域内，则称 E 为为 有界

7、点集；否则，称有界点集；否则，称 E 为无界点集为无界点集 x y o 21 D8-1多元函数概念(全) 以后区域以后区域 222 ( , ) 01,4x yxyyx 可简单地表示成可简单地表示成 222 : 01,4Dxyyx D 2 4yx y x1 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 D8-1多元函数概念(全) 3 3n 维空间维空间 10 ),( 21n xxxP),( 21n yyyQ 222 1122 |()()() . nn dPQyxyxyx 设两点为设两点为 则则 20 平面点集的有关概念均可推广到平面点集的有关概念均可推广到n 维空间中去，维空间中去

8、， 如，如， 00 (, )|,R, n U PPPPP 邻域：邻域： 在空间中表示闭区域，边界面为在空间中表示闭区域，边界面为 ( , , ) x y z 222 (1)(2)(3)5xyz 2222 (1)(2)(3)5xyz D8-1多元函数概念(全) 二、多元函数的概念二、多元函数的概念 两个自变量的函数称为二元函数，一般记为两个自变量的函数称为二元函数，一般记为 1 1多元函数的概念多元函数的概念 2 xy zxy xy 22 1zxy ( , )zf x y 同理，三个自变量的函数称为三元函数，一般记为同理，三个自变量的函数称为三元函数，一般记为 ( , , )uf x y z 二

9、元及二元以上的函数称为多元函数。二元及二元以上的函数称为多元函数。 ，例如，例如 D8-1多元函数概念(全) 例例1 1 设设 ( , )2 xy zf x yxy xy 求：求：(0,1),f (2,1) |,z 解：解： (0,1)f 01 2 0 1 01 1 (2,1) |z (2,1)f 21 2 2 1 21 1 (,)f xy xy (,)f xy xy ()() 2 () () ()() xyxy xyxy xyxy 22 2() x xy y 。 D8-1多元函数概念(全) 例例2 2 求求 的定义域的定义域 2 22 )3arcsin( ),( yx yx yxf 解解 2

10、2 2 31 0 xy xy 2 22 42 yx yx 所求定义域为所求定义域为 222 24( , )|,Dx yxyxy 。 D8-1多元函数概念(全) 2. 2. 二元函数二元函数 的图形的图形 ),(yxfz 22 1zxy 二元函数二元函数 的图形通常是一张空间曲面，的图形通常是一张空间曲面，( , )zf x y 例如：例如：定义域为定义域为 22 ( , )1x yxy 圆域圆域 图形为中心在原点的上半球面。图形为中心在原点的上半球面。 x z y 1 o D8-1多元函数概念(全) 三、多元函数的极限三、多元函数的极限 f (x,y)=3x+2y x y f (x,y) 1.

11、5 2.4 9.3 1.1 1.9 7.1 0.99 2.01 6.99 1.001 1.999 7.001 1.0001 2.0001 7.0005 ( , )P x y( , )7,f x y 则称则称 7是是 0(1,2), P当当 对应的对应的 ( , )f x y( , )P x y 000 (,)P x y时的极限时的极限当点当点趋向于点趋向于点 D8-1多元函数概念(全) ( , )P x y当点当点 无限趋近于点无限趋近于点 时，时， 0 0 lim( , ) xx yy f x yA 00 ( , )(,) lim( , ) x yxy f x yA 22 000 |()()

12、P Pxxyy 0 0,PP ( , )f x y 由于由于 记记 或或 的值无限接近于常数的值无限接近于常数 A，则称，则称 A 是是 000 (,)P xy ( , )f x y ( , )P x y当点当点 趋向于点趋向于点 时时 000 (,)P xy 的极限，记为的极限，记为 一般地：一般地： 因此有因此有 D8-1多元函数概念(全) 定义定义2. 2. 设函数设函数 f ( (x,y) )的定义域为的定义域为D， 边边界点界点 , , 0, ,( ,)-f x yA 则称则称A为函数为函数 P0 0 是 是D的内点的内点或或 若存在常数若存在常数A, 当当 0 ( , )( , )

13、f x yP x yP x 00 ( , )y是是 0 0 lim( , ) xx yy f x yA 都有都有 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 对任意正数对任意正数 , , 总存在正数总存在正数 , , 时的极限，时的极限，记作记作 D8-1多元函数概念(全) 例例3 3. 证明证明 22 0 0 lim0 x y xy xy 证证: : 22 2222 |1 |0| 2 xyxy xy xyxy 故故 22 0 0 lim0 x y xy xy 0, 22 |0| xy xy ,0 22 时当yx 22 1 2 xy 1 2 22 (0)(0)2 ,xy 2 ,

