数字通信4-2带限信号传输的最佳检测

1、1 4.3 带限信号传输的最佳检测带限信号传输的最佳检测 和错误概率和错误概率 信号类型：信号类型：ASK，PSK，QAM 特点：特点： 以低带宽需求为主要特征以低带宽需求为主要特征，传输方式具有低维，传输方式具有低维 度，与发送信号的数目无关，功率效率随消息数的增加而度，与发送信号的数目无关，功率效率随消息数的增加而 减小。减小。 2 4.3.1 ASK或或PAM信号信号 传输的最佳检测和错误概率传输的最佳检测和错误概率 3 选择离选择离r最近的幅度电平为判决输出最近的幅度电平为判决输出 带限信号传输的最佳检测和错误概率带限信号传输的最佳检测和错误概率 ASK信号（信号（M个个一维信号点一维

2、信号点） mgm As 2 1 任意两点之间的最小距离任意两点之间的最小距离: m =1, 2, ，M (21) m AmM 2 min 2 12log 1 bavg M d M 最大相关度量判决规则最大相关度量判决规则 sm sm+1sm-1 两相邻信号点两相邻信号点 之间的距离之间的距离: min d ASK星座图中两种类型的点：星座图中两种类型的点： 2个外点个外点外点的错误是内点错误概率的一半，因为噪声仅在一个方向上外点的错误是内点错误概率的一半，因为噪声仅在一个方向上 引起错误引起错误 min 2 m d rsn minmin 0 2 22 ei dd PP nQ N M-2个内点个

3、内点内点被发送时，当内点被发送时，当 时，发生错误时，发生错误 min 0 1 22 eoei d PPQ N 4 符号的错误概率符号的错误概率 1 minmin 00 1 (|) 1 (2)22 22 M e m PP error m sent M dd MQQ MNN 代入代入dmin: 22 22 00 6log6log1 2(1)2 11 bavgbavg e MM PQQ MMNMN min 0 2(1) 2 dM Q MN 带限信号传输的最佳检测和错误概率带限信号传输的最佳检测和错误概率 5 注意注意: : lM=2时，相当于二进制双极性信号的错误概率时，相当于二进制双极性信号的错

4、误概率 lM较小时，较小时，M每增加每增加1倍，比特倍，比特SNR的增加超的增加超 过过4dB l当当M较的大时，较的大时，M每增加每增加1倍，要求比特倍，要求比特SNR 增加近增加近6dB 22 22 00 6log6log1 2(1)2 11 bavgbavg e MM PQQ MMNMN l平均比特平均比特SNR用用6log2M/(M2-1)来加权，当来加权，当 M增加时，要使增加时，要使Pe不变，必须提高比特不变，必须提高比特SNR 带限信号传输的最佳检测和错误概率带限信号传输的最佳检测和错误概率 6 4.3.2 PSK信号传输的最佳检测信号传输的最佳检测 和错误概率和错误概率 7计算

5、接收信号计算接收信号 r=( r1, r2 ) 的相位，选择相位最接近的相位，选择相位最接近r的信号向量的信号向量sm 向量表达式向量表达式 )1( 2 2cos)()(m M tftgts cm 信号波形信号波形 22 cos(1),sin(1) m smm MM mm srsrC),( 1 2 1 tan r r r 1mM，0tT 最大相关度量判决准则最大相关度量判决准则 m =（1，2，M） 相关检测器相关检测器相位检测器相位检测器 等价为等价为 1 2 g 其中：其中： 每个波形的能量每个波形的能量 g( t ) 发送信号的脉冲波形发送信号的脉冲波形 （等能量）（等能量） r 的相位

