Mathematica教程-常用的数学函数

1、Mathematica教程-常用的数学函数 常用的数学函数常用的数学函数 Mathematica里定义了许多数学函数，包括三 角函数、指数对数函数、双曲函数和许多特殊 函数 。这些函数都可以用在表达式里。命名规 则一般使用习惯的英文缩写，应该注意的是：应该注意的是： 函数名都是由字符串表示，字符之间不能有空函数名都是由字符串表示，字符之间不能有空 格格；函数名字的第一个第一个字母总是大写大写的，后面 的字母是小写的，但如果名字是由几个段构成 的（如A ArcS Sin），则每段的第一个字母都必须 大写，这些是Mathematica内部函数取名的规则。 再一点应当特别注意：函数的参数是用括起来

2、的。如S Sin x Mathematica教程-常用的数学函数 三角函数三角函数 ：Sinx，Cosx ，Tanx ，Cotx 等等 反三角函数反三角函数 ：ArcSinx ，ArcCosx ，ArcTanx等等 双曲函数与反双曲函数双曲函数与反双曲函数 ：Sinhx Sinhx ，Coshx Coshx ，TanhxTanhx， ArcSinhxArcSinhx，ArcCoshxArcCoshx，ArcTanhxArcTanhx 指数函数指数函数ExEx（或（或ExpxExpx），指数函数），指数函数axax 对数函数对数函数ln xln x用用LogxLogx，以，以a a为底的对数函数

3、用为底的对数函数用Loga,xLoga,x 平方根函数平方根函数 ：Sqrtx Sqrtx ，绝对值函数，绝对值函数 ：Absx Absx Maxx1,x1,: 取取x1,x2,中的最大值中的最大值 Minx1,x2,: 取取x1,x2,中的最小值中的最小值 Signx: 符号函数（符号函数（x大于大于0时值为时值为1，小于，小于0时值为时值为-1） 常用函数的命令格式 Mathematica教程-常用的数学函数 Roundx: 最接近最接近x的整数的整数 Floorx: 不大于不大于x的最大整数的最大整数 Ceilingx: 不小于不小于x的最小整数的最小整数 Absx: x的绝对值或复数的

4、摸的绝对值或复数的摸 x+Iy : 复数复数x+iy；Rez: 复数复数z的实部的实部 Imz: 复数复数z的虚部；的虚部；Argz: 复数复数z的幅角的幅角 Divisorsn: 能整除能整除n的所有整数组成的表的所有整数组成的表 Modm,n: m被被n除的正余数除的正余数 Quotientm,n: m/n的整数部分的整数部分 GCDn1,n2: 求求n1,n1，的最大公因数的最大公因数 LCMn1,n2: 求求n1,n2，的最小公倍数的最小公倍数 。 Mathematica教程-常用的数学函数 Random : 01之间的随机数之间的随机数 RandomReal,xmax: 0 xmax

5、之间的随机数之间的随机数 RandomReal,xmin,xmax: xminxmax之之 间的随机数间的随机数 N表达式，表达式，k-求表达式的近似值，求表达式的近似值，k为可选项，为可选项， 它指定计算结果的有效数字的位数。系统默认精它指定计算结果的有效数字的位数。系统默认精 度为六位有效数字度为六位有效数字 N! : n的阶乘的阶乘 N! : n的双阶乘的双阶乘 Mathematica教程-常用的数学函数 在在MathematicaMathematica中，除使用系统提供中，除使用系统提供 的函数外，也可自定义函数。定义一个不的函数外，也可自定义函数。定义一个不 带附加条件的一元函数的规

