chapter 8 静电场2014

1、1/57 1788年年 库仑库仑 1736-1806 法国法国 库仑定律库仑定律 电磁学简史电磁学简史 1860-1865年年 麦克斯韦麦克斯韦 1831-1879 英国英国 电磁波方程式电磁波方程式 电磁应用：爱迪生电磁应用：爱迪生 特特 斯拉斯拉 1820年年 奥斯特奥斯特 1777-1851 丹麦丹麦 电流产生磁力电流产生磁力 电磁相互关联电磁相互关联 1821年年 安培安培 1775-1836 法国法国 磁性的原因磁性的原因 分分 子电流假设子电流假设 1831年年 法拉第法拉第 1791-1867 英国英国 电磁感应电磁感应 第八章第八章 静静 电电 场场 8.1 电荷电荷 库仑定律

2、库仑定律 8.2 电场电场 电场强度电场强度 8.3 真空中的高斯定理真空中的高斯定理 8.4 电势电势 8.5 电势与电场强度的微分关系电势与电场强度的微分关系 3/57 8.18.1 电电 荷荷 库库 仑仑 定定 律律 一、电荷一、电荷 1、两种电荷、两种电荷 4/57 电荷守恒定律电荷守恒定律 ：在没有净电荷出入边界的系统中：在没有净电荷出入边界的系统中, 电荷的代数和保持不变电荷的代数和保持不变. 自然界的基本守恒定律自然界的基本守恒定律 之一之一 constant i Q 2) 电荷可以成对产生或湮灭，电荷可以成对产生或湮灭， 但但代数和代数和不变不变 -e +e -e +e 2、电

3、荷守恒定律、电荷守恒定律 5/57 1906-1917 1906-1917年，密立根用液滴法首先从实验上证明年，密立根用液滴法首先从实验上证明 了，微小粒子带电量的变化不连续。了，微小粒子带电量的变化不连续。 基本电荷量基本电荷量 19 1.602 10Ce 物体带电量物体带电量NeQ 当物体带电量较多时，如宏观带电体，电量可以当物体带电量较多时，如宏观带电体，电量可以 按连续量处理。按连续量处理。 + - - 氢氢 分分 子子 + - - 氦氦 原原 子子 3、电荷量子化、电荷量子化 4、电荷的相对论不变性、电荷的相对论不变性 6/57 1、点电荷模型、点电荷模型 二、库仑定律二、库仑定律

4、针对讨论的问题，当带电体的大小和形状可以忽略时针对讨论的问题，当带电体的大小和形状可以忽略时,可可 把电荷看成是一个带电的点，称为点电荷。把电荷看成是一个带电的点，称为点电荷。相对性概念相对性概念 2 2、库仑定律、库仑定律 CoulombCoulomb 在真空中在真空中, 两个静止点电荷之间的相互作用力的大小与它两个静止点电荷之间的相互作用力的大小与它 们的电量们的电量q1和和q2的乘积成正比的乘积成正比, 与它们之间的距离的平方成反与它们之间的距离的平方成反 比比, 作用力的方向沿着它们的连线作用力的方向沿着它们的连线, 同号电荷相斥同号电荷相斥, 异号电荷异号电荷 相吸相吸. 21 2

5、21 21 21 e r qq kF 12 F 21 F 21 r q1q2 21 e 9 0 1 9 10 4 k )m(NC 22 12 0 108541878178. 真空电容率真空电容率 (真空介电常数真空介电常数) 7/57 1）富兰克林，普提斯特利，库仑，卡文迪什）富兰克林，普提斯特利，库仑，卡文迪什 21 2 21 21 0 21 4 1 e r qq F 2）库仑定律遵守牛顿第三定律）库仑定律遵守牛顿第三定律 3) 是基本实验定律，宏观微观皆适用是基本实验定律，宏观微观皆适用 10-17-107 m 4) 应用时注意点电荷模型应用时注意点电荷模型 电学基础：两种电荷；同性相斥，

