力学第04章刚体定轴转动

1、力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 本章内容：本章内容： 4.1 刚体和刚体的基本运动刚体和刚体的基本运动 4.2 力矩力矩 4.3刚体绕定轴转动的转动定律刚体绕定轴转动的转动定律 转动惯量转动惯量 4.4 绕定轴转动刚体的动能绕定轴转动刚体的动能 动能定理动能定理 4.5 动量矩和动量矩守恒定律动量矩和动量矩守恒定律 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 4.1 刚体和刚体的基本运动刚体和刚体的基本运动 刚体（刚体（rigid body）：受力时不改变形状和体积的物体）：受力时不改变形状和体积的物体 特殊的质点系，特殊的质点系， 理想化模型理想化模型形状和体积不变化形状和体

2、积不变化 在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变 （ translational motion） 在运动过程中刚体上的任意一条直线在各个时刻的位置都相互平行在运动过程中刚体上的任意一条直线在各个时刻的位置都相互平行 （质心运动定理）（质心运动定理） c Fma 外 一、刚体运动的基本形式一、刚体运动的基本形式 A A A B B B 用质心代表用质心代表刚体的平动刚体的平动 平动平动 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 刚体的一般运动刚体的一般运动质心的平动质心的平动绕质心的转

3、动绕质心的转动+ A A 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 dt d d d 是矢量，是矢量， 方向用右手螺旋法则确定。方向用右手螺旋法则确定。 d 用角量用角量 x O P r v 角位置：角位置： ( ) t 角位移：角位移： )()( 0 tt 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 , , dt d d 00 zz 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 c )(2 2 1 0 2 0 2 2 00 0 tt t 当当 与质点的匀加速直与质点的匀加速直 线运动公式相似线运动公式相似 匀变速定轴转动匀变速定轴转动 vr a 切向分量切向分量 t dvd arr d

4、tdt 法向分量法向分量 2 2 n v ar r z v O P 4.绕定轴转动刚体内各点的速度和加速度绕定轴转动刚体内各点的速度和加速度 r dSr d d dS 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 一一.力矩力矩 4.2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量 v力力改变质点的运动状态改变质点的运动状态质点获得加速度质点获得加速度 v力矩力矩改变刚体的转动状态改变刚体的转动状态 刚体获得角加速度刚体获得角加速度 定义定义: FrM 为了描述力对物体转动的作用效果为了描述力对物体转动的作用效果 称为力称为力F对参考点对参考点O的力矩的力矩 Fr 决定。决定。方向：由方向：由

5、 大小：大小： FrrFM sin r F M 1.力对点的力矩力对点的力矩 F r r M O A 注：合外力矩注：合外力矩 不是先求合力再求矩不是先求合力再求矩 应是先求各外力矩再求和应是先求各外力矩再求和 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 2. 力力 F 对对z 轴的力矩轴的力矩 sin)(FrFM z r F / F n F F h F A z hF rFhFrFFM z sin)( rF ( (力不在垂直于轴的平面内力不在垂直于轴的平面内) ) F ( (力力F F 在垂直于轴的平面内在垂直于轴的平面内) ) r力对定轴力矩的矢量形式力对定轴力矩的矢量形式 FrMZ （力

6、对轴的力矩只有两个指向）（力对轴的力矩只有两个指向） rFM Z 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 合外力矩不是先求合力再求矩应是先求合外力矩不是先求合力再求矩应是先求 各外力矩再求和各外力矩再求和 r TTRM i RTTRM i T T T T 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 O jiij MM j r i r i j d ij M ji M ij f ji f jijiji frfr jiij ff 0)( ijijijji frfrr 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 二二. 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律 转动惯量转动惯量 kkkk amfF

7、第第 k个质元个质元 kkkk amfF切线方向切线方向 kkkkkkk ramrfrF 在上式两边同乘以在上式两边同乘以 rk kkk rrm 对所有质元求和对所有质元求和 )( 2 kk k k k k rmrfrF fk 内力矩之和为内力矩之和为0 0转动惯量转动惯量 J J rk 刚体的定轴转动定律（刚体绕定轴转动微分方程）刚体的定轴转动定律（刚体绕定轴转动微分方程） r与牛顿第二定律比较：与牛顿第二定律比较：amJFM, 外轴外 合外力矩合外力矩 amF 外 k F JM轴合外 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 JM轴合外 转动定律转动定律: :定轴转动的刚体，定轴转动的