6、则是带附加条件的一元函数的规则是fx_:=fx_:= 或或fx_=fx_=后面紧跟一个以后面紧跟一个以x x为变量的表达为变量的表达 式，其中式，其中x_x_称为形式参数。如果需要给出称为形式参数。如果需要给出 附加条件，可在表达式的后面通过附加条件，可在表达式的后面通过“/ /；” 与表达式连接，即形式为：与表达式连接，即形式为：fx_fx_：= =表达表达 式式/ /；条件。调用自定义函数；条件。调用自定义函数fx_fx_时，只时，只 需用实在参数（变量或数值等）代替其中需用实在参数（变量或数值等）代替其中 的形式参数即可。的形式参数即可。对于定义的函数我们可对于定义的函数我们可 以使用命

7、令以使用命令Clearf清除掉或用清除掉或用Removef 从系统中删除该函数。从系统中删除该函数。 自定义函数自定义函数 Mathematica教程-常用的数学函数 函数的立即定义函数的立即定义 立即定义函数的语法如下fx_=expr函数名为f, 自变量为x，expr是表达式。在执行时会把expr 中的x都换为f的自变量x(不是x_)。函数的自变 量具有局部性，只对所在的函数起作用。函数 执行结束后也就没有了，不会改变其它全局定 义的同名变量的值。例: 定义函数定义函数f(x)=x*Sinx+x2, 对定义的函数求函数 值，并绘制它的图形。 Mathematica教程-常用的数学函数 Mat

8、hematica教程-常用的数学函数 多变量函数的定义多变量函数的定义 也可以定义多个变量的函数，格式为 fx_,y_,z_,=expr 自变量为x,y,z., 相应的expr中的自变量 会被替换。例如定义函数 f(x,y)=xy+ycosx Mathematica教程-常用的数学函数 Mathematica教程-常用的数学函数 使用条件运算符定义和使用条件运算符定义和If命令定义命令定义 函数函数 如果要定义如： 可以使用条件运算符，基本格式为 fx_:=expr/;condition 当condition条件满足时才把expr赋给f Mathematica教程-常用的数学函数 Mathem

9、atica教程-常用的数学函数 当然使用If命令也可以定义上面的函数 Mathematica教程-常用的数学函数 表表 将一些相互关联的元素放在一起，使它们成 为一个整体。既可以对整体操作，也可以对 整体中的一个元素单独进行操作。在 Mathematica中这样的数据结构就称作表 （List）。表主要有三个用法：表a,b,c 可以表示一个向量；表a,b,c,d可表示一 个矩阵。 Mathematica教程-常用的数学函数 建建 表表 在表中元素较少时，可以采取直接列表的方式 列出表中的元素，如1,2,3 In1:=1,2,3 Out1=1,2,3 下面是符号表达式的列表 In2:=1+%x+x

10、% Out2=1+2x,1+2x+x2,1+3x+x2 Mathematica教程-常用的数学函数 下面是对列表中的表达式对x求导 In3:=D%,x Out3=2,2+2x,3+2x In4:=%/.x-1 Out4=2,4,5 Mathematica教程-常用的数学函数 下面给出x乘i的值的表，i的变化范围为2,6 In1:=Tablex*i,i,2,6 Out1=2x,3x,4x,5x,6x In2:=Tablex2,4 Out2=x2,x2,x2,x2 Mathematica教程-常用的数学函数 用Range函数生成一个序列数 In3:=Range10 Out3=1,2,3,4,5,6

11、,7,8,9,10 下面这个序列是以步长为2，范围从8到20 In4:=Range8,20,2 Out4=8,10,12,14,16,18,20 Mathematica教程-常用的数学函数 如果表中的元素较多时，可以用建表函数进行建表 Tablef, i,min,max,step :以step为步长给出f的 数值表，i由min变到max， Tablef,min,max : 给出f的数值表，i由min变到 max 步长为1 Tablef,max : 给出max个f的表 Tablef, i,imin,imax,j,jmin,jmax,. : 生成一个 多维表 TableFormlist: 以表格格