6、异性相吸；电学基础：两种电荷；同性相斥，异性相吸； 库仑定律库仑定律 12 F 21 F 21 r q1q2 21 e 8/57 k qqqq , 210 i k i i i k i i r r qq FF 0 1 2 0 0 0 1 00 4 1 作用在作用在 q0 上的总静电力上的总静电力 点电荷系点电荷系 静电力叠加原理静电力叠加原理 1 q 2 q 3 q 0 q 1 r 1 F 2 r 3 r 2 F 3 F 3 3、静电力叠加原理、静电力叠加原理 4 4、连续带电体对点电荷的静电力、连续带电体对点电荷的静电力 dF dq r dV Q q0 0 2 0 d1 d 4 r qq Fe

7、 r 连续带电体看成是点电荷的集合连续带电体看成是点电荷的集合 0 2 0VV d1 dF 4 r qq Fe r ddqV ddqs ddql 9/57 8.28.2 电电 场场 电电 场场 强强 度度 一、电场一、电场 1 1、背景、背景 问题问题 方案方案 超距作用超距作用 场作用场作用 实验证实两静止电荷间存在相互作用力，实验证实两静止电荷间存在相互作用力， 但其相互作用是怎样实现的？但其相互作用是怎样实现的？ 10/57 2 2、电场概念、电场概念 电荷周围空间具有特殊形态和物理性质的物质称为电场，电荷周围空间具有特殊形态和物理性质的物质称为电场， 相对观察者静止的电荷所产生的电场，

8、为相对观察者静止的电荷所产生的电场，为静电场静电场。 近代物理证明：电场是一种物质。它具有能量、近代物理证明：电场是一种物质。它具有能量、 动量、动量、 质量。场与实物粒子的不同在于：质量。场与实物粒子的不同在于： 场具有可入性；场具有可入性； 场具有叠加性。场具有叠加性。 物质：物质： 实物粒子（电子、中子、质子实物粒子（电子、中子、质子.) 实物粒子组成的物体实物粒子组成的物体 场场 电场中的电荷要受到电场力的作用电场中的电荷要受到电场力的作用;A 电场力可移动电荷作功电场力可移动电荷作功.B 电场对外表现电场对外表现 11/57 二、电场强度二、电场强度 描述场中各点电场的强弱的物理量描

9、述场中各点电场的强弱的物理量- 电场强度电场强度 电场强度电场强度 0 F E q 试探电荷的电量和试探电荷的电量和 线度足够小线度足够小 1 1、电场强度的定义、电场强度的定义 定义定义：电场中某点的电场强度为一矢量，其大小等于电场中某点的电场强度为一矢量，其大小等于单位单位 正电荷正电荷在该点所受电场力的大小，方向为试探正电荷在该点在该点所受电场力的大小，方向为试探正电荷在该点 所受力的方向。所受力的方向。 Q 0 q F ：场源电荷：场源电荷Q 0 q：试探电荷：试探电荷 说明说明 v 电场强度是静电场中位置的矢量函数电场强度是静电场中位置的矢量函数; v 电场中某点的电场强度在数值和方

10、向上等于单位电场中某点的电场强度在数值和方向上等于单位正正电荷在电荷在 该点受到的力该点受到的力; v 单位单位 11 N C OR V m EqF v 电荷电荷q q 在电场中受力在电场中受力 ( ):( ),( ),( ) xyz E rE r E r E r 12/57 1 q 2 q 3 q 0 q 1 r 1 F 2 r 3 r 2 F 3 F 试探电荷放入点电荷系产生场中试探电荷放入点电荷系产生场中 0 q由力的叠加原理得由力的叠加原理得 所受合力所受合力 i i FF i i q F q F E 00 i i EE 2 2、电场强度的叠加原理、电场强度的叠加原理 电场叠加原理电场

11、叠加原理 三、电荷电场的计算三、电荷电场的计算 Q 0 q r E r Q 0 q E 库仑定律库仑定律+ +场强定义场强定义 0 2 0 4 Qq Fr r 0 F E q S E Q r r 4 0 2 2 0 d 4 Q q Er r dE dq r dV Q P 13/57 例例 1. 均匀带电直线周围电场分布均匀带电直线周围电场分布. 电荷的线密度为电荷的线密度为 ， 2 0 d d 4 p q Er r 2 0 d dsin 4 px q E r 2 0 d dcos 4 py q E r 2 0 d dsin 4 xpx Q q EE r 2 1 12 00 sind(cosco

