lesson7(微分方程模型)

1、连续型模型 一、微分方程模型建模步骤 二、微分方程模型 三、案例分析 一、微分方程模型建模步骤 （1）建模步骤 （2）关于建模步骤的一个例子 （3）建立微分方程的其他方法 1、建模步骤(1) 1、翻译或转化： 在实际问题中许多表示导数的常用词，如 “速率”、增长”(在生物学以及人口问题研究中)， “衰变”(在放射性问题中)，以及“边际的”(在经 济学中)等 2、建立瞬时表达式： 根据自变量有微小改变t时，因变量的增 量W，建立起在时段t上的增量表达式，令 t 0，即得到 的表达式 dt dw 建模步骤(2) 3、配备物理单位： 在建模中应注意每一顷采用同样的物理单位 4、确定条件： 这些条件是

2、关于系统在某一特定时刻或边界 上的信息，它们独立于微分方程而成立，用以确 定有关的常数。为了完整充分地给出问题的数学 陈述，应将这些给定的条件和微分方程一起列出。 2、关于建模步骤的一个例子 例1：某人的食量是10467焦天，其中5038焦 天，用于基本的新陈代谢(即自动消耗)。在 健身训练中，他所消耗的热量大约是69焦 公斤.天乘以他的体重 (公斤)假设以脂肪形 式贮藏的热量100%地有效，而1公斤脂肪台 热量41868焦。试研究此人的体重随时间变 化的规律 3、例子分析 1、翻译或转化： 2、配备物理单位： 3、建立表达式： 4、确定条件： 1、“每天”：体重的变化输入一输出 其中输入指扣

3、除了基本新陈代谢之后的净重量 吸收；输出是进行健身训练时的消耗(WPE) 2、上述陈述更好的表示结构式： 体重的变化天=净吸收量天一WPE天 其中： 净吸收量天10467 5038 5429（焦天) 净输出量天69(焦公斤天)W(公斤 69W(焦天) 3、体重的变化天 (公斤天) t w dt dw t 0 3、例子分析 1、翻译或转化： 2、配备物理单位： 3、建立表达式： 4、确定条件： 有些量是用能量(焦)的形式给出的，而另外 一些量是用重量的形式(公斤)给出，考虑单位 的匹配，利用 单位匹配 3、例子分析 1、翻译或转化： 2、配备物理单位： 3、建立表达式： 4、确定条件： 建立表达

4、式 4、建立微分方程的其他方法 1、按变化规律直接列方程，如： 利用人们熟悉的力学、数学、物理、化学等 学科中的规律，如牛顿第二定律，放射性物质的 放射规律等。对某些实际问题直接列出微分方程 2、模拟近似法，如： 在生物、经济等学科中，许多现象所满足的 规律并不很清楚，而且现象也相当复杂，因而需 根据实际资料或大量的实验数据，提出各种假设， 在一定的假设下，给出实际现象所满足的规律， 然后利用适当的数学方法得出微分方程。 5、一个考古问题 （1）问题分析与模型的建立 1、 2、 （2）解 （3）一个事实 6、堂上问答 （1）问题分析 （2）模型建立 1、要注意体积： 2、模型： 3、解： 4、

5、流完的时间： 连续型模型 一、微分方程模型建模步骤 二、微分方程模型 三、案例分析 微分方程模型 一、几何问题 二、化学问题 一、几何问题 1、速降线问题 2、追线问题 1、速降线问题 历史背景 问题： 确定一个连接二定点A、B的曲线，使 质点在这曲线上用最短的时间由A滑至B点 (介质的摩擦力和阻力忽略不计)。 速降线问题实验 速降线是否连接A和B的直线段？X 牛顿的实验（1630年） 在铅垂平面内，取同样的两个球，其中一个 沿圆弧从A滑到B，另一个沿直线从A滑到B。发 现沿圆弧的球先到B。伽利赂也曾研究过这个问 题，他认为速阵线是圆弧线。 坐标系的建立 x y O 模型的建立 以s表示曲线从

