材料力学弯曲应力

1、材料力学弯曲应力1 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 材料力学弯曲应力2 回顾回顾 内力内力 A F 应力应力 P I T FAy FS M ? ? 材料力学弯曲应力3 纯弯曲纯弯曲 梁段梁段CDCD上，只有弯矩，没有剪力纯弯曲上，只有弯矩，没有剪力纯弯曲 梁段梁段ACAC和和BDBD上，既有弯矩，又有剪力横力弯曲上，既有弯矩，又有剪力横力弯曲 5.1 5.1 纯弯曲纯弯曲 材料力学弯曲应力4 弯曲变形弯曲变形 实验现象实验现象 5.1 5.1 纯弯曲纯弯曲 材料力学弯曲应力5 平面假设：平面假设：横截面变形后保持为平面，只是绕截横截面变形后保持为平面，只是绕截 面内某一轴线偏转了一个角度。面内

2、某一轴线偏转了一个角度。 5.1 5.1 纯弯曲纯弯曲 材料力学弯曲应力6 凹入一侧纤维缩短凹入一侧纤维缩短 突出一侧纤维伸长突出一侧纤维伸长 中间一层纤维长中间一层纤维长 度不变度不变 中性层中性层 中间层与横截面中间层与横截面 的交线的交线 中性轴中性轴 5.1 5.1 纯弯曲纯弯曲 材料力学弯曲应力7 5.2 5.2 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力 一、变形几何关系一、变形几何关系 材料力学弯曲应力8 E 二、物理关系二、物理关系: y E 问题问题: :中性层中性层( ( y 的起点的起点) )在哪里？在哪里？ 怎样算怎样算? ? 1 时当 p x z y y y 可确定横截面上的应

3、力分布可确定横截面上的应力分布 5.2 5.2 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力 材料力学弯曲应力9 平衡条件找答案平衡条件找答案 ;0 Y ; 0 x m 自动满足自动满足 0 X 中性轴通过形心中性轴通过形心(y z 为形心主惯性轴为形心主惯性轴) 三、平衡条件：三、平衡条件： y EE x z y dA A dA A ydA E 0 z S E A dA y E dA ;0 Z M 0 E 0AyS Cz0 C y 5.2 5.2 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力 材料力学弯曲应力10 y I M z Mmz MI E dAy E dAy z AA 2 Z EI M 1 y EE 注意事

4、项：注意事项：M，y与与 都有正负号都有正负号 通常用其绝对值代入公式，用变形确通常用其绝对值代入公式，用变形确 定正应力的正负（拉、压）。定正应力的正负（拉、压）。 正应力分布图正应力分布图 Z I My M 最终内力合成最终内力合成 0 y m 0 zy AA I E dAyz E dAz 惯惯性性矩矩: z I 材料力学弯曲应力11 主要公式主要公式: 变形几何关系变形几何关系 物理关系物理关系 y E y E 静力学关系静力学关系 Z 1 EI M Z I My 为梁弯曲变形后的曲率为梁弯曲变形后的曲率 1 为曲率半径为曲率半径 5.2 5.2 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力 材料力

5、学弯曲应力12 弯曲正应力公式适用范围弯曲正应力公式适用范围 弯曲正应力弯曲正应力 Z I My 细长梁的纯弯曲或横力弯曲细长梁的纯弯曲或横力弯曲( (近似使用近似使用) ) 横截面惯性积横截面惯性积 I Iyz =0=0 弹性变形阶段弹性变形阶段)( p 5.2 5.2 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力 材料力学弯曲应力13 5.3 横力弯曲的正应力横力弯曲的正应力 纯弯曲正应力纯弯曲正应力 Z I My 弹性力学精确分析表明，弹性力学精确分析表明， 当跨度当跨度 l 与横截面高度与横截面高度 h 之之 比比 l / h 5 （细长梁）时，（细长梁）时， 纯弯曲正应力公式对于横力纯弯曲正应力

6、公式对于横力 弯曲近似成立。弯曲近似成立。 Z I yM maxmax max 横力弯曲最大正应力横力弯曲最大正应力 材料力学弯曲应力14 弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件 max max W M I yM z max max 1.1.弯矩最大的截面上弯矩最大的截面上 2.2.离中性轴最远处离中性轴最远处 2.2.脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑 tt max, cc max, 注意注意:1.:1.变截面梁要综合考虑变截面梁要综合考虑 与与 M z I 强度条件强度条件 max Z Z y I W 在在 max 抗弯截面系数抗弯截面系数