8、刚体，其角加速度与其所受的对轴的合外其角加速度与其所受的对轴的合外 力矩成正比，与其转动惯量成反比。力矩成正比，与其转动惯量成反比。 2.合外力矩、转动惯量和角加速度均合外力矩、转动惯量和角加速度均。 amF1. 与与 地位相当，地位相当，m反映质点的平动惯反映质点的平动惯 性，性，J反映刚体的转动惯性。反映刚体的转动惯性。 MJ 3.对定轴转动，力矩和角加速度只有两个方向，可用对定轴转动，力矩和角加速度只有两个方向，可用 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 三三.转动惯量转动惯量（moment of inertia ） k kkr mJ 2 定义定

9、义 质量不连续分布质量不连续分布 r 质量连续分布质量连续分布 V mrJd 2 v确定转动惯量的三个要素确定转动惯量的三个要素: : (1)(1)总质量总质量 (2)(2)质量分布质量分布 (3)(3)转轴的位置转轴的位置 r J 与刚体的总质量有关与刚体的总质量有关 例如等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量例如等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量 L z O x dx M 2 0 2 0 2 3 1 ddMLx L M xxxJ LL 木铁 JJ 刚体转动惯性大小的量度刚体转动惯性大小的量度v转动惯量的物理意义转动惯量的物理意义: 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 所以只有指出

10、刚体对某轴的转动惯量才有意义所以只有指出刚体对某轴的转动惯量才有意义 O L x dx M z 2 0 2 3 1 dMLxxJ L L O x dx M 2 2/ 2/ 2 12 1 dMLxxJ L L z r J 与转轴的位置有关与转轴的位置有关 r J 与质量分布有关与质量分布有关 2 z JR dm 2 Rdm 2 mR 2 2 1 mRJ z dl O m R 圆环圆环 R O m r dr 圆盘圆盘 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 1 ） 转动惯量叠加转动惯量叠加, 如图如图 A C z CBAz JJJJ 式中式中: 是是A球对球对z轴的转动惯量轴的转动惯量 A

11、J B J是是B棒对棒对z轴的转动惯量轴的转动惯量 c J是是C球对球对z轴的转动惯量轴的转动惯量 B 2 ） 平行轴定理平行轴定理 2 mhJJ cz z h 式中式中: 关于通过质心轴的转动惯量关于通过质心轴的转动惯量 c J m 是刚体质量是刚体质量, h 是是 c 到到 z 的距离的距离 z J 是关于平行于通过质心轴的一个轴的转动惯量是关于平行于通过质心轴的一个轴的转动惯量 C 有关转动惯量计算的几个定理有关转动惯量计算的几个定理 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 3） 垂直轴定理垂直轴定理 yxz JJJ i y i m 0 i x 对于薄板刚体对于薄板刚体, 薄板刚体

12、对薄板刚体对 z 轴的转动惯量轴的转动惯量 z J 等于对等于对 x 轴的转动惯量轴的转动惯量 x J 与对与对 y 轴的转动惯量轴的转动惯量 y J之和之和 y x z 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 常用的几个转动惯量常用的几个转动惯量 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 m r t s mrts 5.19一质量为一质量为 的物体悬于一条轻绳的一端，绳另一端绕在一轮轴的物体悬于一条轻绳的一端，绳另一端绕在一轮轴 整个装置架在光滑的固定轴承之上当物体从静止释放整个装置架在光滑的固定轴承之上当物体从静止释放 内下降了一段距离内下降了一段距离 转动惯量转动惯量(用用 、

13、、 和和 表示表示) 。 的轴上，如图所，轴水平且垂直于轮轴面，其半径为的轴上，如图所，轴水平且垂直于轮轴面，其半径为 m O r ， 后，在时间后，在时间。试求整个轮轴的。试求整个轮轴的 T r T a mg 2 2 1 atS ) 1 2 ( 2 2 S gt mrJ 解：设绳子对物体解：设绳子对物体(或绳子对轮轴或绳子对轮轴)的拉力为的拉力为T， 则根据牛顿运动定律和转动定律得：则根据牛顿运动定律和转动定律得： 2分分 2分分 由运动学关系有：由运动学关系有： 2分分 由、式解得：由、式解得： 又根据已知条件又根据已知条件 v00 2分分 将式代入式得：将式代入式得： 2分分 maTmg