12、式显示一个表 Rangen: 生成一个1,2,.的列表 Rangen1,n2,d: 生成n1,n1+d,n1+d,.,n2 的列表 Mathematica教程-常用的数学函数 表达式表达式 表达式的含义表达式的含义 Mathematica 能处理数学公式，表以及图形等 多多种数据形式。尽管他们从形式上看起来不 一样，但在Mathematica内部都被看成同种类 型，即都把他们当作表达式的形式。 Mathematica 中的表达式是由常量、变量、函 数、命令、运算符和括号等组成，最典型的形 式是fx,y Mathematica教程-常用的数学函数 表达式的表示形式表达式的表示形式 在显示表达式时

13、，由于需要的不同，有时我们需要表达 式的展开形式，有时又需要其因子乘积的形式。在我们 计算过程中可能得到很复杂的表达式，这时我们又需要 对它们进行化简。常用的处理这种情况的函数。 Expandexpr: 按幂次升高的顺序展开表达式 Factorexpr : 以因子乘积的形式表示表达式 Simplifyexpr: 进行最佳的代数运算，并给出表达式 的最少项形式 Apartexpr: 将多项式为化为部分分式之和将多项式为化为部分分式之和 Mathematica教程-常用的数学函数 表达式（x+y）4（x+y2） 展开： 还原上面的表达式为因子乘积的形式： Mathematica教程-常用的数学函数

14、 多项式表达式的项数较多，比较复杂，在显示时 显得比较杂乱，而且在计算过程中没有必要知道 全部的内容；或表达式的项很有规律，没有必要 打印全部的表达式的结果， Mathematica 提供了 一些命令，可将它缩短输出或不输出 expr/Short : 显示表达式的一行形式 Shortexpr,n: 显示表达式的n行形式,命令后加 一分号“；” 不打印结果 Mathematica教程-常用的数学函数 将表达式（1+x）30展开，并仅显示一行有代表 项的式子： Mathematica教程-常用的数学函数 “%”称ditto运算符，有重复以前内容的意思。 在计算过程中某次的计算可能要用到上次的计 算

15、结果,或者前几次的计算结果,就可用”%”符, 用法如下: 运算结果的读取-%运算符 %读取上一个运算结果 %读取上上一个运算结果 %.%(n个个)读取前第n个运算结果 %n或或Outn读取第n个运算结果 Mathematica教程-常用的数学函数 置换运算符置换运算符“/.”“/.” 代数式里的变量可以用某表达式替换，生成新的代数式里的变量可以用某表达式替换，生成新的 代数式。也可以把代数式里的所有的变量用数值替代数式。也可以把代数式里的所有的变量用数值替 换，得到此代数式的计算结果。替换的格式为：换，得到此代数式的计算结果。替换的格式为： expr/.x-x0expr/.x-x0：表示将表达

16、式里的变量：表示将表达式里的变量x x用用x0 x0代替。代替。 expr/.x-x0,y-y0expr/.x-x0,y-y0，：表示将代数式里的：表示将代数式里的 变量变量 x,yx,y用用x0,y0,x0,y0,代替。代替。 字符串字符串” /.”/.”由一个除号和一个圆点符号组成由一个除号和一个圆点符号组成 字符串字符串”-”-”由一个减号和一个大于符号连成由一个减号和一个大于符号连成 Mathematica教程-常用的数学函数 关系表达式与逻辑表达式关系表达式与逻辑表达式 关系表达式是最简单的逻辑表达式，我们常 用关系表达式表示一个判别条件。例如： x0,y=0。关系表达式的一般形式是

17、：表达式 关系算子表达式。其中表达式可为数字 表达式、字符表达式或意义更广泛的表达式， 如一个图形表达式等。在我们实际运用中， 这儿的表达式常常是数字表达式或字符表达 式。 Mathematica教程-常用的数学函数 关系运算 判断式说明 A=B等于 AB大于 A=B大于等于 AB小于 Ay Out2=false 下面是比较两个表达式的大小 In3:=32y+1 Out3=True Mathematica教程-常用的数学函数 逻辑运算 四种主要逻辑运算：逻辑非、逻辑与、逻辑或、逻 辑异或 !p非运算 P&q并运算 P|q或运算 Xore异或运算 Mathematica教程-常用的数学函数 常用

