线性代数答案

1、第二章矩阵及其运算1.已知线性变换紀2% 2妆出X2=3yy2 5y3X3=3y 2y2 %求从变量Xi X2 X3到变量yi y y3的线性变换解由已知缈3 2 5 丫yI X2 I 3 1 5 | y2lX3丿13 2 3人y?丿2 2 1;xjf-7_ 49 fy/故3 15X2 h263-7y253 2 3 丿W .丿132一4剧3丿% = -7咅 一4% +9x3 y2 =6为+3x2 - 7x3y3 = 3为 2X2 - 4X32 已知两个线性变换xr2yy3y-3z z2x -2yi 3y2 2y yr 2z 23X3=4y y2 5y3HJ.显求从Zi Z2 Z3到Xi X X

2、的线性变换解由已知0 1 yi2 0 115 y；/15-32i 00 0図3 Z3r 14 3 ；% = 6召十勺+ 3% 所以有 K, =12 -4Z, 9zj x3 = TOz, - Z2 + I6Z3Z11-11 8= -12 3-2 4 求 3AB-2A及 ATB广11 1 2 31 113AB-2A=311 -1-1-2 4-21 1-1订-1 1丿05 1丿订-11丿9 5 8)1 11、r-21322、=30-5 6_ 21 1-1=-2 -172012 9 0 丿1 -11丿429一2丿25解1丿11 1、M 2 30 5 8、ATB =1 1 -1T - 2 40-5 61

3、 -1 1 丿0 5 1 丿2 9 0 丿4 3 1、(1)1 -2 325 7 0 丿4 计算下列乘积：41解 (1 2 3) 2 卜(仆3+2江2+3)=(10)订丿 1(T 2)；3丿0(2汽(_1)2汇 2、f-2 4)解1(-1 2)=仆(-1)仆 2 =-1 23(-1) 3江 2 丿-3 6；031住140)0-12(4) 11-134 丿 1-314 0 -2 丿门3(2 1 4 0 0 -1U -1 3 4丿 1 -34 026-7 81 20-5-6-2(5)(X1 X2幼a：a13ai2a22a23a13 X1 a23 X2 a33 X3+ W-11X1+812X2*81

4、3X3 812X1*822X2 + 823X3 813X1 + 823X2*833X3) x21X3811*822X2833X32812X1X22813X1X32823X2X35 设 a= 1212 问(1) AB二BA 吗？解 ABBA因为 AB J4 61 BA J3 81 所以 ABBA.14 6丿13 8丿(2) (A B)A2 2AB B2 吗? 解(A B)2=A2 2AB B2 因为A B= 2 212 5丿(A B)2= 2 2 2 2 二f8 14)12 5人2 5 订4 29丿A2 2AB B2 =：3 8+6 8 昇1 0)=10 16) 14 11丿 18 12丿 13

5、 4 丿(15 27/所以(A B)2=A2 2AB B2A& 02(3) (A B)(A-B)=A2-B2 吗？ 解(A B)(A-B尸A2-B2 因为A B二2 212 5丿（a+b）（a-bH2 50 沢06A2 B2/3 8丄卩 0)=(2 8】.詔11丿13 4丿U 7丿故(A B)(A-B)=A2-B26 举反列说明下列命题是错误的(1)若 A2=0 则 A=0解取A二01 则A2=0但A0若A=A 则A=0或A二E解取A= Jj.则A=A但M0且A式E、若AX二AY.且A-0 则X二YL111*(01)则 AXAY 且 AP 但 XY7 设 A= 1 0 求 A2 A3Akl扎1

6、丿解A叫覆帼0A 二 AA=1 0丫1 0=1 2 1丿a 1广Ak =08、设 A= 0001 求 AJ解首先观察和1 0 ;0 1 0 仏2 2丸 1 ；a2 =0扎10扎1=0 扎220 0几丿2 0九丿(00人2p? 3 扎2 3 A二 A A二 03 3 200 九3 J仏4 43 6几IA4 = A3 A= 0 扎4 4?10 0 d5 5入4 10扎八A5 = A4 A= 0 扎55化400涉丿kzAk =k(k-1)心2 k 扎 k-1用数学归纳法证明： 当k=2时显然成立假设k时成立，则k 1时，kkkk ) T +k)1T k2kkk十kk+lko o由数学归纳法原理知|，