6、：的相位： PSK信号信号 带限信号传输的最佳检测和错误概率带限信号传输的最佳检测和错误概率 8 假设：发送信号相位假设：发送信号相位 发送信号向量发送信号向量 0 r 1 , 0s : MM 判决域为判决域为D1： 相当于相当于 发送信号发送信号s1(t) 11 rn 接收信号接收信号 r =r1, r2 向量分量向量分量 22 nr 1 ( )E r0)( 2 rE 2 0 22 2/ 21 rrr N 由于：由于： n1, n2 联合高斯随机变量联合高斯随机变量r1, r2 也是联合高斯随机变量也是联合高斯随机变量 联合联合PDF 22 12 12 22 ()1 ( ,)exp 22 r

7、 rr rr P r r 带限信号传输的最佳检测和错误概率带限信号传输的最佳检测和错误概率 问题：问题：接收信号接收信号r 的相位的的相位的PDF？ 9 )/(tan 12 1 rr r 设设 2 2 2 1 rrV 2 , 22 2cos1 ( ,)exp 22 r r Vr rr VV PV 符号符号SNR / / 1( ) r M err M PPd ),( ,rV VP r dVVee dVVPP rs rs rr V rVr 0 2/)cos2(sin2 0 , 2 2 2 1 ),()( 符号错误概率：符号错误概率： 0 / s N 在在V的范围积分的范围积分 )( r r P （

8、发送信号相位为（发送信号相位为0时）时） 带限信号传输的最佳检测和错误概率带限信号传输的最佳检测和错误概率 10 讨论几种特殊情况讨论几种特殊情况 0 2 b b PQ N lM=2，二进制相位调制二进制相位调制 lM=4，实际上是实际上是两个相位正交的二进制相位调制两个相位正交的二进制相位调制 正确判决概率：正确判决概率： 2 2 0 2 (1)1 b cb PPQ N 错误概率：错误概率： 00 221 121 2 bb ec PPQQ NN u比特错误概率：比特错误概率：同上同上 u符号错误概率：符号错误概率： 带限信号传输的最佳检测和错误概率带限信号传输的最佳检测和错误概率 11 lM

9、4数值积分数值积分 l在在大大M值和大值和大SNR时：时：近似处理近似处理 2 / sin / 1cos sr M s err M Ped rs r eP r s r 2 sin cos)( ude M u s )/sin(2 22 )/sin(22MQ s )/sin(22MkQ b 2 log sb k kM 1 be PP k 等价的比特错误概率等价的比特错误概率 当当M增加时，比特增加时，比特 SNR付出的代价付出的代价 / / 1( ) r M err M PPd （k比特中仅含单比特比特中仅含单比特 差错差错） 带限信号传输的最佳检测和错误概率带限信号传输的最佳检测和错误概率 4d

10、B 5dB 考虑到：考虑到：1.Gray码映射；码映射； 2. 最可能相邻相位间差错最可能相邻相位间差错 12 PSK相干解调存在的问题相干解调存在的问题 相位模糊相位模糊 解决办法：解决办法：采用采用差分编码差分编码PSK DPSK l相干相位解调需要相干相位解调需要载波相位的信息载波相位的信息； l载波相位来自载波相位来自接收信号，通过某些非线性运算接收信号，通过某些非线性运算得到。得到。 因为：因为： 对前后相邻的信号间的相位差进行编码。对前后相邻的信号间的相位差进行编码。 u二进制二进制PSK：平方运算，滤除倍频分量，二分频后提取载波：平方运算，滤除倍频分量，二分频后提取载波 频率和相

11、位的估值。频率和相位的估值。 结果：会产生结果：会产生180o的相位模糊。的相位模糊。 u四相四相PSK：4次方运算，滤除次方运算，滤除4次谐波分量，次谐波分量，4分频后提取载分频后提取载 波频率和相位的估值。波频率和相位的估值。 结果：会产生结果：会产生90o和和180o的相位模糊。的相位模糊。 带限信号传输的最佳检测和错误概率带限信号传输的最佳检测和错误概率 13 5.2 无记忆调制的最佳接收机性能无记忆调制的最佳接收机性能 l相干解调：相干解调： 近似于近似于PSK错误概率的错误概率的2倍！倍！ u将将当前时刻当前时刻接收信号与接收信号与前一时刻前一时刻接接 收信号的相位进行比较。收信号