6、A点算起到P(x，y)的弧长 几个表达式： （1）速度与路程的关系： （2）弧微分公式： （3）下降的时间： gy dt ds v2 dxyds 2/ )(1 gy dxy gy ds v ds dt 2 )(1 2 2/ 模型： 模型求解泛函的极值问题 (1) 函数f满足： (3) 函数化简： (4) 方程的解： 2、追线问题 我缉私舰雷达发现，距c海里处有一艘走私 船正以匀速度a沿直线行驶，缉私舰立即以最大 的速度b追赶，若用雷达进行跟踪，保持船的瞬 时速度方向始终指向走私船，试求缉私舰追逐 路线和追上的时间。 图示 (c,0) x D(x,y) R=(0,at) y 敌艇 几何关系 at

7、y dx dy x x aty tg dx dy 即 如何消去时间t? 1、求导： 2、速度与路程的关系： 3、分解 得： （这里有负号是因为s随x的减小而增大） 4、将第2、3步代入第1步，可得模型 dt ds b dx dt 追线模型： 模型的解： 解的进一步讨论 另一种方法： 作业： 用数值模拟法，用matlab编程，讨论 出现的各种情况，并作出追线曲线。另外， 假设敌艇也装有雷达系统，可随时改变逃 跑方向，问敌艇有逃脱的方案吗？ 二、化学问题 溶液混合问题： 设有一容器装有某种浓度的溶液，以流量v1 注入浓度为c1的同样溶液，假定溶液立即被搅 匀，并以v2的流量流出这种混合后的溶液，试

8、 建立容器中浓度与时间关系的数学模型。 模型的建立 参数设定：设容器中溶液溶质的质量为x(t)，原 来的初始质量为x0，t0时溶液的体 积为v0。 在t的时间间隔内，容器内溶质的改变量： 其中c1：输入溶液浓度， c2：t时刻溶液浓度 模型： 适用范围： 气体、液体、固体 1、油画真假辨别 历史背景： 二战后，荷兰保安机关开始嫂捕纳粹分子的合作者， 于1945年5月29月以通敌罪逮捕了一名三流画家H.A.Va- nmeegren，此人曾将17世纪荷兰著名画家Jan.Vermeer创 作的一批名贵油画盗卖给德国。 但H.A.Vanmeegren被捕后宣称自己从未出卖过荷兰 利益，所有油画均是自己

9、伪造的，这件事在当时轰动了 全世界，为了证明自己是一个高明的伪造者，他开始在 牢房里作画，当面快要完成时，他又得悉通敌罪可能会 改为伪造罪，为了逃避判决，他末将此画画完并拒绝 将画老化，以免留下罪证。 放射物质衰变原理： 记N(t)为t时刻存在的原于数，则dN/dt为单 位时间内蜕变的原子数，因此有： 其中是衰变系数 半衰期T：为给定数量的放射性原于蜕变一半 所需的时间。 如何通过来计算T？ 半衰期T的计算： 假设N(t0)N0，于是得初值问题： 解： )( 0 0 )( tt eNtN 两边取对数后：2lnln)( 0 0 N N tt 放射性测定年龄法： 如碳14，其T5568年； 铀一2

10、38，其T45亿年。 衰变史： 油画小知识：所有油画都含少量放射性元素铅 210以及更少量的镭226。 铅矿石金属铅 铅白 铅-210 半衰期：22年 镭-226 半衰期：1600年 化炼 铅-206 衰变 衰变 模型建立： 记y(t)为t时刻每克铅白所含Pb210的数量，y0 为制造时刻t0每克铅白所含铅一210的数量，r为 镭在每克铅白中镭-226在每分钟的蜕变量，是 铅-210的衰变常数，则油画中铅-210含量应满足： 解： 问题：y0既不能直接测量，计算也有困难 因为镭-226衰变为铅一210 鉴别油画的方法： 要区别17世纪的油画和现代膺品，可根据下 述简单事实：如果颜料的年头比起铅

11、的半哀期22 年长得多，那么颜料中铅-210的放射作用量就几 乎接近于颜料中镭的放射作用量，即两者每克铅 白中每分钟蜕变的原子数应非常接近。另一方面， 如果油画是现代作品(大约20年左右)，那么铅-210 的放射作用量就要比镭的放射作用量大得多。 因此，一般只要测得每克铅白中铅-210及镭 的衰变率就能判定。 是否现代膺品的判别 模型变形： 取t-t0=300年，可算出铅白中铅-210的蜕变 率y0会大得出奇，然后能分析发现原矿中含铀 量是否合理。 由于矿石中含铀量达23%已极罕见，而由 铅-210单位时间蜕变的原子数来计算矿石中含 铀量的方法也不难，只要铅白中铅-210每分钟 蜕变超过3万个