7、材料力学弯曲应力15 常见截面的常见截面的 IZ 和和 WZ 圆截面圆截面 矩形截面矩形截面 空心圆截面空心圆截面 空心矩形截面空心矩形截面 A dAyI 2 Z max Z Z y I W 64 4 Z d I 32 3 Z d W )1 ( 64 4 4 Z D I)1 ( 32 4 3 Z D W 12 3 Z bh I 6 2 Z bh W 1212 3 3 00 Z bhhb I)2/() 1212 ( 0 3 3 00 Z h bhhb W 材料力学弯曲应力16 aa FF y 解解: NmFaM90018. 0105 3 竖放时竖放时 4 33 54 12 6030 12 cm

8、bh IZ 求求:(1):(1)截面竖放时距离中性层截面竖放时距离中性层2020mm 处的正应力和最大正应力处的正应力和最大正应力max; ; (2) (2) 截面横放时的最大正应截面横放时的最大正应力max MPay I M mmy Z 3 .33:20 MPay I M Z 50 1054 03. 0900 8 maxmax 横放时横放时 4 33 5 .13 12 3060 12 cm hb I Z 8 maxmax 105 .13 015. 0900 y I M Z max 2100MPa 例例 图示简支梁图示简支梁 已知已知: : a =180=180mm , , F F =5kN,

9、=5kN, 截面为截面为bh=30 60mm2 的矩形的矩形 h b 20 例题例题 材料力学弯曲应力17 BA l = 3m q=60kN/m x C 1m M x m67.5kN8/ 2 ql 30 z y 180 120 K 1.1.C 截面上截面上K点正应力点正应力 2.2.C 截面上截面上最大最大正应力正应力 3.3.全梁全梁上上最大最大正应力正应力 FS x 90kN 90kN mkN605 . 0160190 C M 1. 求支反力求支反力 kN90 Ay FkN90 By F 45 33 Z m10832. 5 12 18. 012. 0 12 bh I MPa7 .61Pa1

10、07 .61 10832. 5 10)30 2 180 (1060 6 5 33 Z KC K I yM （压应力）（压应力） 解：解： 例题例题 已知已知:E=200GPa, 4.4.C 截面的曲率半径截面的曲率半径 材料力学弯曲应力18 30 z y 180 120 K BA l = 3m q=60kN/m x C 1m M x m67.5kN8/ 2 ql FS x 90kN 90kN 2. C 截面最大正应力 C 截面弯矩 mkN60 C M C 截面惯性矩 45 Z m10832. 5 I MPa55.92Pa1055.92 10832. 5 10 2 180 1060 6 5 33

11、 Z max max I yM C C 例题例题 材料力学弯曲应力19 BA l = 3m q=60kN/m x C 1m M x m67.5kN8/ 2 ql 30 z y 180 120 K FS x 90kN 90kN 3. 全梁最大正应力全梁最大正应力 最大弯矩最大弯矩 mkN5 .67 max M 截面惯性矩截面惯性矩 45 m10832. 5 z I MPa17.104Pa1017.104 10832. 5 10 2 180 105 .67 6 5 33 Z maxmax max I yM 例题例题 材料力学弯曲应力20 BA l = 3m q=60kN/m x C 1m M x

12、m67.5kN8/ 2 ql 30 z y 180 120 K FS x 90kN 90kN 4. C 截面曲率半径截面曲率半径 C 截面弯矩截面弯矩 mkN60 C M C 截面惯性矩截面惯性矩 45 Z m10832. 5 I m4 .194 1060 10832. 510200 3 59 C Z C M EI EI M 1 例题例题 材料力学弯曲应力21 z I yM max max max 分析分析: : ？ 弯矩弯矩 最大的截面最大的截面M 图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知 ,kN5 .62,m16. 0,m267. 0,130

13、 2 Fbammd 材料的许用应力材料的许用应力 .MPa60 mm160 1 d ？ z W M max max 例题例题 材料力学弯曲应力22 （3 3）B B截面，截面，C C截面需校核截面需校核 （4 4）强度校核）强度校核 B B截面：截面： MPaPa5 .41105 .41 16. 0 322675 .62 32 6 33 1 max d Fa W M B B MPaPa4 .46104 .46 13. 0 321605 .62 32 6 33 2 max d Fb W M C C C C截面：截面： 车轴满足强度要求车轴满足强度要求 （1 1）计算简图）计算简图 （2 2）绘弯