14、 JTr ra a ragm J 2 )( 2 2 t S a 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 M 1 m 2 m 21 mm 5.5 5.5 一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为的定滑轮，绳的的定滑轮，绳的 和和的物体的物体( ( 绳与轮之间无相对滑动若某时刻滑轮沿逆时针绳与轮之间无相对滑动若某时刻滑轮沿逆时针 方向转动，则绳中的张力方向转动，则绳中的张力 (A) (A) 处处相等处处相等 (B) (B) 左边大于右边左边大于右边 (C) 右边大于左边右边大于左边 (D) 哪边大无法判断哪边大无法判断 两端分别悬有质量为两端分别悬有质量为) )，

15、如图所示，如图所示 C 21 mm JrTrT 12 12 TT , , 2 m向下加速运动向下加速运动, ,定滑轮作顺时针加速转动定滑轮作顺时针加速转动 （或逆时针减速转动），（或逆时针减速转动）， ， 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 R m1 m2 已知：已知： 滑轮滑轮M（看成匀质圆盘）半径（看成匀质圆盘）半径R 物体物体 m1 m2 求：求：a =? a m1g m2g 解：解： 11 m gTm a 22 Tm gm a 1212 ()m gm gmm a 12 12 mm ag mm 对否？对否？T1 T2 T 12 TT 否则滑轮匀速转动，而物体加速运动否则滑轮匀速

16、转动，而物体加速运动 T1 T2 111 m gTm a 222 Tm gm a 12 T RT RJ aR 转动定律转动定律 线量与角量关系 2 1 2 JMR 12 12 1 2 mm ag mmM M 1. 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 A B F 10/83已知：已知： mRkgmNFmRJ050. 0,0 . 8,10, 2 1 2 求：求： ? ? ? 2 1 T T 1 T 2 T Ra JRTRT maT maTF 21 2 1 解： NFT NFT srad mR F 4 5 2 6 5 3 /10 5 2 1 1 解得： R 力学第力学第04章刚体定轴转动章

17、刚体定轴转动 三、计算题三、计算题 5一轴承光滑的定滑轮，质量为一轴承光滑的定滑轮，质量为M2.00 kg，半径为，半径为R0.100 m，一根不能伸长，一根不能伸长 的轻绳，一端固定在定滑轮上，另一端系有一质量为的轻绳，一端固定在定滑轮上，另一端系有一质量为m5.00 kg的物体，如图所示的物体，如图所示 已知定滑轮的转动惯量为已知定滑轮的转动惯量为J 2 2 1 MR ，其初角速度，其初角速度 010.0 rad/s，方向垂直纸面向，方向垂直纸面向 里求：里求：(1) 定滑轮的角加速度的大小和方向； 定滑轮的角加速度的大小和方向； (2) 定滑轮的角速度变化到定滑轮的角速度变化到w0时，物

18、体上升的高度；时，物体上升的高度； (3) 当物体回到原来位置时，定滑轮的角速度的大小和方向当物体回到原来位置时，定滑轮的角速度的大小和方向 m M R 0 5解：解：(1) mgTma TRJ aR = mgR / (mR2J) RMm mg MRmR mgR 2 2 2 1 22 81.7 rad/s2 (2) 2 2 0 2 当当0 时，时， rad612. 0 2 2 0 物体上升的高度物体上升的高度h = R = 6.1210-2 m 方向垂直纸面向外方向垂直纸面向外 (3) 210.0 rad/s 方向垂直纸面向外方向垂直纸面向外. 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 刚

19、体刚体定轴转动定律定轴转动定律 MJ 轴外 amF 外 刚体到转轴的转动惯量刚体到转轴的转动惯量 2 i i i Jm r 刚体的刚体的角动量角动量 LJ mvp m 2 2 1 mvEk2 1 2 k EJ 刚体的刚体的转动动能转动动能 2 1 AM d rdFA B A 21kk AEE 动能定理动能定理 刚体的功刚体的功 0 t t IFdt 合外力合外21 12 21 tL tL MdtdLLL 轴 刚体的角动量定理刚体的角动量定理 0 p p 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 4.44.4刚体定轴转动中的功和能刚体定轴转动中的功和能 一一 、绕定轴转动刚体的动能、绕定轴转

