高等数学函数的微分.

1、2-4 函数的微分函数的微分 0 微分的概念与定义微分的概念与定义 0 导数与微分的关系导数与微分的关系 0 微分的几何意义微分的几何意义 0近似计算近似计算 0误差估计误差估计 2-4.1 微分的定义微分的定义 一、问题的提出一、问题的提出 实例实例: :正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量. 2 0 xA 0 x 0 x , 00 xxx 变到变到设边长由设边长由 的的改改变变量量正正方方形形面面积积 2 0 xA 2 0 2 0 )(xxxA .)(2 2 0 xxx )1()2( ;,的的主主要要部部分分且且为为的的线线性性函函数数Ax .,很很小小时时可可

2、忽忽略略当当的的高高阶阶无无穷穷小小xx :)1( :)2( x x 2 )( x xx 0 xx 0 二、微分的定义二、微分的定义 定义定义 .),( ,)( ,)( ),( )()()( , ,)( 00 0 0 0 00 00 xAdyxdfdy xxxfy xAxxfy xA xoxAxfxxfy xxx xfy xxxx 即即或或记记作作 的的微微分分相相应应于于自自变变量量增增量量在在点点 为为函函数数并并且且称称可可微微在在点点 则则称称函函数数无无关关的的常常数数是是与与其其中中成成立立 如如果果在在这这区区间间内内及及 在在某某区区间间内内有有定定义义设设函函数数 .的线性主

3、部的线性主部叫做函数增量叫做函数增量微分微分ydy ( (微分的实质微分的实质) ) .),(, ,)( xAdyxdfdy xxfy 即或记作微分 称为函数的的微分在任意点函数 由定义知由定义知: : ;)1(的的线线性性函函数数是是自自变变量量的的改改变变量量xdy ;)()2(高阶无穷小高阶无穷小是比是比 xxodyy ;,0)3(是是等等价价无无穷穷小小与与时时当当ydyA dy y xA xo )( 11(0).x ;)(,)4( 0有 有关关和和但但与与无无关关的的常常数数是是与与xxfxA ).(,)5(线线性性主主部部很很小小时时当当dyyx 三、可微的条件三、可微的条件 ).

4、(,)( )( 00 0 xfAxxf xxf 且且处可导处可导在点在点数数 可微的充要条件是函可微的充要条件是函在点在点函数函数定理定理 证证(1) 必要性必要性,)( 0可 可微微在在点点xxf),( xoxAy , )( x xo A x y x xo A x y xx )( limlim 00 则则.A ).(,)( 00 xfAxxf 且且可可导导在在点点即即函函数数 (2) 充分性充分性 0 ()()yfxxx 从而 ,)( 0 xf x y 即即 ,)( 0可 可导导在在点点函函数数xxf ),(lim 0 0 xf x y x ),0(0 x ),()( 0 xoxxf 00

5、( ),().f xxfxA所以函数在点可微且 ).(. 0 xfA 可可微微可可导导 例例1 1 解解 .02. 0, 2 3 时时的的微微分分当当求求函函数数 xxxy xxdy )( 3 .3 2 xx 02. 0 2 2 02. 0 2 3 x x x x xxdy.24. 0 ., , xdxdx xx 即即记记作作 称称为为自自变变量量的的微微分分的的增增量量通通常常把把自自变变量量 .)(dxxfdy ).(xf dx dy .微微商商导导数数也也叫叫该该函函数数的的导导数数 之之商商等等于于与与自自变变量量的的微微分分即即函函数数的的微微分分dxdy 注注: y=0.24240

6、8 四、微分的几何意义四、微分的几何意义 )(xfy 0 x M N T dy y )( xo ） x y o x 几何意义几何意义:(:(如图如图) ) . , 对对应应的的增增量量 就就是是切切线线纵纵坐坐标标 坐坐标标增增量量时时 是是曲曲线线的的纵纵当当 dy y xx 0 P . , MNMP Mx 可近似代替曲线段可近似代替曲线段切线段切线段 的附近的附近在点在点很小时很小时当当 Q 2-4.2 微分的求法、微分形式的不变性微分的求法、微分形式的不变性 dxxfdy) ( 求法求法: : 计算函数的导数计算函数的导数, 乘以自变量的微分乘以自变量的微分. 1.基本初等函数的微分公式

7、基本初等函数的微分公式 xdxxxdxdxxxd xdxxdxdxxd xdxxdxdxxd dxxxdCd cotcsc)(csctansec)(sec csc)(cot sec)(tan sin)(coscos)(sin )( 0)( 22 1 dx x xddx x xd dx x xddx x xd dx x xddx ax xd dxeedadxaad a xxxx 22 22 1 1 )cotarc( 1 1 )(arctan 1 1 )(arccos 1 1 )(arcsin 1 )(ln ln 1 )(log )(ln)( 2. 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的

8、微分法则 2 )()( )()( v udvvdu v u dudvvduuvd CduCuddvduvud 例例2 2 解解 .),ln( 2 dyexy x 求求设设 , 21 2 2 x x ex xe y . 21 2 2 dx ex xe dy x x 例例3 3 解解 .,cos 31 dyxey x 求求设设 )(cos)(cos 3131 xdeedxdy xx .sin)(cos,3)( 3131 xxee xx dxxedxexdy xx )sin()3(cos 3131 .)sincos3( 31 dxxxe x 微分形式的不变性微分形式的不变性 ;)(,) 1 (duu

