集合的含义和表示

1、 1、理解集合的概念；、理解集合的概念； 2、掌握集合中元素的三特性；、掌握集合中元素的三特性； 3、会用符号表示元素与集合之间的关系；、会用符号表示元素与集合之间的关系； 4、理解常用的集合的符号表示的意义；、理解常用的集合的符号表示的意义； 5、会用不同的方法表示集合。、会用不同的方法表示集合。 在现代数学中，集合是一种简洁、高雅在现代数学中，集合是一种简洁、高雅 的数学语言，我们怎样理解数学中的的数学语言，我们怎样理解数学中的 “集合集合”？ . , .,. 一词一词集合集合年谈到年谈到于于 他他集合论创始人集合论创始人德国数学家德国数学家 康托尔康托尔 1895 19181845Can

2、torG “集合集合”是日常生活中的一个常用词，是日常生活中的一个常用词， 现代汉语解释为现代汉语解释为:许多的人或物聚在一起许多的人或物聚在一起。 思考：思考：上述每个问题都由若干个对象组成，每上述每个问题都由若干个对象组成，每 组对象的全体分别形成一个组对象的全体分别形成一个集合集合，集合中的每，集合中的每 个对象都称为个对象都称为元素元素.上述上述4个集合中的元素分别个集合中的元素分别 是什么？是什么？ 知识探究（一）知识探究（一） 考察下列问题：考察下列问题： （1）120以内的所有整数；以内的所有整数； （2）抚松一中高一年级的所有同学；）抚松一中高一年级的所有同学； （3）所有的三

3、角形）所有的三角形; （4）2008年北京奥运会火炬传递过程中所用的年北京奥运会火炬传递过程中所用的 火炬。火炬。 一、集合的概念一、集合的概念: 把研究的对象称为把研究的对象称为元素元素，通常用，通常用 小写拉丁字母小写拉丁字母a，b，c，x,表示；表示； 把一些元素组成的总体叫做把一些元素组成的总体叫做集合集合， 简称简称集集，通常用大写拉丁字母，通常用大写拉丁字母A， B，C，表示表示. 思考：思考：试列举一个集合的例子，并指出集合试列举一个集合的例子，并指出集合 中的元素中的元素. 任意一组对象是否都能组成一个集合？集合中的元素任意一组对象是否都能组成一个集合？集合中的元素 有什么特征

4、？有什么特征？ 思考思考1：某班所有的某班所有的“帅哥帅哥”能否构成一个集合？由此能否构成一个集合？由此 说明什么？说明什么？ 集合中的元素必须是确定的集合中的元素必须是确定的 思考思考2：在一个给定的集合中能否有相同的元素？由此在一个给定的集合中能否有相同的元素？由此 说明什么？说明什么？ 集合中的元素是不重复出现的集合中的元素是不重复出现的 思考思考3：0705班的全体同学组成一个集合，调整座位后班的全体同学组成一个集合，调整座位后 这个集合有没有变化？由此说明什么？这个集合有没有变化？由此说明什么？ 集合中的元素是没有顺序的集合中的元素是没有顺序的 知识探究（二）知识探究（二） 二、集合

5、中元素的特性二、集合中元素的特性: 1、确定性：、确定性：给定的集合，它的元素必须是确定给定的集合，它的元素必须是确定 的，也就是说给定一个集合，那么任何一个元素在的，也就是说给定一个集合，那么任何一个元素在 不在这个集合中就确定了。不在这个集合中就确定了。 集合中的元素必须是互不相同的（即集合中的元素必须是互不相同的（即 没有重复现象），相同的元素在集合中只能算作一个没有重复现象），相同的元素在集合中只能算作一个。 集合中的元素是无先后顺序的，集合中的元素是无先后顺序的， 即集合里的任何两个元素可以交换位置。即集合里的任何两个元素可以交换位置。 由集合元素的由集合元素的确定性确定性决定了元素

6、与集合决定了元素与集合 的关系。的关系。 如果a是集合A的元素，就说 a 属于集合属于集合A ，记作a A； 三、元素与集合的关系：三、元素与集合的关系： 例如，用例如，用A表示表示“ 120以内所有的质以内所有的质 数数”组成的集合，则有组成的集合，则有3 ， 等等。等等。 如果a不是集合A的元素，就说 a 不属于集合不属于集合A ，记作a A。 注注：“”的开口方向，不能把的开口方向，不能把aA颠倒过来写颠倒过来写 思考：思考：所有的自然数，正整数，整数，有理数，所有的自然数，正整数，整数，有理数， 实数能否分别构成集合？实数能否分别构成集合？ 知识探究（三）知识探究（三） 四、重要数集：

7、四、重要数集： (1) N: 自然数集自然数集(含含0) 即非负整数集即非负整数集 (2) N*或或N : 正整数集 正整数集(不含不含0) (3) Z：整数集：整数集 (4) Q：有理数集：有理数集 (5) R：实数集：实数集 根据集合中元素个数的多少，我们将集合根据集合中元素个数的多少，我们将集合 分为以下两大类：分为以下两大类： 1、有限集：、有限集： 含有有限个元素的集合称为有限集。含有有限个元素的集合称为有限集。 特别，不含任何元素的集合称为特别，不含任何元素的集合称为空集空集, ,记为记为 2、无限集：、无限集： 若一个集合不是有限集，则该集合称为无限集。若一个集合不是有限集，则该