12、原子，就知矿石中含铀超过4%， 就判定出必为膺品。 鉴定结果： 油画名称铅-210蜕变 原子数（y） 镭226蜕变 原于数（r） y0 结果 在埃牟斯的门徒8.50.898050膺品 濯 足12.60.26157130膺品 看乐谱的女人10.30.3127340膺品 演奏曼陀琳的女人8.20.17102250膺品 花边织工1.51.41270真品 笑 女5.26.0-10180真品 取t-t0=300，铅-210的 =ln2/22 后两幅画不可能是伪制品，因为铅-210和镭-226非常接近于放射性 平衡，这种平衡在19世纪或20世纪油画的任何样品中都观察不到。 思考题1 1950年在巴比伦发掘

13、出一根刻有Hammurabi (汉摸拉比)王朝字样的木炭，经测定C14衰减数为 4.09个每克每分钟，新砍伐烧成的木炭中C14衰 减数为6.68个每克每分钟，已知C14的半衰期为 5568年，请推出该王朝约存在的年限。 连续型模型 一、微分方程模型建模步骤 二、微分方程模型 三、案例分析 案例1 一场降雪开始于午前的某个时刻，并持续 到下午，雪量稳定。某人从正午开始清扫某条 街的人行道，他的铲雪速度（以ft3/h度量）和 清扫面的宽度均不变。到下午2点他扫了两个街 区，到下午4点他扫了一个街区。请问：雪是从 什么时候开始下的？（可假设他没有回头清扫 落在已扫过的路面上的雪） 1 1 示示 意意

14、 图图 下雪速度：a(单位)3/小时.面积 铲雪速度：b(单位)3/小时 S(t)： 正午后t小时的铲雪位移 下雪时间：午前x0 已知量：S(0)=0，S(2)=2，S(4)=3 模 型 t到t+t时刻： （1）铲雪容量：b* t （2）忽略t下雪量，雪量减少容量： SxtaS tS xtatS )(* )(3 )(*)(3 0 0 （3）微分表达式：Sxtatb*)(* 0 （4）模型： 0 xt K dt ds cxtktS)ln()( 0 求解 3)4ln()4( 2)2ln()2( 0ln)0( 0 0 0 cxkS cxkS cxkS 解： 15 0 x 案例2 房屋管理部门想在房顶

15、的边缘 安装一个檐槽，其目的是为了雨天 出入方便。简单说来，从屋脊到屋檐的房顶可以看 成是一个12米长，6米宽的矩形平面，房顶与水平方向的 倾斜角度要视具体的房屋而定，一般说来，这个角度通常 在200500之间。 现在有一个公司想承接这项业务，他们允诺：提供一 种新型的可持久的檐槽，它包括一个横截面为半圆形(半径 为75厘米)的水槽和一个竖直的排水管(直径为10厘米)， 并且不管天气情况如何，这种檐槽都能排掉房顶的雨水 但是房管部门还在犹豫，考虑公司的承诺能否实现，于 是想请你用数学的方法给一个详细的分析，论证它这个方案 的可行性 思考题2 设某城市共有n+1人，其中一人出于某种目 的编造了一个谣言。该城市具有初中以上文化 程度的人占总人数的一半，这些人只有1/4相信 这一谣言，而其他人约有1/3会相信。又设凡相 信此谣言的人每人在单位时间内传播的平均人 数正比于当时尚未听说此谣言的人数，而不相 信此谣言的人不传播谣言。试建立一个反映谣 传情况的微分方程模型。 思考题3 汽车停车距离可分为两段：一段为发现情况到 开始制动这段时间里驶过的距离DT，这段时间为反 应时间；另一段则为制动时间驶过的距离DR，现考 核某司机，考核结果如下： 行驶速度 DT DR 36公里/小时 3米 45米 50公里/小时 5米 125米