14、矩图）绘弯矩图 F Fa a F Fb b 解：解： 例题例题 材料力学弯曲应力23 分析分析 （1 1）确定危险截面）确定危险截面 （）计算（）计算 max M （）计算（）计算 ，选择工，选择工 字钢型号字钢型号 z W 某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦 自重自重材料的许用应力材料的许用应力 MPa,140 kN,7 . 6 1 F ,kN50 2 F 起重量起重量跨度跨度 m,5 . 9l 试选择工字钢的型号。试选择工字钢的型号。 例题例题 材料力学弯曲应力24 （4 4）选择工字钢型号）选择工字钢型号 （5 5）讨论）讨论

15、 （3 3）根据）根据 z W M max max 计算计算 336 6 3 max cm962m10962 10140 4 5 . 910)507 . 6( M Wz （1 1）计算简图）计算简图 （2 2）绘弯矩图）绘弯矩图 解：解： 36c36c工字钢工字钢 3 cm962 z W kg/m6 .67q 材料力学弯曲应力25 作弯矩图，寻找需要校核的截面作弯矩图，寻找需要校核的截面 cctt max,max, ,要同时满足要同时满足 分析：分析： 非对称截面，要寻找中性轴位置非对称截面，要寻找中性轴位置 T T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。 试校核梁的强度。

16、试校核梁的强度。 MPa,60,MPa30 ct 例题例题 材料力学弯曲应力26 mm52 201202080 8020120102080 c y （2 2）求截面对中性轴）求截面对中性轴z z的惯性矩的惯性矩 46 2 3 2 3 m1064. 7 2812020 12 12020 422080 12 2080 z I （1 1）求截面形心）求截面形心 z1 y z 52 解：解： 例题例题 材料力学弯曲应力27 （4 4）B B截面校核截面校核 t t MPa2 .27Pa102 .27 1064. 7 1052104 6 6 33 max, c c MPa1 .46Pa101 .46 1

17、064. 7 1088104 6 6 33 max, （3 3）作弯矩图）作弯矩图 kN.m5 .2 kN.m4 例题例题 材料力学弯曲应力28 （5 5）C C截面要不要校核？截面要不要校核？ t t MPa8 .28Pa108 .28 1064. 7 1088105 . 2 6 6 33 max, kN.m5 .2 kN.m4 例题例题 经校核梁安全经校核梁安全 ？倒过来是否安全？倒过来是否安全 材料力学弯曲应力29 例例 已知简支梁的最大弯矩已知简支梁的最大弯矩M Mmax max=7.5kN =7.5kN m,m, =160=160MPaMPa 求：按正应力强度条件选择下列求：按正应力

18、强度条件选择下列 截面的尺寸并比较其重量。截面的尺寸并比较其重量。 M kNm5 . 7 2 d D 2 b h 工字钢工字钢 解： 圆形 32 3 D WZ 6 2 bh WZ 矩形 圆环圆环)1 ( 32 4 3 D WZ 工字钢工字钢 max M WZ mmD2 .78 160 32105 . 7 3 6 圆形 mmD9 .79 )5 . 01 (160 32105 . 7 3 4 6 圆环 mmb3 .41 4160 6105 . 7 3 6 矩形 工字钢 3 9 .46 cmWZ10 3 49cmW Z 2 1 48cmA 2 2 6 .37 cmA 2 3 34 cmA 2 4 1

19、4cmA 4321 :AAAA 1:43. 2:69. 2:43. 3 2m mkN15 材料力学弯曲应力30 假设所有的假设所有的 都平行于都平行于 y 5.4弯曲切应力弯曲切应力 剪切弯曲剪切弯曲Fs 0, 0 横截面不再保持平面（翘曲）横截面不再保持平面（翘曲） 实心细长梁实心细长梁 工程上一般忽略不计工程上一般忽略不计, 薄壁或短粗梁薄壁或短粗梁 需要考虑切应力及其强度条件需要考虑切应力及其强度条件 F dx dx Fs M Fs M+dM b h 矩形截面梁：矩形截面梁： bh 假设同一高度假设同一高度 y 处处 相等相等 截面两侧截面两侧 平行于平行于 y Fs通过通过y, 对称于

20、对称于y M+dM M dx y 材料力学弯曲应力31 Z Ib SFs 矩形截面梁：矩形截面梁： y FN1 FN2 dx sdFFF NN 22 0 X S I M dAy I M dAF Z A Z A N11 S I dMM F Z N 2 bdxsdF Z bI S dx dM dx Fs M Fs M+dM M+dM M dx F dxb h y s dF 5.4弯曲切应力弯曲切应力 y1 材料力学弯曲应力32 ) 4 ( 2 ) 2 ( 2 2 y hb yy h byAS ) 2 ( 2 1 ) 2 ( 2 1 y h y h yy ) 4 ( 2 2 2 1 2 1 y hb

