数学建模第二章

1、数学建模第二章 数学建模 z y x z yx 数学建模第二章 我们常见 的模型 玩具、照片. -实物模型 地图、电路图. -符号模型 风洞中的飞机. -物理模型 模型是为了一定的目的，对客观事物的一部分进行简缩、 抽象、提炼出来的原型的替代物。 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。 数学建模第二章 用数学语言对实物或实际问题所作的抽象表 达，被称之为数学模型。数学模型。 1、数学语言及其功能 1）简明性： 2）可运算性： 3）广泛性： 2. 数学模型 能以较小的篇幅容纳更多的研究对象的信息。 能用需要的数学方法作运算或推理处理。 同一种数学表达能表现很多类现象或现象的 内部关系。 数

2、学建模第二章 1、数学建模含义 2. 数学建模的重心 实际问题数学模型模型求解实际问题 数学建模是指从实际问题出发经数学方法的处理再 回到实际问题的若干次循环。这是一个双向翻译过程。 数学建模的重心是“建”，建好了模型才能为数学处 理打好基础。 实际问题的专业知识；广博的数学理论；熟练使用 数学计算软件并具有一定的计算机编程能力。 3.数学建模工作者的知识结构 数学建模第二章 问题1：杀羊方案 现有26只羊，要求7天杀完且每天必须杀奇数只， 问各天分别杀几只？ 天杀 分析： 1). 这是一个有限问题，解决此类问题的一 类方法是枚举，你可以试试。 则所提问题变为在自然数集上求解方程 7 1 26

3、)12( i i k 于是，我们有了该问题的数学语言表达数学模型 求解： 建模： 用反证法容易证明本问题的解不存在。 2). 依题意，设第i )( 12为自然数 ii kk 只， 数学建模第二章 问题问题2 2：哥尼斯堡七桥问题：哥尼斯堡七桥问题 数学建模第二章 数学建模第二章 数学建模第二章 数学建模第二章 问题分析 模型评价 模型应用 模型求解 建立模型 符号设定 模型假设 YN 模型检验 数学建模流程图解 数学建模第二章 练习题：考察想象力、洞察力和判断力练习题：考察想象力、洞察力和判断力 1. 某甲早8时从山下旅店出发沿一条路径上山， 下午5时到达山顶并留宿；次日早8时沿同一条路 径下

4、山，下午5时回到旅店。某乙说，甲必在两天 中的同一时刻经过路径中的同一地点。为什么？ AB 甲 甲 数学建模第二章 2. 37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的 每两支球队中的胜者及轮空者进入下一轮，直 至比赛结束。问共需进行多少场比赛？ 3611259181 2 2 2 4 2 10 2 18 2 36 一般思维： 逆向思维： 每场比赛淘汰一名失败球队，只有一名冠军，即 就是淘汰了36名球队，因此比赛进行了36场。 数学建模第二章 3. 某人家住T市在他乡工作，每天下班后乘火车 于6:00抵达T市车站，他的妻子驾车准时到车站 接他回家。一日他提前下班搭早一班火车于5:30 抵达T市车站，

5、随即步行回家，他的妻子像往常一 样驾车前来，在半路上遇到他接回家时，发现比 往常提前了10分钟。问他步行了多长时间？ 车 站 家 5：30 相遇 早10钟 5分钟 5分钟 6：00 5：55 共走了25分钟。 数学建模第二章 4. 某人由A处到B处去，途中需到河边取些水，如 下图。问走那条路最近？（用尽可能简单的办 法求解。） d A B 河 数学建模第二章 初等模型初等模型 1 汽车刹车距离汽车刹车距离 2 划艇比赛的成绩划艇比赛的成绩 3 钓鱼比赛钓鱼比赛 4 席位分配席位分配 数学建模第二章 汽车刹车距离汽车刹车距离 美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：美国的某些司机培训课程中的驾驶规则