12、的相位进行比较。 l非相干解调：非相干解调： DPSK 性能：性能： u经推导可得二进制经推导可得二进制DPSK错误概率：错误概率： 0 / 2 1 N b b eP DPSK与与PSK性能比较性能比较 l大大SRN时，时，DPSK稍次于稍次于PSK. l但但DPSK不需要用复杂的方法来估计载波相位。不需要用复杂的方法来估计载波相位。 l四相四相DPSK比四相比四相PSK（即（即QPSK）差大约）差大约2.3dB. Pe10-5时，二进制时，二进制DPSK与与PSK的的SNR相差小于相差小于1dB。 14 4.3.3 QAM信号传输的最佳检测信号传输的最佳检测 和错误概率和错误概率 15 QA

13、M信号的最佳检测中，需要两个滤波器匹配于基向量：信号的最佳检测中，需要两个滤波器匹配于基向量： 向量表达式向量表达式 tftgAtftgAts cmscmcm 2sin)(2cos)()( QAM信号波形信号波形 gmsgmcm AAs 2 1 , 2 1 1mM 0tT 1 2 ( )( )cos2 c g tg tf t 2 2 ( )( )sin2 c g tg tf t 匹配滤波器输出匹配滤波器输出 r=( r1, r2)计算计算C( r, sm) = 2r.sm- m 判决域取决于信号星座的形状。判决域取决于信号星座的形状。 带限信号传输的最佳检测和错误概率带限信号传输的最佳检测和错

14、误概率 16 222 1 2( 3 )22 4 avg AAA 平均发送信号能量：平均发送信号能量： 1. M=4的的QAM 22 1 4 ( 2 )2 4 avg AA 两幅度，四相位两幅度，四相位QAM： 四相信号：四相信号： 结论：结论：两个信号集具有相同的差错性能！两个信号集具有相同的差错性能！ QAM的错误概率与信号点的星座图有关！的错误概率与信号点的星座图有关！ 两种信号星座图两种信号星座图 Ad2 min AA AA 3 2 1 错误概率主要取决于信号点之间的最小距离。错误概率主要取决于信号点之间的最小距离。 带限信号传输的最佳检测和错误概率带限信号传输的最佳检测和错误概率 限制

15、条件：限制条件： ，信号等概。，信号等概。 17 2. M=8的的QAM 2 6 avg A 平均发送信号能量：平均发送信号能量： 主要研究四相信号星座图主要研究四相信号星座图 22 1 2 22 1 1 () () M avgmcms m M mcms m AA M A aa M Ad2 min 图（图（a）,（c）：）： ),( msmc aa由由A归一化的信号点坐标归一化的信号点坐标 2 6.83 avg A图（图（b）：）： 2 4.73 avg A图（图（d）：）： (d)信号星座图要求的功率最小信号星座图要求的功率最小 最好的最好的8点点QAM星座图星座图 比比(a)、(c) 小小

16、1dB；比；比 (b) 小小1.6dB。 带限信号传输的最佳检测和错误概率带限信号传输的最佳检测和错误概率 18 3. M16QAM l 圆周形多幅度信号星座圆周形多幅度信号星座 对于对于AWGN信道，圆周形信道，圆周形16 QAM星座星座不是不是 最好的。最好的。 l 矩形信号星座矩形信号星座 在两个正交载波上施加两个在两个正交载波上施加两个PAM信号来产生。信号来产生。 k M2，k为偶数时为偶数时 QAM 信号星座信号星座 在两个正交载波上的在两个正交载波上的 两个两个PAM信号信号 等效为等效为 其中每个具有其中每个具有 个信号点个信号点 2/ 2kM 例：例： 16QAM星座是星座是