18、的符号常用的符号 (term) 圆括号用于组合运算 fx 方括号用于函数 花括号用于列表 i 双括号用于排序 % 代表最后产生的结果 % 倒数第二次的算结果 %（k） 倒数第k次的计算结果 %n 例出行Outn)的结果 Mathematica教程-常用的数学函数 多项式的表示形式多项式的表示形式 多项式的运算与表达式的运算基本一样， 表达式中的各种输出形式也可用于多项式 的输出。Mathematica提供一组按不同形 式表示代数式的函数。 Mathematica教程-常用的数学函数 Expandploy 按幂次展开多项式 ployExpandploy 全部展开多项式 ployExpandAll

19、ploy 全部展开多项式ploy Factorploy 对多项式poly 进行因式分解 FactorTermsploy，x,y, 按变量 x,y,进行分解 Simplifypoly 把多项式化为最简形式 FullSimplifyploy 把多项式展开并化简 Collectploy,x把多项式poly按x幂展开 Collectpoly,x,y 把多项式poly按x,y.的幂次展开 Mathematica教程-常用的数学函数 对x8-1 进行分解 Mathematica教程-常用的数学函数 展开多项式（1+x）5 Mathematica教程-常用的数学函数 化简（2+x）4(1+x)4(3+x)3

20、 Mathematica教程-常用的数学函数 多项式的代数运算 Mathematica教程-常用的数学函数 Mathematica教程-常用的数学函数 Mathematica教程-常用的数学函数 使用Cancel函数可以约去公因式 In8 := Cancel(2+3a+a2)/(1+a) Out8 = 2+a Mathematica教程-常用的数学函数 两个多项式相除，总能写成一个多项式和 一个有理式相加Mathematic中提供两个函 数PolynomialQuotient和 PolynomialRemainder分别返商式和余式。 Mathematica教程-常用的数学函数 两个多项式相除

21、，总能写成一个多项式和 一个有理式相加 Mathematic中提供两个函数 PolynomialQuotient和 PolynomialRemainder分别返回商式和余 式。 Mathematica教程-常用的数学函数 Mathematica教程-常用的数学函数 方程及其根的表示方程及其根的表示 Mathematica把方程看作逻辑语句。在数学 方程式表示为形如“x2-2x+1=0”的形式,在 Mathematica中用“=”表示逻辑等号，则 方程应表示为“x2-2x+1=0” 。方程的解 同原方程一样被看作是逻辑语句。例如用 Roots求方程x2-3x+2的根显示为 Mathematica

22、教程-常用的数学函数 用Solve 可得解集形式。 Mathematica教程-常用的数学函数 求解一元代数方程求解一元代数方程 Solvelhs=rhs,vars:给出方程的解集 NSolvelhs=rhs,vars:直接给出方程的数值解 集 Rootslhs=rhs,vars:求表达式的根 FindRootlhs=rhs,x,x0 以x=x0为初始值， 求方程的解 Mathematica教程-常用的数学函数 Mathematica教程-常用的数学函数 Mathematica教程-常用的数学函数 当方程中有一些复杂的函数时， Solve 可能无 法直接给出解来。此时可用FindRoot 来求解， 例如：求例如：求3Cosx=logx的解的解 Mathematica教程-常用的数学函数 如果方程有几个不同的解，当给定不同的 初始值时，会给出不同的解。如上例若求 x=10附近的,则 Mathematica教程-常用的数学函数 因此确定解的起始位置是比较关键，一种 常用的方法是，先绘制图形观察后再解 Mathematica教程-常用的数学函数 如上例通过图形可断定在x=5附近有另一根 Mathematica教程-常用的数学函数 求方程组的根求方程组的根 使用Solve和NSolve，FindRoot也可求方 程组的解 求解 Mathematica教程-常