6、： 背背 景景 与与 问问 题题 正常驾驶条件下正常驾驶条件下, 车速每增车速每增10英里英里/小时，小时， 后面与前车的距离应增一个车身的长度。后面与前车的距离应增一个车身的长度。 实现这个规则的简便办法是实现这个规则的简便办法是 “2秒准则秒准则” ： 后车司机从前车经过某一标志开始默数后车司机从前车经过某一标志开始默数 2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何秒钟后到达同一标志，而不管车速如何 判断判断 “2秒准则秒准则” 与与 “车身车身”规则是否一规则是否一 样；样； 建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。 数学建模第二章 问问 题题 分分 析析 常识：刹车

7、距离与车速有关常识：刹车距离与车速有关 10英里英里/小时小时( 16公里公里/小时小时)车速下车速下2秒钟行驶秒钟行驶29英英 尺尺( 9米米) 车身的平均长度车身的平均长度15英尺英尺(=4.6米米) “2秒准则秒准则”与与“10英里英里/小时加一车身小时加一车身”规则不同规则不同 刹刹 车车 距距 离离 反应时间反应时间 制动器作用力、车重、车速、道路、气候制动器作用力、车重、车速、道路、气候 最大制动力与车质量成正比，最大制动力与车质量成正比， 使汽车作匀减速运动。使汽车作匀减速运动。 车速车速 常数常数 反反 应应 距距 离离 制制 动动 距距 离离 司机司机 状况状况 制动系统制动

8、系统 灵活性灵活性 常数常数 数学建模第二章 假假 设设 与与 建建 模模 1. 刹车距离刹车距离 d 等于反应距离等于反应距离 d1 与制动距离与制动距离 d2 之和之和 2. 反应距离反应距离 d1与车速与车速 v成正比成正比 3. 刹车时使用最大制动力刹车时使用最大制动力F， F作功等于汽车动能的改变作功等于汽车动能的改变; vtd 11 F d2= m v2/2F m 2 1 kvvtd t1为反应时间为反应时间 21 ddd 且且F与车的质量与车的质量m成正比成正比 2 2 kvd 数学建模第二章 反应时间反应时间 t1的经验估计值为的经验估计值为0.75秒秒 参数估计参数估计 利用

9、交通部门提供的一组实际数据拟合利用交通部门提供的一组实际数据拟合 k 2 1 kvvtd模模 型型 最小二乘法最小二乘法 k=0.06计算刹车距离、刹车时间计算刹车距离、刹车时间 车速车速 (英里英里/小时小时) (英尺英尺/秒秒) 实际刹车距离实际刹车距离 （英尺）（英尺） 计算刹车距离计算刹车距离 （英尺）（英尺） 刹车时间刹车时间 （秒）（秒） 2029.342（44）39.01.5 3044.073.5（78）76.61.8 4058.7116（124）126.22.1 5073.3173（186）187.82.5 6088.0248（268）261.43.0 70102.7343（3

10、72）347.13.6 80117.3464（506）444.84.3 数学建模第二章 “2秒准则秒准则”应修正为应修正为 “t 秒准秒准 则则” 22 1 06.075.0vvkvvtd 模模 型型 车速车速 (英里英里/小时小时) 刹车时间刹车时间 （秒）（秒） 201.5 301.8 402.1 502.5 603.0 703.6 804.3 车速（英里车速（英里/小时）小时）010104040606080 t（秒）（秒）1234 数学建模第二章 利用比例性、几何相似性进行建模利用比例性、几何相似性进行建模 几何相似性是一个与比例性有关的概念而且有助于数学建几何相似性是一个与比例性有关的

11、概念而且有助于数学建 模的过程模的过程. . 比例性比例性: :两个变量两个变量 和和 是是( (互成互成) )比例的比例的, ,如果一个变量总是如果一个变量总是 另一个变量的常数倍另一个变量的常数倍, ,即即, ,如果对某个非零常数如果对某个非零常数k, k, 我们记我们记 为为 几何相似性几何相似性: :如果两个物体之间存在一个一一对应如果两个物体之间存在一个一一对应, ,使得对应点使得对应点 之间的距离之比对所有可能的点对都不变之间的距离之比对所有可能的点对都不变( (等于同一个常数等于同一个常数),), 则称这两个物体是几何相似的则称这两个物体是几何相似的. . 注注: :几何相似性和