17、最佳最佳8QAM信号星座的推广信号星座的推广。 容易产生，容易解调。容易产生，容易解调。 带限信号传输的最佳检测和错误概率带限信号传输的最佳检测和错误概率 19 正确判决概率正确判决概率 2 1 c MPAM PP M元元QAM的符号错误概率的符号错误概率 2 0 3log1 2 1 1 bav MPAM M PQ MNM 2 11 M QAM MPAM PP 每一路每一路 元元PAM的错误概率为的错误概率为 MPAM P M 带限信号传输的最佳检测和错误概率带限信号传输的最佳检测和错误概率 22 00 2 0 3log3log11 4 111 11 3log 4 1 bavbav MQAM

18、bav MM PQQ MNMNMM M Q MN 20 lPAM，PSK：增加速率的代价是：增加速率的代价是6dB/bit QAM：增加速率的代价是：增加速率的代价是3dB/bit M元元QAM与与PAM，PSK性能比较性能比较 QAM PSK M元元PSK M元元QAM 0 13 2 1 1 s M PQ MNM )/sin(22MQP sM 比较比较 两种类型的信号都是二维的。两种类型的信号都是二维的。 QAM的功率效率的功率效率 比比PAM和和PSK高高 lPSK的优点在于包络是恒定的的优点在于包络是恒定的 l在在M相同的情况下：相同的情况下： 带限信号传输的最佳检测和错误概率带限信号传

19、输的最佳检测和错误概率 2 log sbav M 0 s s N 错误概率主要由错误概率主要由Q函函 数的自变量支配！数的自变量支配！ 21 两个两个Q函数自变量的比值函数自变量的比值： 讨论：讨论： )/(sin2 ) 1/(3 2 M M RM lM=4时：时：RM=1，4-PSK与与4-QAM具有同样的性能具有同样的性能 lM4时：时：RM1，M元元QAM的性能比的性能比M元元PSK好好 32-QAM比比32-PSK有有7dB的性能改善！的性能改善！ 带限信号传输的最佳检测和错误概率带限信号传输的最佳检测和错误概率 22 4.4 功限信号传输的最佳检测功限信号传输的最佳检测 和错误概率和

20、错误概率 功限信号类型：正交信号，双正交信号，单纯信号等功限信号类型：正交信号，双正交信号，单纯信号等 特点：高维星座表征，功率效率高，带宽效率低特点：高维星座表征，功率效率高，带宽效率低 23 4.4.1 正交信号传输的最佳检测正交信号传输的最佳检测 和错误概率和错误概率 24 5.2 无记忆调制的最佳接收机性能无记忆调制的最佳接收机性能 考虑等能量正交信号的传输考虑等能量正交信号的传输 N=M 信号矢量信号矢量： 1 2 (, 0,0, 0) ( 0,0, 0) ( 0, 0,0,) M s s s M k mkkmm srsrsrC 1 ),( m=1, 2, ，M 最佳检测器：按最大互

21、相关准则判决最佳检测器：按最大互相关准则判决 选择最大者对应的选择最大者对应的sm 25 5.2 无记忆调制的最佳接收机性能无记忆调制的最佳接收机性能 M个相关器组的输出：个相关器组的输出： 1 2 1 1 0 0 ()1 ()exp r x P x NN 第一个相关器第一个相关器输出的输出的PDF： 111 ( ,)()rC r sn 222 ( ,)rC r sn ( ,) MMM rC r sn 0 2 0 /exp 1 )(Nx N xP mmrm 其余其余M-1个相关器个相关器输出的输出的PDF： m =2, 3, ，M 11 rn 归一化处理后：归一化处理后： rm = nm 假定

22、发送信号假定发送信号s1，则接收矢量：，则接收矢量： 112 , M rsnnnn 26 5.2 无记忆调制的最佳接收机性能无记忆调制的最佳接收机性能 检测器检测器正确判决的概率：正确判决的概率： 11111312 )()|,(drrPrrnrnrnPP Mc 联合概率可以分解为联合概率可以分解为 M-1个边缘概率之积个边缘概率之积 边缘概率边缘概率 mmrm dxxPrrnP m )()|( 11 11 1 /2/ 2/ )( 2 1 01 2 drrPdxeP M Nr x c 01 2 /2/ 2/ 2 1 Nr x dxe ( r1 大于其余大于其余M-1个相关器输出个相关器输出nm的