8、集合称为无限集。 五、数集的分类：五、数集的分类： ,.北北京京 天天津津 上上海海 重重庆庆上上海海 北北京京 天天津津 重重庆庆 相等如则称这两个集合的元素中的元素也都是 的元素的元素都是即素完全相同如果两个集合所含的元 ,), ,( AB BA （1）中国的直辖市）中国的直辖市 （2）身材较高的人）身材较高的人 （3）著名的数学家）著名的数学家 （4）高一）高一(5)班眼睛很近视的同学班眼睛很近视的同学 练习练习1：判断下列例子能否构成集合？：判断下列例子能否构成集合？ 注注:像像”很很”,”非常非常”,”比较比较” 这些这些不确定不确定的词都不能构成集合的词都不能构成集合 练习练习2：

9、用符号：用符号“”或或“ ” 填空填空 (1) 3.14 Q (2) Q (3) 0 N+ (4) (-2)0 N+ (5) Q (6) R 3232 我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给 我们带来很多不便，除此之外我们带来很多不便，除此之外,还可以用什么方式表示还可以用什么方式表示 集合呢？集合呢？ 知识探究（四）知识探究（四） 考察下列集合：考察下列集合： （1 1）小于小于5 5的所有自然数组成的集合；的所有自然数组成的集合； （2 2）方程方程 的所有实数根组成的集合的所有实数根组成的集合. . 3 xx 思考思考1：这两个集合分别有哪些

10、元素？这两个集合分别有哪些元素？ （1）0，1，2，3，4； （2）-1，0，1 思考思考2：由上述两组数组成的集合可分别怎样表示？由上述两组数组成的集合可分别怎样表示？ （1）0，1，2，3，4； （2）-1，0，1 六、集合的表示方法：六、集合的表示方法： 1、列举法、列举法: 把集合的元素一一列举出来，并用花括号把集合的元素一一列举出来，并用花括号 “ ”括起来表示集合的方法括起来表示集合的方法 注意：注意：1、元素间要用逗号隔开；、元素间要用逗号隔开； 2、不管次序放在大括号内。、不管次序放在大括号内。 例如：例如：book中的字母的集合表示为：中的字母的集合表示为： ，o ，o，()

11、 例例 1：用列举法表示下列集合：用列举法表示下列集合： （1）小于）小于10的所有自然数组成的集合；的所有自然数组成的集合； （2）方程）方程x2=x的所有实数根组成的集合；的所有实数根组成的集合； （3）由）由120以内的所有素数组成的集合。以内的所有素数组成的集合。 解：解： （1）设小于）设小于10的所有自然数组成的集合为；的所有自然数组成的集合为； 那么那么0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 （2）设方程）设方程x2=x的所有实数根组成的集合；的所有实数根组成的集合； 那么那么B=1,0 （3）设由）设由120以内的所有素数组成的集合以内的所有素数组成的集合, 那么那么C=2,3

12、,5,7,11,13,17,19 考察下列集合：考察下列集合： （1 1）不等式）不等式 的解组成的集合；的解组成的集合； （2 2）绝对值小于）绝对值小于2 2的实数组成的集合的实数组成的集合. . 273x 思考思考1：这两个集合能否用列举法表示？这两个集合能否用列举法表示？ 思考思考2：如何用数学式子描述上述两个集合的元素特征？如何用数学式子描述上述两个集合的元素特征？ （1 1） R R，且，且 ； （2 2） R R，且，且x5x x| 2x 思考思考3：上述两个集合可分别怎样表示？上述两个集合可分别怎样表示？ （1 1） R| R| ； （2 2） R| R| x5x x| 2x

13、知识探究（五）知识探究（五） 六、集合的表示方法：六、集合的表示方法： 2、描述法、描述法: 元素的一般元素的一般符符 号号及及取值范围取值范围 元素所具有的元素所具有的共同特征共同特征 取值范围为取值范围为 R省略不写省略不写 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法。用集合所含元素的共同特征表示集合的方法。 具体方法：具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符 号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出 这个集合中元素所具有的共同特征。这个集合中元素所具有的共同特征。 例例2：试分别用列

14、举法和描述法表示下：试分别用列举法和描述法表示下 列集合：列集合： (1)方程方程x2-2=0的所有实数根组成的集的所有实数根组成的集 合；合； (2)由大于由大于10小于小于20的所有整数组成的的所有整数组成的 集合。集合。 思考题：结合此例思考题：结合此例,试比较用自然语言、试比较用自然语言、 列举法和描述法表示集合时各自的特点列举法和描述法表示集合时各自的特点 和适用的对象。和适用的对象。 例如，图例如，图1-1表示任意一个集合表示任意一个集合A； 图图1-2表示集合表示集合1，2，3，4，5 图图1-1图图1-2 A 1,2,3, 5, 4. 六、集合的表示方法：六、集合的表示方法：

15、(Venn图图) 我们常常画一条封闭的曲线，用它的我们常常画一条封闭的曲线，用它的 内部表示一个集合。内部表示一个集合。 3、图示法、图示法: 韦恩图韦恩图 （1）列举法：把集合的元素一一列）列举法：把集合的元素一一列 举出来写在大括号的方法举出来写在大括号的方法 （2）描述法：用确定条件表示某些）描述法：用确定条件表示某些 对象是否属于这个集合的方法对象是否属于这个集合的方法 （3）图示法）图示法 六、集合的表示方法：六、集合的表示方法： 【议一议议一议深化概念深化概念】 1： 与与 的含义是否相同？的含义是否相同？aa 2：集合集合1，2与集合与集合(1，2)相同吗？相同吗？ 4: 集合集合 的几何意义如何？的几何意义如何？ 2 ( , )|,x yyxxR 3：集合集合 与集合与集合 相同吗？相同吗？ 2 |,y yxxRRxxyx, 2 x y o 2 y x 前者是函数的所有前者是函数的所有函数值函数值组成的集合；组成的集合； 后者是函数的所有后者是函数的所有自变量自