12、比例性是建模过程中非常强有力的简化工具几何相似性和比例性是建模过程中非常强有力的简化工具 yx kxy xy 数学建模第二章 划艇比赛的成绩划艇比赛的成绩 赛艇赛艇 2000米成绩米成绩 t (分分) 种类种类 1 2 3 4 平均平均 单人单人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21 双人双人 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88 四人四人 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32 八人八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84 艇长艇长l 艇宽艇宽b (米米) (米米) l/b 7.93 0.293 27.0 9.76 0.356 27.4 11.

13、75 0.574 21.0 18.28 0.610 30.0 空艇重空艇重w0(kg) 浆手数浆手数n 16.3 13.6 18.1 14.7 对四种赛艇（对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠次国际大赛冠 军的成绩进行比较，发现与浆手数有某种关系。试建立军的成绩进行比较，发现与浆手数有某种关系。试建立 数学模型揭示这种关系。数学模型揭示这种关系。 问问 题题 准准 备备 调查赛艇的尺寸和重量调查赛艇的尺寸和重量l /b, w0/n 基本不变基本不变 数学建模第二章 问题分析问题分析 前进阻力前进阻力 浸没部分与水的摩擦力浸没部分与水的摩擦力 前进动力前进动

14、力 浆手的划浆功率浆手的划浆功率 分析赛艇速度与浆手数量之间的关系分析赛艇速度与浆手数量之间的关系 赛艇速度由前进动力和前进阻力决定赛艇速度由前进动力和前进阻力决定 划浆划浆 功率功率 赛艇赛艇 速度速度 赛艇赛艇 速度速度 前进前进 动力动力 前进前进 阻力阻力 浆手浆手 数量数量 艇艇 重重 浸没浸没 面积面积 对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定 运用合适的物理定律建立模型运用合适的物理定律建立模型 数学建模第二章 模型假设模型假设 1）艇形状相同）艇形状相同(l/b为常数为常数), w0与与n成正比成正比 2）v是常数，阻力是常数，阻

15、力 f与与 sv2成正比成正比 符号：艇速符号：艇速 v, 浸没面积浸没面积 s, 浸没体积浸没体积 A, 空艇重空艇重 w0, 阻力阻力 f, 浆手数浆手数 n, 浆手功率浆手功率 p, 浆手体重浆手体重 w, 艇重艇重 W 艇的静态特性艇的静态特性 艇的动态特性艇的动态特性 3）w相同，相同，p不变，不变，p与与w成正比成正比浆手的特征浆手的特征 模型模型 建立建立 f sv2 p wv (n/s)1/3 s1/2 A1/3 A W(=w0+nw) n s n2/3 v n1/9 比赛成绩比赛成绩 t n 1/9 np fv 数学建模第二章 模型检验模型检验 n t 1 7.21 2 6.

16、88 4 6.32 8 5.84 b ant 11. 0 21. 7 nt nbatloglog 最小二乘法最小二乘法 利用利用4次国际大赛冠军的平均次国际大赛冠军的平均 成绩对模型成绩对模型 t n 1/ 9 进行检验进行检验 t n 1248 7.21 6.88 6.32 5.84 与模型符合！与模型符合！ 数学建模第二章 钓鱼比赛钓鱼比赛 问题问题: 出于保护的目的出于保护的目的,垂钓俱乐部想鼓励其他会员在钓垂钓俱乐部想鼓励其他会员在钓 到鱼后马上把它们放生到鱼后马上把它们放生.该俱乐部还希望根据钓到鱼的该俱乐部还希望根据钓到鱼的 总重量来给予以下奖励总重量来给予以下奖励:100磅俱乐部