20、动刚体的动能 z O i r i v i m Ni mmmm, 21 Ni rrrr , ,21 Ni vvvv , 21 的动能为的动能为 i m 2 2 1 iiki mEv 2 2 2 1 iir m 2 2 2 1 iikik rmEE 刚体的总动能刚体的总动能 2 2 2 1 iir m 2 2 1 J P 绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其 角速度平方乘积的一半角速度平方乘积的一半 r结论结论 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 二、力矩的功二、力矩的功 O r F r d d 根据功的定义根据功的定义 sFA

21、dcosddrF drF （力矩做功的微分形式）（力矩做功的微分形式） 对一有限过程对一有限过程 2 1 d MA 若若 M = C )( 12 MA dM 力的累积过程力的累积过程力矩的空间累积效应力矩的空间累积效应 . P r 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 三、三、刚体定轴转动刚体定轴转动的动能定理的动能定理 合力矩功的效果合力矩功的效果 k EJd) 2 1 d( 2 ddMA d)d d d (J t J 对于一有限过程对于一有限过程 2 1 2 1 ) 2 1 d(d 2 JAA 2 1 2 2 2 1 2 1 JJ k E 绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于

22、在该过程中作用在刚体绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过程中作用在刚体 上所有外力所作功的总和。这就是绕定轴转动刚体的上所有外力所作功的总和。这就是绕定轴转动刚体的动能定理动能定理 (1) 力矩的功就是力的功。力矩的功就是力的功。 (3) 内力矩作功之和为零。内力矩作功之和为零。 r 讨论讨论 (2) 合力矩的功合力矩的功 i i i i i i AMMMA 2 1 2 1 2 1 d)d(d 外力矩功是刚体转动动能改变的原因外力矩功是刚体转动动能改变的原因 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 22 21 dddd dddd 11 22 MJJJJ tt AJJ -刚体绕

23、定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理 22 21 11 d 22 AFrmm vv -质点的动能定理质点的动能定理 比较比较: : 四、刚体的重力势能四、刚体的重力势能 pii Em gy ii m y Mg M iigy m任取一质元其势能为任取一质元其势能为 (以以O为参考点）为参考点） pC EMgyO X Y mi M C C v i y C y 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 六、机械能与机械能守恒六、机械能与机械能守恒 机械能机械能 = = 势能势能 + + 平动动能平动动能 + + 转动动能转动动能 刚体与质点组成的系统，机械能包括：刚体与质点组成的系统，机械

24、能包括： 机械能守恒条件：机械能守恒条件： 恒量 ) 2 1 2 1 ( 22 JmvmghE c 机械能机械能 = = 势能势能+ +平动动能平动动能+ +转动动能转动动能 = = 恒量恒量 刚体与质点组刚体与质点组 成系统的机械成系统的机械 能守恒定律能守恒定律 时 非保内外 0WW 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 例例 一根长为一根长为 l ，质量为，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平在竖直平 面内转动，初始时它在水平位置面内转动，初始时它在水平位置 解解 cos 2 1 sin 2 1 mgllmggmrM c 00 dcos 2 dmg

25、l MA 由动能定理由动能定理 0 2 1 2 J 0sin 2 lmg l g sin3 2 2 3 1 mlJ l g sin3 求求 它由此下摆它由此下摆 角时的角时的 此题也可用机械能守恒定律方便求解此题也可用机械能守恒定律方便求解 O lm C x mg sin 2 0 1 l mgmghE 222 2 3 1 2 1 0 2 1 mlJE 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 R 4/M M B M 2 1 B 4/ 2 MRJ O B A 7.7.一轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的半径为一轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的半径为, ,质量为质量为 ，均匀分布在其边缘

26、上绳子的，均匀分布在其边缘上绳子的A A端有一质量为端有一质量为 了绳端，而在绳的另一端了绳端，而在绳的另一端系了一质量为系了一质量为 的重物，如图所示，设人从静止开始相对于绳匀速向上爬时，绳与的重物，如图所示，设人从静止开始相对于绳匀速向上爬时，绳与 滑轮间无相对滑动，求滑轮间无相对滑动，求端重物上升的加速度？端重物上升的加速度？( (已知滑轮对通已知滑轮对通 ) ) 的人抓住的人抓住 过滑轮中心且垂直于轮面的轴的转动惯量过滑轮中心且垂直于轮面的轴的转动惯量 O B Mg T2 T1 Mg 2 1 a a 解：受力分析如图所示解：受力分析如图所示 设重物的对地加速度为设重物的对地加速度为a