7、k k k-1 k(k D 心2Ak = 0 k kk，00汕9设A B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BtAB也是 对称矩阵证明因为A二A所以(BtAB)Bt(BtA) J btatb = btab从而btab是对称矩阵10.设a B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分 必要条件是 AB二BA证明充分性：因为AA BB且ab = ba.所以 (ab)J(ba)Jatbt=ab即ab是对称矩阵必要性:因为at=a bt=b且(AB)t=AB所以AB = (AB)JbtAt=BA11求下列矩阵的逆矩阵：(1)12(1) 2 5解 A=(2 2 |AF故存在因为A1 A21= 5 -2A2

8、A22_ 2 1-sn cost解A= ；0；cS豐AZO故A存在因为Al Agi= cos sin叮IA2 A2) rsin日 coS 丿所以|A|-sin日 cos0 丿f1 2 -V3 4-25 -4 1 丿1 2-nA=丄a* = cos日 si)解 A= 3 4 -2AF2P.故存在因为5 -4 1 丿2 06 -114 -2A2 A22 A32 VAI3 A23 A33 丿-2所以13|A|T60_12T丿a20(咖2an =0)anaiA =0a20由对角矩阵的性质知an01还12 解下列矩阵方程(1)25-216(2-6)/3 -5丫4 -6_住-231 3丿2 1厂1 2人2

9、 1丿一0 8厂2X 2 1-1 33 20 13 -21丿2- 31 -2 52 8-3T1 -30O 12T-IV/IV1 4)(3 1 Y2-1 2丿 2 -1 人-1=丄2 -4丫3 1 丫1一臥1丿2 -认1=丄6 6丫1 0=3 0丿订2厂0(4) 10 (10X0 1丿01 nI040 01 01 = 1 0-40-231】0丿9 25-43 ;i1 0 0、X =1 0 02 0 -1 0 0 10 0 1 丿J -2 0 人0 1 0丿解3 OO 1 Oo O 1OX-O2-4-12 1o O 11 o OO 1 OI1 2 3rrI 2 2 52=0丿3 5 1 丿310丿

10、丿X2X113,利用逆矩阵解下列线性方程组X 2x2 3x3 =1(1) 2凶 2x, 5卷=2 3石十5x2 +卷=3解方程组可表示为fl 2 3仏2 2 5 | x2 = 3 5 1人X3丿M=1 从而有X2=0ix3=0 x1 - x2 - x3 = 2(2)2为 - x? - 3乙二 1|3x +2x -5x3=0方程组可表示为(i -i -nfxj(2、 2 -1 _3X2 - 3 2 -5人X3丿2丿1勺-1-r11 _2 -1-31 =0J3 2-5丿0.3.X2故有14xr 5X2 =0X3 = 3设Ao (k为正整数)证明(E-A)6e A A2a2证明 因为Ak9 所以E-

11、Ak = E又因为E-Ak=(E-A)(E A A2AkJ所以(E-A)(E A A2Ak) = E由定理2推论知(E-A)可逆且(E-A)j = E A A2Ak_1证明 一方面有E = (E-A)e-A) 另一方面由AO有22k1k1 kE = (E-A) (A-A2) A2-Ak 1 (Ak -Ak)=(E A A2AkJ)(E-A)故(E-A)J(E-A) = (E A A2AkJ(E-A)两端同时右乘(E-A)-1 .就有12k 1(E-A) (E-A) = E A A2A ，15.设方阵A满足A2-A-2E2证明A及A 2E都可逆并 求 A-1 及(A 2E)证明由A2-A-2E9

12、得A2-A=2E 即 A(A-E) = 2E或a*a-e)= e由定理2推论知A可逆且A-1(A-E) 2由 A2-A-2E=O 得A2-A-6E-4E 即(A 2E)(A-3E)4E或(A 2E) 4(3E-A) = E由定理2推论知(A 2E)可逆且(A 2E)-1 J(3E-A) 4证明 由A2-A-2E=0得A2-A=2E 两端同时取行列式得|A2-A2即|A|A-E|=2故|A| 0所以A可逆.而A+2E=A2. A+2E|=A2F|A|2芒0,故A+2E也可逆由A2-A-2E = O 二 A(A-E) = 2E-A_1A(Eh2A_1 A=2(A-E) 又由 A2-A-2E = 8