12、s) 44aa ctgya 2 d d sin a y 2 2 2 sin a r ddqy y x d px E d p E a d py E dq 2 1 p r o 14/57 2 1 0 cos d 4a 22 , tg y pxy x E EEE E 1) p在带电直线的中垂线上在带电直线的中垂线上 ,0 y E只剩下只剩下. x E 2) 带电直线长为带电直线长为 时时 ,0 y E a E x 0 2 ),cos(cos 4 21 0 a Ex )sin(sin 4 12 0 a 2 0 d dcos 4 ypy Q q EE r y xd px E d p E a d py E

13、 dq 2 1 p r o . 15/57 例例2. 电荷电荷 +q 均匀分布在半径为均匀分布在半径为 a 的细圆环上，的细圆环上， 求圆环轴线上任一点求圆环轴线上任一点 p 的场强。的场强。 O dq x p / dE dE r a dE 解：解： 在细圆环上取一电荷元在细圆环上取一电荷元dq, 其在其在 p 点产生的场强为点产生的场强为 2 0 d d 4 q E r / ddcosEE /2 0 d d 4 q qx EE rr 22 00 dd cos 44 qqx rrr 33 00 d 44 q xxq q rr 2 3 22 0 )(4ax qx E 16/57 例例 3. 均匀

14、带电圆面，半径为均匀带电圆面，半径为 R ，电荷面密度为，电荷面密度为 , 求圆面轴线上任一点求圆面轴线上任一点 P 的电场强度。的电场强度。 解：将圆面看成由一系列半径不同的同心圆环组成。解：将圆面看成由一系列半径不同的同心圆环组成。 取一半径为取一半径为 r ,宽度为宽度为 dr 的细圆环，此圆环在的细圆环，此圆环在 P 点点 的场强大小为的场强大小为 3 22 2 0 d d 4() q x E rx 3 0 22 2 0 d d 2 () R xr r EE rx O xP R x 2 1 22 0)( 1 2 xR x 3 22 2 0 2d 4() r r x rx 时，当Rx ;

15、 2 0 E时，当Rx 2 0 4 q E x 17/57 8.38.3 真真 空空 中中 的的 高高 斯斯 定定 理理 一、电场线一、电场线 规定规定 1. 1.曲线上每一点切线方向为该点电场方向曲线上每一点切线方向为该点电场方向, , 2. 2.通过垂直于电场方向单位面积电场线数通过垂直于电场方向单位面积电场线数 为该点电场的大小。电场线的疏密程度反映电为该点电场的大小。电场线的疏密程度反映电 场大小。场大小。 p S N pE )( 18/57 电场线的特点电场线的特点： 1）起于正电荷（或）起于正电荷（或“ ” 远），止于负电荷远），止于负电荷 （或（或“ ”远）。远）。 2）任何两条

16、电力线不能）任何两条电力线不能 相交。相交。 3）电力线越密的地方，）电力线越密的地方， 场强越大；电力线越场强越大；电力线越 疏疏 的地方，场强越小。的地方，场强越小。 电场线的作用电场线的作用： 说明场强的方向；说明场强的方向； 说明电场的强弱；说明电场的强弱； 说明电场的整体分布。说明电场的整体分布。 19/57 二、电通量二、电通量电场强度通量电场强度通量 通过电场中某一个面的电场线数叫做通过通过电场中某一个面的电场线数叫做通过 这个面的这个面的电场强度通量电场强度通量. . e dcosd SS ESES 规定闭合曲面法线方向向外为正规定闭合曲面法线方向向外为正！ 即如电场线从闭合曲

17、面内向外穿出，即如电场线从闭合曲面内向外穿出， 则电通量为正；反之，电通量为负则电通量为正；反之，电通量为负. 规定规定 d0,ES d0,ES 电力线穿出电力线穿出 电力线穿入电力线穿入 E S d E S 20/57 三、高斯定律的描三、高斯定律的描 述述 在真空中在真空中, ,通过任一闭合曲面的电场强度通量通过任一闭合曲面的电场强度通量, , 等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以 . . 0 （与面外电荷无关，闭合曲面称为高斯面）（与面外电荷无关，闭合曲面称为高斯面） n i i S qSE 1 0 e 1 d 思考思考 1 1、高斯定理的表述、高