23、概率的概率) 在给定在给定r1条件下，条件下，n1, n2, nM 同时小于同时小于r1 的联合概率的联合概率 将这个联合概率在将这个联合概率在 所有所有r1上平均上平均 rm 统计独立统计独立 m = 2, M 正确判决的概率：正确判决的概率： 27 5.2 无记忆调制的最佳接收机性能无记忆调制的最佳接收机性能 cM PP1符号错误概率符号错误概率（每个符号携带（每个符号携带k比特比特) 2 12 /2 0 2111 1exp 222 M y x e Pedxydy N 由于由于M个信号等概个信号等概上式就是平均符号错误概率上式就是平均符号错误概率 l可以将可以将符号符号SNR 比特比特SN

24、R 的形式的形式 转化为转化为 0 / N 0 / N b k M2 l也可以将也可以将符号符号 Pe等效等效二进制错误概率二进制错误概率Pb 转化为转化为 121 ee k PP M 等概情况下等概情况下,所有符号错误都是等概的，发生的概率都为：所有符号错误都是等概的，发生的概率都为： 每个符号的每个符号的平均比特差错数：平均比特差错数： 1 1 2 2121 k k e e kk n kP nkP n 一个符号一个符号 (K个比特个比特) 中中有有n比特差错比特差错的情况：一共有的情况：一共有 种。种。 n k b k每个符号传送每个符号传送k比特比特 28 5.2 无记忆调制的最佳接收机

25、性能无记忆调制的最佳接收机性能 除于除于k，得到，得到平均比特错误概率：平均比特错误概率： 1 21 212 k bee k PPP 注意：注意： 为了达到给定的比特错误概率，为了达到给定的比特错误概率，增加波形增加波形 个数个数M可以减少对比特可以减少对比特SNR的要求的要求。 例：例：Pb=10-5 时时 M=2 SNR大约为大约为12dB M=64 SNR大约为大约为6dB 节省了节省了6dB ! 问题：问题： 当当M 时，为了达到任意小的错误概时，为了达到任意小的错误概 率，所要求的最小率，所要求的最小SNR是多少？是多少？ 29 5.2 无记忆调制的最佳接收机性能无记忆调制的最佳接收

26、机性能 (2)0 k e kMP 即时， Shannon极限极限 在在 k （即（即M=2k ）的极限情况下，达到任意小的）的极限情况下，达到任意小的 错误概率所要求的最小错误概率所要求的最小SNR为为-1.6dB. 结论：结论： )6 . 1(693. 02ln 0 dB N b 若：若： 当：当： 30 5.2 无记忆调制的最佳接收机性能无记忆调制的最佳接收机性能 正交信号传输的特例：正交信号传输的特例：FSK 频率间隔：频率间隔： l 为正整数为正整数 注意：注意： 正交正交FSK信号信号 2 l f T 错误概率：同上错误概率：同上 保持正交性的频率间隔并不能使错误概率最小！保持正交性

27、的频率间隔并不能使错误概率最小！ 可以证明：二进制可以证明：二进制FSK错误概率最小时的错误概率最小时的 0.715/fT （FSK变为正交信号的要求）变为正交信号的要求） 31 5.2 无记忆调制的最佳接收机性能无记忆调制的最佳接收机性能 双正交信号传输的最佳检测和错误概率双正交信号传输的最佳检测和错误概率 解调：解调： 1 , 0, 0s 用用M/2个互相关器或匹配滤波器个互相关器或匹配滤波器 假定发送信号假定发送信号s1(t)，相应的信号向量：相应的信号向量： 由由M/2个正交信号及其个正交信号及其M/2个负值信号构成个负值信号构成双正交信号：双正交信号： 12 , N rnnn 接收信号向量：接收信号向量： 信号矢量信号矢量： 11 22 2 (, 0,0, 0) ( 0,0, 0