21、 dybyS h y ) 4 ( 6 12 ) 4 ( 2 2 2 33 2 2 y h bh F bh b y hb F S S 0: 2hy A F bh F y SS 2 3 2 3 :0 max b 2 h 2 h y A y Fs max 5.4弯曲切应力弯曲切应力 材料力学弯曲应力33 例例 比较矩形截面悬臂梁的最大正应力和最大比较矩形截面悬臂梁的最大正应力和最大切切应应 力力。 解：, max FlMFFs max , 6 2 max bh Fl bh F 2 3 max F l h b h l4 max max :,bhbh 切切应力假设不成立，将产生较大误差应力假设不成立，将

22、产生较大误差 材料力学弯曲应力34 圆形截面梁：圆形截面梁： A F s 3 4 max 薄壁圆环截面薄壁圆环截面： A Fs 2 max 工字钢截面工字钢截面： 0 max dh F A F ss 腹板 max 强度条件强度条件 h 0 h d max 常用梁截面的最大切应力。常用梁截面的最大切应力。 材料力学弯曲应力35 悬臂梁由三块木板粘接而成。悬臂梁由三块木板粘接而成。 跨度为跨度为1m。胶合面的许可胶合面的许可 切应力为切应力为0.34MPa，木材的木材的 = = 10 MPa， =1MPa，求许可载荷求许可载荷 2 1max max 6 bh lF W M z 1.1.画梁的剪力图

23、和弯矩图画梁的剪力图和弯矩图 按正应力计算按正应力计算 S F F M Fl 3.75kNN3750 6 1015010010 6 9272 1 l bh F bhFAFS2/32/3 2max 按切应力计算按切应力计算 kN01N100003/101501001023/2 66 2 bhF F l 100 50 50 50 z 解：解： 叠合梁问题叠合梁问题 材料力学弯曲应力36 g Z ZS bh F b bh h bF bI SF 3 4 12 3 3 3 2 3* g 按胶合面强度条件计算按胶合面强度条件计算 3.825kNN3825 4 1034. 0101501003 4 3 66

24、 3 g bh F 5.5.梁的许可载荷为梁的许可载荷为 3.75kNkN825. 3kN10kN75. 3 minmin i FF F l 100 50 50 50 M Fl z S F F 材料力学弯曲应力37 单梁吊车由40a号工字钢制成，在梁中段的上下翼缘上 各焊了一块12010 mm2的盖板，如图所示。已知 梁跨长l = 8 m, a = 5.2 m,材料的弯曲许用应力140 MPa , 许用切应力为80 MPa,试按正应力强度条件确定梁的许试按正应力强度条件确定梁的许 可载荷可载荷,并校核梁的切应力并校核梁的切应力。(梁的自重暂不考虑) 例题（活动载荷例题（活动载荷, 加强梁）加强

25、梁） 材料力学弯曲应力38 分析分析 材料力学弯曲应力39 5.6 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施 Z max max W M 1. 1. 降低降低 Mmax 合理安排支座合理安排支座 合理布置载荷合理布置载荷 6-7 材料力学弯曲应力40 合理布置支座合理布置支座 5-6 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施 F F F 材料力学弯曲应力41 合理布置支座合理布置支座 5-6 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施 材料力学弯曲应力42 5-6 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施 F 合理布置载荷合理布置载荷,使使 M max 尽可能小尽可能小 材料力学弯曲应力43 E

26、I FL w 3 max 021. 0 F L/2L/2 EI FL w 3 max 014. 0 F L/43L/4 EI FL w 3 max 0073. 0 F=qL L/54L/5 对称对称 M x 3FL/16 M x FL/4 M x qL2/10 材料力学弯曲应力44EI qL w 4 3 max 10326. 0 超静定梁超静定梁 q L/2L/2 超静定梁超静定梁 EI qL w 4 max 013.0 q L 8 2 qL M x M x 512/9 2 qL 32 ql 2 材料力学弯曲应力45 5-6 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施 Z max max W M 2. 2. 增大增大 WZ 合理设计截面合理设计截面 合理放置截面合理放置截面 6-7 材料力学弯曲应力46 6 2 bh WZ 左 6 2 hb WZ 右 5-6 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施 合理放置截面合理放置截面 材料力学弯曲应力47 5-6 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施 合理设计截面合理设计截面 材料力学弯曲应力48 5-6 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施 合理设计截面合理设计截面 材料