9、fdyu是自变量时若 (2), ( ), ux ux 若 是中间变量时 即另一变量 的可微函数 则 ),()(ufufy有导数设函数 dxxufdxxfdy x )()()( ,)(dudxx.)(duufdy 结论结论：, ( ) u yf u 无论 是自变量还是中间变量 函数 的微分形式总是 微分形式不变性微分形式不变性 duufdy) ( ( )yfx 微分的应用微分的应用 1、计算函数增量的近似值、计算函数增量的近似值 , , 0)()( 00 很很小小时时 且且处处的的导导数数在在点点若若 x xfxxfy 例例1 1 ?,05. 0 ,10 问问面面积积增增大大了了多多少少厘厘米米

10、 半半径径伸伸长长了了厘厘米米的的金金属属圆圆片片加加热热后后半半径径 解解, 2 rA 设设.05. 0,10厘厘米米厘厘米米 rr 2AdArr 05. 0102 ).( 2 厘米厘米 .)( 0 xxf 00 xxxx dyy 2、计算函数的近似值、计算函数的近似值 0 2.1.( );f xxx求在点附近的近似值 )()( 00 xfxxfy .)( 0 xxf .)()()( 000 xxfxfxxf )(很小时很小时x 例例2 2.0360cos o 的的近近似似值值计计算算 解解,cos)(xxf 设设)(,sin)(为为弧弧度度xxxf , 360 , 3 0 xx. 2 3

11、) 3 (, 2 1 ) 3 ( ff ) 3603 cos(0360cos o 3603 sin 3 cos 3602 3 2 1 .4924. 0 2.2.( )0;f xx 求在点附近的近似值 .)0()0()(xffxf ,)()()( 000 xxfxfxxf ., 0 0 xxx 令令 常用近似公式常用近似公式)(很很小小时时x .)1ln()5( ;1)4();(tan)3( );(sin)2(; 1 11)1( xx xexxx xxxx n x x n 为为弧弧度度 为为弧弧度度 证明证明 ,1)()1( n xxf 设设,)1( 1 )( 1 1 n x n xf . 1

12、)0(, 1)0( n ff xffxf)0()0()( .1 n x 例例3 3.计计算算下下列列各各数数的的近近似似值值 解解 .)2(;5 .998)1( 03. 0 3 e 33 5 . 110005 .998)1( 3 ) 1000 5 . 1 1(1000 3 0015. 0110 )0015. 0 3 1 1(10 .995. 9 03. 01)2( 03. 0 e.97. 0 2.3、误差估计、误差估计 由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法 等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差， 而根

13、据带有误差的数据计算所得的结果也会有误而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误 差，我们把它叫做差，我们把它叫做间接测量误差间接测量误差. 定义：定义：, ,. M mMmm 如果某个量的精确值为它的近似值 为那么叫做 的绝对误差 . Mm mM m 而绝对误差与的比值叫做 的相对误差 相对误差通常用百分数表示相对误差通常用百分数表示. 为估计间接量的误差为估计间接量的误差, ,现将直接量的误差看作自现将直接量的误差看作自 变量的增量变量的增量, ,将间接量的误差看作是函数的增量将间接量的误差看作是函数的增量. . 这样这样, ,估计误差就变为估计函数增量估计误差就变为估计函数增量, ,可通

14、过微可通过微 分近似算出分近似算出. . 问题问题:在实际工作中在实际工作中,绝对误差与相对误差如何求得绝对误差与相对误差如何求得? 例例4 4 . ,005. 041. 2 误误差差并并估估计计绝绝对对误误差差与与相相对对 求求出出它它的的面面积积米米正正方方形形边边长长为为 解解 则则面面积积为为设设正正方方形形边边长长为为,yx . 2 xy ,41. 2时时当当 x).(8081. 5)41. 2( 22 my 41. 241. 2 2 xx xy .82. 4 0.005, x x 边长的绝对误差为 面积的绝对误差为 ).(0241. 0 2 m y y 面积的相对误差为面积的相对误

15、差为 8081. 5 0241. 0 4.82 0.005 yx ydyyx 0.415% 小结小结 微分学所要解决的两类问题微分学所要解决的两类问题: 函数的变化率问题函数的变化率问题 函数的增量问题函数的增量问题微分的概念微分的概念 导数的概念导数的概念 求导数与微分的方法求导数与微分的方法,叫做叫做微分法微分法. 研究微分法与导数理论及其应用的科学研究微分法与导数理论及其应用的科学, 叫做叫做微分学微分学. 导数与微分的联系导数与微分的联系:.可微可微可导可导 作业 P122 3(3)(6)(7) 4(3)(5)(6)(7) 6,7(1),10(1) 例例4 4 解解 .,sindybx

16、ey ax 求求设设 sin()(cos) axax dybx d eedbx sin()cos axax bx ea dxebx bdx .)sincos(dxbxabxbe ax 例例3 3 解解 .),12sin(dyxy求求设设 . 12,sin xuuy ududycos )12()12cos( xdx dxx2)12cos( .)12cos(2dxx 例例5 5 解解 在下列等式左端的括号中填入适当的函数在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使使 等式成立等式成立. ).()()(sin)2(;cos)()1( 2 xdxdtdtd ,cos)(sin)1(tdttd )(sin 1 costdtdt .cos)sin 1 (tdtCtd );sin 1 (td dx x dxxx xd xd 2 1 cos2 )( )(sin )2( 22 ,cos4 2 xxx ).()cos4()(sin 22 xdxxxxd