18、斯定理的表述 1 1）高斯面上的）高斯面上的 与那些电荷有关与那些电荷有关 ？ E s 2 2）哪些电荷对闭合曲面）哪些电荷对闭合曲面 的的 有贡献有贡献 ？ e S d E 1 q i q 2 q s 21/57 + S d 点电荷位于球面中心点电荷位于球面中心 2 0 4r q E SS S r q SEd d e 2 0 4 0 q e r 高斯定理的导出高斯定理的导出 高斯高斯 定理定理 库仑定律库仑定律 电场强度叠加原理电场强度叠加原理 点电荷在任意封闭曲面内点电荷在任意封闭曲面内 电场线在无电荷处连续电场线在无电荷处连续 通过通过S和和S的电场线数量相同的电场线数量相同 S e q

19、 SdE 0 S S+ 2 2、高斯定理的导出、高斯定理的导出 22/57 点电荷在封闭曲面之外点电荷在封闭曲面之外 0dd 111 SE 0dd 222 SE 0dd 21 0d S SE q 2 dS 2 E 1 dS 1 E 由多个点电荷产生的电场由多个点电荷产生的电场 S d E 1 q i q 2 q s 21 EEE S i i S SESE dd e （外）内） dd i S i i S i SESE ( 23/57 n i i S qSE 1 0 e 1 d 高斯定理高斯定理 总结：总结： 2 2）高斯面为封闭曲面）高斯面为封闭曲面. . 5 5）静电场是）静电场是有源场有源场

20、. . 3 3）穿进高斯面的电场强度通量为负，穿出为正）穿进高斯面的电场强度通量为负，穿出为正. . 1 1）高斯面上电场强度为）高斯面上电场强度为所有所有内外电荷的总电场强度内外电荷的总电场强度. . 4 4）仅高斯面）仅高斯面内内的电荷对高斯面电场强度的电荷对高斯面电场强度通量通量有贡献有贡献. . 内）（内） e d (i i i S i qSE 0 1 dd, sV ESEV 可得可得 : e E 0 1 根据奥根据奥 高公式高公式 E 称称 E 的散度的散度 ijk xyz 24/57 1 S 2 S 3 S q q 0 1e 1 d q SE S 0 2e 0 3e q 在点电荷在

21、点电荷 和和 的静电场中，做如下的三的静电场中，做如下的三 个闭合面个闭合面 求通过各闭合面的电通量求通过各闭合面的电通量 . ., 321 SSS qq 讨论讨论 将将 从从 移到移到 2 q AB e P s 点点 电场强度是否变化？电场强度是否变化？ 穿过高斯面穿过高斯面 的的 有变化？有变化？ 1 q 2 q 2 q A B s P 3 3、讨论、讨论 25/57 四、应用高斯定律求静电场的分布四、应用高斯定律求静电场的分布 用高斯定理求解的静电场必须具有一定的对称性。用高斯定理求解的静电场必须具有一定的对称性。 n i i S qSE 1 0 e 1 d 其步骤为其步骤为 对称性分析

22、；对称性分析； 根据对称性选择合适的高斯面；根据对称性选择合适的高斯面； 应用高斯定理计算应用高斯定理计算. . 26/57 例例4 4 均匀带电球壳的电场强度均匀带电球壳的电场强度 0d 1 S SE 0E 0 2 d Q SE S 2 0 4r Q E 0 2 4 Q Er + + + + + + + + + + + O R r 1 S r 2 s 一半径为一半径为 , 均匀带电均匀带电 的薄的薄 球壳球壳 . 求球壳内外任意点电场强求球壳内外任意点电场强 度度. R Q 2 0 4R Q rR o E 解（解（1） Rr 0 Rr（2） 27/57 讨论：带电球体讨论：带电球体 3 00