17、的荣誉会员磅俱乐部的荣誉会员,大奖赛大奖赛 期间的钓鱼总重量的冠军期间的钓鱼总重量的冠军,等等等等.垂钓者怎么确定所钓到垂钓者怎么确定所钓到 的鱼的重量的鱼的重量.你可能会建议每位垂钓者带一个便挟秤你可能会建议每位垂钓者带一个便挟秤,但但 是这样的秤用起来不方便是这样的秤用起来不方便,特别是对小鱼也并不准确特别是对小鱼也并不准确. 问题分析问题分析:根据某一个容易测量的量来预测鱼的重量根据某一个容易测量的量来预测鱼的重量 影响因素影响因素:鱼的种类鱼的种类 性别性别 季节季节 问题假设问题假设:1).单一鱼种单一鱼种;2)平均重量密度一致平均重量密度一致;3)忽略性别和忽略性别和 季节季节 数

18、学建模第二章 总长度总长度 l 总长度总长度 l 总长度总长度 l a) c) b) 4)所有鲈鱼都是几何相似的所有鲈鱼都是几何相似的,任何鲈鱼的体积都和某个特征任何鲈鱼的体积都和某个特征 量的立方成正比量的立方成正比. 建立模型建立模型: 的参数进行拟合 型中利用所给数据对上述模 模型建立 作为特征量选取鱼的长度 3 3 : klV lV l 数学建模第二章 长度,l(英寸)14.512.517.2514.512.62517.7514.12512.625 重量,w(盎司)2717412617492316 对于上述数据利用对于上述数据利用 线性最小二乘拟合线性最小二乘拟合 的结果为的结果为 3

19、 00853. 0lW 数学建模第二章 长度 (英寸) 121314151617181920212223242526 重量 (盎司) 1519232935425059687991104118133150 重量 (磅) 0.91.21.51.82.22.63.13.74.34.95.76.57.48.39.4 数学建模第二章 该模型提供了一种方便的普遍准则该模型提供了一种方便的普遍准则.垂钓大奖赛把垂钓者垂钓大奖赛把垂钓者 钓到的鱼的长度转化为重量钓到的鱼的长度转化为重量,把表明重量的卡发给大家把表明重量的卡发给大家,当次法当次法 则广泛应用以后则广泛应用以后,应该把标有转换刻度的布带发给每个垂

20、钓者应该把标有转换刻度的布带发给每个垂钓者. 问题问题: : 该模型没有考虑到在相同鱼长的条件下鱼的胖瘦该模型没有考虑到在相同鱼长的条件下鱼的胖瘦,要要 求你对于上述模型进行修改求你对于上述模型进行修改,以满足上述要求以满足上述要求. 数学建模第二章 选举中的席位分配选举中的席位分配 v一一. 比例代表制比例代表制 v例：有A、B、C、D四个政党，代表50万选民，各 政党的选民数为： v A党：199,000 B党：127,500 v C党：124,000 D党： 49,500 v要选出5名代表： v A党：2席 B党：1席 v C党：1席 D党：0席 v缺少1席，如何分配这最后一席呢？ 数学

21、建模第二章 选举中的席位分配选举中的席位分配 v最大余数法最大余数法 v按每10万选民1席分配后，按余数大小排序，多余 的席位分给余数较大的各党。 v党名 代表选民数 整数席 余 数 余额席 总席数 v A 199,000 1 99,000 1 2 v B 127,500 1 27,500 0 1 v C 124,000 1 24,000 0 1 v D 49,500 0 49,500 1 1 数学建模第二章 选举中的席位分配选举中的席位分配 v洪德洪德(d Hondt)规则规则 v分配办法是：把各党代表的选民数分别被1、2、 3、除，按所有商数的大小排序，席位按此次序 分配。即若A党的人数比

22、D党的人数还多，那么给A 党3席、给D党0席也是合理的。 v除数 A党 B党 C党 D党 v1 199,000(1) 127,500(2) 124,000(3) 49,500 v2 99,500 (4) 63,750 62,000 24,750 v3 66,333 (5) 42,500 41,333 16,500 v4 49,750 31,875 v总席位 3 1 1 0 数学建模第二章 选举中的席位分配选举中的席位分配 v北欧折衷方案北欧折衷方案 v作法与洪德规则类似，所采用的除数依次为1.4、3、5、 7、 vA党 B党 C党 D党 v 2 2 1 0 v三种分配方案，得到了完全不同的结果

