6.2.函数在无穷远点的留数及其应用[上课课堂]

1、复变函数论复变函数论 Functions of One Complex Variable 湖南第一师范学院数理系湖南第一师范学院数理系 1课程章节 第六章第六章 留数理论及其应用留数理论及其应用 6.1 留数留数 6.2 用留数定理计算实积分用留数定理计算实积分 6.3 辐角原理及其应用辐角原理及其应用 2课程章节 3.函数在无穷远点的留数函数在无穷远点的留数 定义定义6.2 设设为为f(z)的一个孤立奇点的一个孤立奇点,即即f(z) 在去心邻域在去心邻域N-:0r | z | +内解析内解析,则称则称 1 ( ),(:|) 2 f z dzzr i 为为f(z)在点在点 的留数，记作的留数，

2、记作Res( ) z f z 设设f(z)在去心邻域在去心邻域N-:0r | z | +内内 的洛朗展式为的洛朗展式为 21 2101 ( ) n n f zc zc zcczc z 6.1 留数留数 3课程章节 例例3.2 设设C是圆是圆|z- -a|，其中，其中a是一个是一个 复数，复数，是一个正数，那么按反时针方向是一个正数，那么按反时针方向 所取的积分所取的积分 2, (1) ()0, (1) n C indz zan 的的整整数数 2, 1 0, 1 n indz zn 故故 4课程章节 2, 1 0, 1 n indz zn 及及可可推推出出 21 2101 ( ) n n f z

3、c zc zcc zc z 1 ( )2f z dzi c 1 1 Res( )( ) 2 z fzfz dzc i 注意比较含点注意比较含点的区域的柯西积分定理的区域的柯西积分定理 与此结论的异同与此结论的异同. 5课程章节 定理定理6.6 如果如果f(z)在扩充在扩充z平面上只有有平面上只有有 限个孤立奇点限个孤立奇点(包括无穷远点包括无穷远点)，设为，设为a1，a2, ，an, , 则则f(z)在各点的留数总和为零在各点的留数总和为零. 证证 以原点为圆心作圆周以原点为圆心作圆周，使，使a1，a2， ，an，皆含于皆含于内部，内部，的外部的外部只有一只有一 个奇点个奇点，由留数定理得，由

4、留数定理得 1 ( )2Res( ) k n z a k f z dzif z 6课程章节 1 a 2 a n a 1 ()2R es() k n za k fz dzifz O 7课程章节 1 ( )2Res( ) k n z a k f z dzif z 1 1 ( )Res( ) 2k n z a k f z dzf z i 1 1 Res( )( )0 2k n z a k f zf z dz i 1 1 Res( )( )0 2k n z a k f zf z dz i 1 Res ( )Res ( )0 k n z az k f zf z 故故 8课程章节 若若为为f(z)的可去奇

5、点的可去奇点(解析点解析点)，则不一，则不一 定有定有 Res( )0 z a f z 注意：注意：若若a为为f(z)的可去奇点，则必有的可去奇点，则必有 Res( )0 z f z 21 ( ) z zf z z 例例如如是是的的可可去去奇奇点点，但但 Res( )1 z f z 9课程章节 若若f(z)是整函数，则是整函数，则Res( )0 z f z 1 Res ( )( ) ,( :| |) 2 z f zf z dzz i 证证 明明 1 ( )0 2 f z dz i 这也是定理这也是定理6.6的特例的特例. 10课程章节 1 z t 1 ( )( )( ) t tff z 则则

6、.令令 , 计算函数在无穷远点留数的一个公式计算函数在无穷远点留数的一个公式 1 Res( )( ), 2 z f zf z dz i 考考虑虑其其中中 :| | ( :) i zrzre 或或 11 :| | ( :) i tte rr 或或 1 . z t - - 变变换换把把圆圆周周变变成成圆圆周周 1 |0 | |rzt r 同同时时把把区区域域变变成成 11课程章节 11 11 Res ( )( )( ) ( ) 22 z tt f zf z dzfd ii 故故 2 1111 11 ( ) ( )( )() 22 tttt fdfdt ii 22 0 1 11 1 1 ( )Res

7、 ( ) 2 t t tt t fdtf i 2 0 1 1 Res( )Res( ) zt t t f zf 即即 12课程章节 ( )| |f zrz 设设在在内内的的洛洛朗朗展展式式为为 11 ( )0 | | t ft r 则则在在内内的的洛洛朗朗展展式式为为 21 2101 ( ) n n f zc zc zcczc z 21 2101 1 ( ) n n t fc tc tcctc t 1232 21012 1 1 ( ) n n t t fcc tctctc t 2 1 0 1 1 Res( )Res( ) zt t t f zcf 所所以以 再利用洛朗级数证明这个公式再利用洛朗

8、级数证明这个公式 13课程章节 例例6.6 计算积分计算积分 解法一解法一：七个孤立奇点：七个孤立奇点, , 六个六个 有限奇点均在积分曲线内部有限奇点均在积分曲线内部, ,只有只有 在其外部在其外部. . 15 2243 | | 4 (1) (2) z z Idz zz 2 Re( ) z Iis f z 1 Re( ) z s f zc 1 2Ii c 14课程章节 15 2243 ( ) (1) (2) z zf z zz 易易知知是是的的一一阶阶零零点点 12 2 ( ) cc f z zz 2 1 ( ) c zf zc z 16 12243 lim ( ) lim1 (1) (2) zz z czf z zz 在在 的的去去心心邻邻域域内内有有 1 22Ii ci 15课程章节 2 0 1 1 Res( )Res( )1 zt t t f zf 所所以以 15 22 23 24 1 1 11 ( )