14、 总有总有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 要证要证 只要只要2 取取 0, ( , )-f x y A 当当0, 有有 D8-1多元函数概念(全) 注：注： 若点若点 ( , )P x y以两种不同方式趋于时，以两种不同方式趋于时， 000 (,)P xy 趋于两个不同值，或趋于两个不同值，或当点当点( , )f x y ( , )P x y 以某种以某种 的极限不存在，的极限不存在， 方式趋于时，方式趋于时， 000 (,)P xy( , )f x y 则则不存在。不存在。 00 ( , )(,) lim( , ) x yxy f x y D8-1多元函数概念(全) 例例4 4 证明证

15、明 不存在不存在. 证证 26 3 0 0 lim yx yx y x 3 62 ( , )(0,0) 0 lim x y y x y xy 3 6 0 0 lim 0 x x x 0 故不存在。故不存在。 26 3 0 0 lim yx yx y x 3 33 63 2 0 lim () x y x xx xx 1 2 3 3 62 ( , )(0,0) lim x y y x x y xy ( , )x y以两种不同方式趋于，以两种不同方式趋于， 00 (,)xy ( , )f x y趋于不同值趋于不同值 D8-1多元函数概念(全) 四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性 定义定义3 3

16、 如果函数如果函数 在在 D 上上的每一点都连续，则称的每一点都连续，则称 函数函数 在在 D上连续，或者称上连续，或者称 是是 D上的上的 连续函数。连续函数。 ),(yxf ),(yxf),(yxf 定义定义4 4 D8-1多元函数概念(全) 例例5 5 讨论讨论 22 22 22 ,0 ( , ) 0,0 xy xy xy f x y xy 在在 (0,0) 的连续性的连续性 解解 22 ( , )(0,0) lim x y y kx xy xy 2 222 0 lim x kx xk x 2 , 1 k k 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化， 因为因为 因此，因此， 在点在点(

17、0,0)处不连续。处不连续。( , )f x y ( , )(0,0) lim( , ) x y y kx f x y 故极限故极限 不存在不存在 ( , )(0,0) lim( , ) x y f x y D8-1多元函数概念(全) 定理定理一切多元初等函数都在其定义区域内连续一切多元初等函数都在其定义区域内连续 注注定义区域是指包含在定义域内的开区域或闭区域。定义区域是指包含在定义域内的开区域或闭区域。 例例6 6求求 2 ( , )(1,0) 32sin(2) lim; 1 x y xyxy yx 解解 原式原式= = 2 ( , )(1,0( , ), )(1 0 32 lim 1 s

18、in(2) lim yyxx xxy y y x ( , )(1,0) sin(2) li2 2 3 m 2 x y xy x xy 31 1 2. 22 D8-1多元函数概念(全) 例例7 7 . 11 lim 0 0 xy xy y x 求求 解解 )11( 11 lim 0 0 xyxy xy y x 原原式式 11 1 lim 0 0 xy y x 1 2 D8-1多元函数概念(全) 4 4有界闭区域上连续函数的性质有界闭区域上连续函数的性质( (了解了解, ,不记不记) ) 有界闭区域有界闭区域D上的多元连续函数必在上的多元连续函数必在D上取得它的上取得它的 最大值和最小值最大值和最

19、小值 有界闭区域有界闭区域D上的多元连续函数必在上的多元连续函数必在D上取得介于上取得介于 其最小值与最大值之间的一切值。其最小值与最大值之间的一切值。 （2 2）最值性）最值性 （3 3）介值性）介值性 （1 1）有界性）有界性 有界闭区域有界闭区域D上的多元连续函数必在上的多元连续函数必在D上有界上有界 D8-1多元函数概念(全) 习题习题P56 1, 3(1)(4), 4, 5, 6(1)(3)(4)(6), 7(1), 8(2) D8-1多元函数概念(全) 思考题思考题 解答解答不能！不能！例如：例如：, )( ),( 242 23 yx yx yxf ( , )(0,0).x y 取取,kxy 2442 223 )( ),( xkx xkx kxxf 0(0).x 但是，但是， 不存在不存在. ),(lim )0,0(),( yxf yx 因为若取因为若取, 2 yx 244 26 2 )( ),( yy yy yyf . 4 1 若点若点( , )