23、，最大余数三种分配方案，得到了完全不同的结果，最大余数 法显然对小党比较有利，洪德规则则偏向最大的党，法显然对小党比较有利，洪德规则则偏向最大的党， 北欧折衷方案对最大和最小党都不利北欧折衷方案对最大和最小党都不利 数学建模第二章 选举中的席位分配选举中的席位分配 v二份额分配法二份额分配法(Quota Method) v一种以“相对公平”为标准的席位分配方法，来源 于著名的“阿拉巴玛悖论”(Alabama Paradox)。 v美国宪法第1条第2款对议会席位分配作了明确规定， 议员数按各州相应的人数进行分配。最初议员数只 有65席，因为议会有权改变它的席位数，到1910年， 议会增加到435

24、席。宪法并没有规定席位的具体分 配办法，因此在1881年，当考虑重新分配席位时， 发现用当时的最大余数分配方法，阿拉巴玛州在 299个席位中获得8个议席，而当总席位增加为300 席时，它却只能分得7个议席。这一怪事被称为有 名的“阿拉巴玛悖论”。 数学建模第二章 公平的席位分配公平的席位分配 系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 （%） 比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 乙乙 63 31.5 丙丙 34 17.0 总和总和 200 100.0 20.0 20 21席的分配席的分配 比例比例 结果结果 10.815 6.615 3.570 21.000 21 问

25、问 题题 三个系学生共三个系学生共200名（甲系名（甲系100，乙系，乙系60，丙系，丙系40），代表），代表 会议共会议共20席，按比例分配，三个系分别为席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。席。 现因学生转系，三系人数为现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问问20席如何分配。席如何分配。 若增加为若增加为21席，又如何分配。席，又如何分配。 比比 例例 加加 惯惯 例例 对对 丙丙 系系 公公 平平 吗吗 系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 （%） 比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 10.3 乙乙 63 31.5 6.3 丙丙 34

26、17.0 3.4 总和总和 200 100.0 20.0 20 系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 （%） 比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 10.3 10 乙乙 63 31.5 6.3 6 丙丙 34 17.0 3.4 4 总和总和 200 100.0 20.0 20 21席的分配席的分配 比例比例 结果结果 10.815 11 6.615 7 3.570 3 21.000 21 数学建模第二章 “公平公平”分配方分配方 法法 衡量公平分配的数量指标衡量公平分配的数量指标 人数人数 席位席位 A方方 p1 n1 B方方 p2 n2 当当p1/n1= p2/

27、n2 时，分配公平时，分配公平 p1/n1 p2/n2 对对A的的绝对不公平度绝对不公平度 p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10 p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100 p1/n1 p2/n2=5 但后者对但后者对A的的不公平不公平 程度已大大降低程度已大大降低! ! 虽二者虽二者的的绝对绝对 不公平度相同不公平度相同 若若 p1/n1 p2/n2 ，对对 不公平不公平A p1/n1 p2/n2=5 数学建模第二章 公平分配方案应公平分配方案应 使使 rA , rB 尽量小

28、尽量小 设设A, B已分别有已分别有n1, n2 席，若增加席，若增加1席，问应分给席，问应分给A, 还是还是B 不妨设分配开始时不妨设分配开始时 p1/n1 p2/n2 ，即对即对A不公平不公平 ),( / / 21 22 2211 nnr np npnp A 对对A的的相对不公平度相对不公平度 将绝对度量改为相对度量将绝对度量改为相对度量 类似地定义类似地定义 rB(n1,n2) 将一次性的席位分配转化为动态的席位分配将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即即 “公平公平”分配方分配方 法法 若若 p1/n1 p2/n2 ，定义定义 数学建模第二章 1）若）若 p1/(n1+1) p2/n2 ， 则这席应给则这席应给 A 2）若）若 p1/(n1+1) p2/(n2+1)， 应计算应计算rB(n1+1, n2) 应计算应计算rA(n1, n2+1) 若若rB(n1+1, n2) p2/n2 问：问： p1/n1rA(n1, n2+1), 则这席应给则这席应给 B