均值不等式含答案

1、课时作业15均值不等式时间：45分钟 满分：100分课堂训练531. 已知-+ - = 1(x0, y0)，贝S xy的最小值是()x yB.A. 15D.C. 6015【答案】Cxy【解析】12x y二 xy60,当且仅当3x= 5y时取等号.42. 函数 f(x) = x+-+ 3 在(一 = ,2上()xA. 无最大值，有最小值7B. 无最大值，有最小值1C. 有最大值乙有最小值1D. 有最大值1,无最小值【答案】D4【解析】vx 2,二 f(x) = x + -+ 3x=x + - x + 3 5 + 2 4=4x y 424.求函数1)的最小值.x + 7x + 10 y=(xy x

2、+1、【分析】对于本题中的函数，可把x+1看成一个整体，然后将函数用x+ 1来表示，这样转化一下表达形式，可以暴露其内在的 形式特点，从而能用均值定理来处理.【解析】因为x 1,所以x+ 10.所以y=2x +7x+ 102x+1+ 5 x+1+4x+ 1=(x+ 1)4+x + 1+ 5x+ 14x+ 1+ 5= 94当且仅当x+1=不，即x=1时，等号成立.2当x= 1时，函数y =x + 7x + 10x+1(x 1)，取得最小值为9.亠ax2 + bx+ c【规律方法】形如f (x) = mx+n (m0，az0)或者g(x)rmy I n=2 b (m0,0)的函数，可以把 m灶n看

3、成一个整体，设ax + bx + c m好n= t，那么f (x)与g(x)都可以转化为关于t的函数.课后作业、选择题(每小题5分，共40分)1 .设 x0,则 y13 3x x的最大值是()A. 3B. 3-3 2C. 3- 2 3D. 1【答案】【解析】y = 3 3x x= 3 (3x + ) 0且x工1时，lgx +灵21B.当x0时,21C.当x2时，x + -的最小值为2xD.当0x0且XM1时，lg x的正负不确定，二lg x1115+或 lg x + W 2; C 中，当 x2 时，（x + ）min = ; D中lg xlg xx 21i3当 0xW2 时，y = x x在（

4、0,2上递增，（x x） max= 2xx23.如果a,b 满足 0ab, a+ b= 1,1则, a,2ab, a2 + b2 中值最大的是（B.D.B. 2ab【答案】【解析】方法一：t 0a2a,1二 a2ab,最大数一定不是a和2ab, 2 2 2又 a + b = （a+ b） 2ab= 1 2ab,t 1 = a+ b2 ab,.1 1 2 2 1 - 1 2ab1 2 = 2，即卩 a + b：1245方法二：特值检验法：取 a= 3, b= 3，贝S 2ab= 9, a + b2 = 9,t 5 141 a2+ b2 最大9 2 9 3，最大.4.已知abc0,则下列不等式成立

5、的是（）12_+ b ca c1 21 2bca cb c2+三+a bb c+ b cbc0.a b0,b c0, a c0,-(a c) 2+ 2b ca ba b=4b c 4.1142a b+ b c a ca c5.下列函数中，最小值为4的是（)上4f(x) = 2Xx1 =(a b) +(b c) K斗+ 5A.f(x) = x+ -B.2/xx + 4C.f(x) = 3x+ 4X3 xD.f (x) = Ig x+ log x10【答案】 C【解析】 A、D选项中，不能保证两数为正，排除；B选项不能取等号，f(x)X2 + 5=2X 2= 2XJx + 42x +4+ 1X2+

6、42X-X2+ 4 +1 , 1肩+4)4,要取等号，必须7?亍=乔+4，即X2+ 4= 1,这是不 可能的，排除.故选C.6.今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确.有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左、右托盘各称一次，则两次称量结 果的和的一半就是物体的真实重量.设物体放在左右托盘称得的重量 分别为a, b(az b)，则物体的实际重量为多少实际重量比两次称量的结果的一半大了还是小了 ()；大；小；大；小【答案】D【解析】设物体真实重量为m天平左、右两臂长分别为丨1,|2,则ml1= al 2 ml2= bl 1 x 得 mi 112= abl 112二 m= ab又t *尹-，ab

7、且b,.等号不能取得，故7.已知 x0, y0, x + 2y + 2xy = 8,则 x + 2y 的最小值是()B. 4A. 3【答案】 B8一 x【解析】t x+2y+ 2xy= 8,二 y= ?x+ ?0,-1x3,当 x= 1 时取等号,xx即当x= 1时取最小值3,二f(x)的对称轴是x= 1, /. b= 2,将(1,3)1代入即得c=4,.f(x) = x2 2x+4,易得在?, 2上的最大值是4.二、填空题(每小题10分，共20分)9.比较大小:X2 + 2x2+ 12(填“”或 “w” ).【答案】 【解析】X=3,当且仅当X 1=即x=2时取“=”. x1-aw 3.三、

8、解答题(每小题20分，共40分.解答应写出必要的文字说 明、证明过程或演算步骤)11.设 x, y R+,且 x + y + xy = 2,(1) 求x+ y的取值范围；(2) 求xy的取值范围.【解析】(1)2 = x+ y + xy w x+ y+ ()2,当且仅当x=y时取“=”. + 221衰+ 1=図 +1+X2 + 1 2.10.当x1时，不等式X+宀a恒成立，则实数a的取值范围是.【答案】(一乂，31【解析】T x1,. x + x0,1 一 1要使 x+X1 a 恒成立，设 f(x) = x + x1 (x1),贝卩 a1恒成立.F z11/r又 f(x) = x += x-

9、1 + 12 x 1 X+ 1x 1x 1：x 12(x + y) + 4( x + y) 80.( x+ y) + 2=2n + 40n 98=2(n10)2 + 102.捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元. 12. x + y0，二 x + y + 2x 12. x + y2；3 2,当且仅当 x= y = 1 时取“=故x+ y的取值范围是23 2,+乂).(2)2 = x + y + xy 2 xy + xy，当且仅当 x = y 1 时取二(、：xy)2 + 2 ,xy2. ( ；xy +1)20,.；xy +10. xy + 1w 3.二 0 ；xyw ；3 1.0xy4 2 ;3, 即 xy 的取值范围是(0,4 2 . 3.12 .某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，每一 年需要各种费用12万元.从第二年起包括维修费在内每年所需费用 比上一年增加4万元.该船每年捕捞总收入50万元.(1) 问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少(2) 问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少【解析】(1)设船捕捞n年后的总盈利y万元.则n n 1y = 50n 98 12 x n+2 x 4 2 249_n -20 = 12 Vn当且仅当49n=，即n= 7时上式取等号.n年平均利润为y=2 n+ 49- 20