13、 (A 2E)A-3(A 2E) 4E=(A 2E)(A-3E)4 E所以 (A 2E)_1(A 2E)(A-3E) 4(A 2 E)_1(A 2E)-(3A)416.设A为3阶矩阵|A|=；求|(2A)5A*| 解因为AA*.所以|(2A) 5A*鬥护-5|人阴=|-人-1-5人一1|= b21he2)3|_1h-8|Ar-8 2=- 1617 设矩阵A可逆证明其伴随阵A*也可逆(A*) (A_1)*证明由A |A|A*得A*二|A|A所以当A可逆时有1 A|A*|A|n|A_1h|A|n-0从而A*也可逆因为A* = |A|A。所以(A*)FaA又 A 二七(Ad* =|A|(AT)* 所

14、以|A_|(A*)二|AA二AljAKA-1)* =(A，)* 18 设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*证明(1) 若lAl=0 则 |A*|=0(2) |A*|=|A.证明(1) 用反证法证明假设|A*|=0.则有A*(A*) E由此得A二A A*(A*厂J|A|E(A*) O所以A* 9 这与A*0矛盾，故当|A|=0时 有|A*|=0(2) 由于A-A*则AA* =|A|E取行列式得到|A|A|A*H|A|n若 |A|=0.则 |A*|=|A|Z若|A| = 0由(1)知|A*|=0此时命题也成立因此 |A*| =|A|n0 3 319设 A= 1 1 0 | AB二A+2B求 B-1 2 3

15、丿解 由AA 2E可得(A-2E)B=A故f2 3 3汀0 3 30 3 3 ;B = (A-2E)_A= 1 -1 01 10 = T23-1 2 1 八T 2 3丿 U 1 0!1 0 1 20设 A= 0 2 0 且 AB+E=A2+B求 B、10 1；解由AB A2 B得(a-e)b=a2-e即(A-E)B = (A-E)(A E)因为|A-E|=0 11 01初所以(A-E)可逆.从而0 0201B = A+E= 0 3 021 设 A二diag(1,-2. 1)A*BA=2BA-8E 求 B-解由 A*BA=2BA-8E 得(A*-2E)BA=-8EB8(A*-2E)*一8A(A*

16、 -2E) _1一 8(AA*-2A)= -8(|A|E-2A)= -8(-2E-2A)* =4(E A)*=4diag(21 2)11 1= 4diag(2，T,=2diag(r-2 - 1)、1 022已知矩阵A的伴随阵A*= 1 18,1(+9山 9)h()&u?TV-二 L I?V(N 0 L NdfrMrvdHd寸Nf寸891 89 L L(NetNotNJ 0JN1T丁L寸Ld 二此dHJd 此 dHe朮 dsd寸iH-dfrM节 dTd 怒004O O O IO O (0 oO 9 O CO-9 0 e5 0 LOT ,0 oorOHl(n 山2)9(之日山)CH J(山)(山

17、8e 中 8e山 e+8J8圧 N丄eooJ-T-*二diag(1 1 58)diag(12 0 0) = 12diag(1 0 0).(A) = P ( JP1Jp (上)P*|P|1 1 nf1 0 0)f-2 -2 _2)-21 0 -2000-3 031 -1 1 丿0 0 0；-1 2 -1丿=425 设矩阵A、B及A B都可逆证明A八B，也可逆并求其逆阵证明因为A_1(A B)B_B_1 A_r 1而AA B)B是三个可逆矩阵的乘积所以 1(A B)1可逆 即A_1 B_1可逆(A B)_A_100026,计算2100珂A(A B)B讥B(A B)*A10丫1 3人00 10032

18、 -201-13-3；设2)B2f-23 0 -3厂(A E巳_ AB1 + B210 AJIO B2 丿 Q AA 厂AB1 + B41 購-1十2 3 口5 吐0 -3 、2 4)a D _f2 W-23L 卜 43)宀9一(0 3.k 0 -3广0 -9丿门 252)所以(A EYE RA 嶠但0 12 -4 IO A 人0 B2 丿 Q Z 厂 0 0 -431210031)0101 012-1 0021 00-230003人000-3丿0 00 -9)5252、I02-40-4300-9.27取A=BC = D胡H验证AD弋| |B41 oo 22 o-0 001 0010 0 2 0 -2 010-o 1 o 11O1OO1O1OIOHB D