23、 3 3 4 3 3 4 4 1 1R rQ EQ R r SE S d 0 2 d Q SE S 2 0 4r Q E 0 2 4 Q Er 一半径为一半径为 , 均匀带电均匀带电 的球的球 体体 . 求球体内外任意点电场强求球体内外任意点电场强 度度. R Q 解（解（1 1） Rr 0 Rr（2 2） 2 0 4R Q rR o E + + + + + + + + + + + O R r 1 S r 2 s 28/57 例例5 5 无限长均匀带电直线的电场强度无限长均匀带电直线的电场强度 下底）上底）柱面）( dd d sss SESESE 选取闭合的柱型高斯面选取闭合的柱型高斯面 无限

24、长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即 电荷线密度为电荷线密度为 ，求距直线为，求距直线为 处的电场强度处的电场强度. . r 对称性分析对称性分析：轴对称：轴对称解解 S SE d 柱面）( d s SE + + + + + o x y z h n e n e n e E + r 0 h 0 2 h rhE r E 0 2 29/57 例例6 无限大均匀带电平板的电场强度无限大均匀带电平板的电场强度 无限大均匀带电平板，单位面积上的电荷，即电无限大均匀带电平板，单位面积上的电荷，即电 荷面密度为荷面密度为 ，求距平面为，求距平面为 处的电场强度处的电场强

25、度. .r 选取闭合的柱型高斯面选取闭合的柱型高斯面 0 2E 对称性分析：对称性分析： 垂直平面垂直平面 E 解解 0 d S SE S 底面积底面积 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

26、 + + + + + + + + S E E S S S2 0 S E 30/57 0 2 E E E E E x E O )0( 31/57 0 0 0 0 00 讨讨 论论 无无 限限 大大 带带 电电 平平 板板 的的 电电 场场 叠叠 加加 问问 题题 32/57 8.48.4 电电 势势 一、静电场力做功的特点一、静电场力做功的特点 q 0 q r 0 ddAq Er 0 3 0 d 4 qq rr r ddrrrr r r qq Ad d 2 0 0 4 B A r r r rqq A 2 0 0 4 d dr rd A r A B r B E )( BA rr qq11 4 0

27、0 结论结论: : 仅与仅与 的始末的始末 位置有关，与路径无关位置有关，与路径无关. . 0 q A 1 1、点电荷电场做功、点电荷电场做功 33/57 2、任意电荷的电场（视为点电荷的组合）任意电荷的电场（视为点电荷的组合） i i EE 0 d l AqEr l i i lEq d 0 静电场力做功与路径无关，静电力是保守力静电场力做功与路径无关，静电力是保守力. .结论结论 二、静电场的环路定理二、静电场的环路定理 在在静电场静电场中中, 场强沿任意闭合路径的线积分恒等于零。场强沿任意闭合路径的线积分恒等于零。- -静电场的环路定理静电场的环路定理 取闭合路径取闭合路径 L , 分成分

28、成1 , 2 两段两段 E 1 2A B BABA lEqlEq 2 0 1 0 dd 0 21 0 )( ABBA lElEq dd 0 l lE d静电场是保守场静电场是保守场 34/57 环路定理的微分形式：环路定理的微分形式： d() d ls ElEs 0 E 说明静电场是无旋场说明静电场是无旋场 根据矢量的斯托克斯公式根据矢量的斯托克斯公式 Stokes formula e E 0 1 总之总之: 静电场是有源无旋保守场静电场是有源无旋保守场 0 l lE d 35/57 三、电势能三、电势能 0 d ABAB AB Aq ElUUU 电势能的电势能的大小大小是是相对相对的，电势能

29、的的，电势能的差差是是绝对绝对的的. 令令 0 B U 零势势能 d A A lEqU 0 实验电荷实验电荷 在电场中某点的在电场中某点的电势能电势能，在数值上，在数值上 等于把它从该点移到零势能处静电场力所作的功等于把它从该点移到零势能处静电场力所作的功. . 0 q 静电场是静电场是保守场保守场，静电场力是，静电场力是保守力保守力。静电场。静电场 力所做的功就等于电荷力所做的功就等于电荷电势能增量的负值电势能增量的负值。 36/57 E 0 q A B 零势势能 d A A lEqU 0 定义电势为定义电势为: 零势势能 d A A lE 静电场中某点的电势等于单位正电荷在该点具静电场中某

30、点的电势等于单位正电荷在该点具 有的电势能，或将单位正电荷由该点沿任意路径有的电势能，或将单位正电荷由该点沿任意路径 移到零电势点电场力所做的功。移到零电势点电场力所做的功。 A , B 两点的电势差两点的电势差 B d A BAAB lE 静电场中静电场中A,B 两点的电势差等于将单位正电荷两点的电势差等于将单位正电荷 沿任意路径由沿任意路径由A移动到移动到 B 处电场力所做的功。处电场力所做的功。 四、电势和电势差四、电势和电势差 37/57 零势势能 d A A lE B d A BAAB lE 说明说明 1.电势和电势差的单位：伏特电势和电势差的单位：伏特(V)=J/C ! 电子伏特电

31、子伏特(eV)是能量单位是能量单位 ABAB qA 0 静电场力的功静电场力的功 JVCeV 1919 106110611 . 2.2.电势零点选择方法：有限带电体以无穷远电势零点选择方法：有限带电体以无穷远 为电势零点，实际问题中常选择地球电势为零为电势零点，实际问题中常选择地球电势为零. . 3.3.电势差是绝对的，电势是相对的电势差是绝对的，电势是相对的. . B A A lE B d 38/57 五、电势的计算五、电势的计算 r r q E 3 0 4 令令 0 d r El 0 4 q r r r rqr 3 0 4 d 真空中点电荷的电场真空中点电荷的电场 1 1、点电荷的电势、点

32、电荷的电势 2 2、点电荷系的电势、点电荷系的电势 1 q 2 q 3 q A 1 r 1 E 2 r 3 r 2 E 3 E 真空中点电荷系真空中点电荷系 i i EE A A lE d lE i A i d d r Er i i i i AiA r q 0 4 电势叠加原理电势叠加原理 r q 0 4 d 推广：推广：连续电荷连续电荷 39/57 r q P 0 4 d 利用利用 （利用了点电荷电势（利用了点电荷电势 ， 这一结果已选无限远处为电势零点，即使这一结果已选无限远处为电势零点，即使 用此公式的前提条件为用此公式的前提条件为有限大有限大带电体且选带电体且选 无限远处无限远处为电势

33、零点为电势零点. .） rq 0 4/ 若已知在积分路径上若已知在积分路径上 的函数表达式，的函数表达式， 则则 E lE A A d 点 0 例一例一 例二例二 例三例三 3 3、电势的计算、电势的计算 40/57 R lq r P 2 d 4 1 d 0 r q R lq r P 00 4 2 d 4 1 22 0 4Rx q + + + + + + + + + + + + + + R r 例例1 正电荷正电荷 均匀分布在半径为均匀分布在半径为 的细圆环上的细圆环上. 求圆环轴线上距环心为求圆环轴线上距环心为 处点处点 的电势的电势. q R xP ld x P R lq lq 2 d d

34、d o y z x 41/57 R q x 0 0 4 ，0 x q Rx P 0 4 ， 22 0 4Rx q P 讨讨 论论 均匀带电薄圆盘轴线上的电势均匀带电薄圆盘轴线上的电势 R q 0 4 xo 42/57 R o x )xRx 2 0 2 ( 2 22 rx x P rrqd 2d r rd R P rx rr 022 0 2 4 1d Rx x R xRx 2 2 2 1 2xq 0 4 （点电荷电势）（点电荷电势） 22 0 4 1 rx dq d P 43/57 例例2 2 均匀带电球面的电势均匀带电球面的电势. . 真空中，有一带电为真空中，有一带电为 ，半径为，半径为 的带电球面的带电球面.QR 试求其电势分布试求其电势分布. 解：解： r e r q ERr 2 0 2 4 ， 0 1 ERr ， r R 2 d P r Er 2 0 d 4 Qr r r 0 1 4 Q r + + + + + + + + + + + Q R r o r e r d AB A r r B r 44/57 r Q r 0 4 外 )( R Q r 0 4