27、a，向上，向上. .则绳的则绳的A A端对地有端对地有 加速度加速度a向下，人相对于绳虽为匀速向上，但相对于地其加速度仍为向下，人相对于绳虽为匀速向上，但相对于地其加速度仍为a向下向下. 根据牛顿第二定律可得：根据牛顿第二定律可得： 对人：对人： 对重物：对重物： (T2T1)RJ MR2 / 4 因绳与滑轮无相对滑动，因绳与滑轮无相对滑动， a R 、四式联立解得、四式联立解得 a2g / 7 Ma 2 1 Mg 2 1 T 1 MaT-Mg 2 根据转动定律，根据转动定律， 对滑轮有对滑轮有 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 已知：如图已知：如图 求：求： m2下落时的角加速度

28、下落时的角加速度 O R1R2 M1M2 m2 m1 m1g m2g T1 T2 应用牛顿运动定律及转动定律可得应用牛顿运动定律及转动定律可得 2222 amTgm 1111 amgmT ) 2 1 2 1 ( 2 22 2 111122 RMRMJRTRT 2 a 1 a 22 11 Ra Ra 2 22 2 2 11 1 1122 ) 2 () 2 ( )( Rm M Rm M gRmRm 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 例例1。匀质圆盘，拉绳的加速度。匀质圆盘，拉绳的加速度=？时正好这盘盘旋在空中不动？时正好这盘盘旋在空中不动 设圆盘的质量设圆盘的质量m,半径半径R 首先它

29、是一个质点系，根据质心运动定理首先它是一个质点系，根据质心运动定理 相对地面静止）( 0 mgT mamgT c 拉力拉力T相对于相对于O点有力矩，点有力矩，mg有力无矩有力无矩 T O 相当于绕固定轴转动，则：相当于绕固定轴转动，则： Ra mRTR ) 2 1 ( 2 ga2 mg 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 例例2。匀质直杆。匀质直杆m，轻绳挂着，每绳的拉力，轻绳挂着，每绳的拉力 瞬间烧断，求瞬间烧断，求T=? mg 2 1 O mg L T=? 根据质心运动定理根据质心运动定理 c maTmg 以以O为轴转动，据转动定理为轴转动，据转动定理 2 ) 3 1 ( 2 2

30、 L a mL L mg c gac 4 3 mgTmgTmg 4 1 4 3 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 刚体刚体定轴转动定律定轴转动定律 MJ 轴外 amF 外 刚体到转轴的转动惯量刚体到转轴的转动惯量 2 i i i Jm r 刚体的刚体的角动量角动量 LJ mvp m 2 2 1 mvEk2 1 2 k EJ 刚体的刚体的转动动能转动动能 2 1 AM d rdFA B A 21kk AEE 动能定理动能定理 刚体的功刚体的功 0 t t IFdt 合外力合外 21 12 21 tL tL MdtdLLL 轴 刚体的角动量定理刚体的角动量定理 0 p p 力学第力学第

31、04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 FrM dt pd r p dt rd pr dt d )(pvpr dt d )( )(pr dt d M 1 .角动量角动量 定义定义: Lrprmv 称为一个质点对参考点称为一个质点对参考点O的质点角动的质点角动 量或质点量或质点动量矩动量矩 sinsinLrpmrv 大小：大小： vmr 决定。决定。方向：由方向：由 m L r p O L r vm 注意：注意：1）为表示是对哪个参考点的角）为表示是对哪个参考点的角 动量，通常将角动量动量，通常将角动量L画在参考点上。画在参考点上。 2）单位：）单位： 12 skgm 3）角动量的定义并没有限定质点只

32、能作曲线运动或不能作直线运动。）角动量的定义并没有限定质点只能作曲线运动或不能作直线运动。 4-3角动量和角动量守恒定律角动量和角动量守恒定律 一一. 质点角动量质点角动量 (动量矩动量矩)角动量守恒定律角动量守恒定律 A 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 例：自由下落质点的角动量例：自由下落质点的角动量 vm r o R r A 任意时刻任意时刻 t， 有有 2 2 1 tgr tgmvmp （1） 对对 A 点的角动量点的角动量 0 3 2 1 ggmtprLA Rrr （2） 对对 O 点的角动量点的角动量 prRprLO )(t gmRpR gR RmgtLO m 力学第力

33、学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 确定质点有无角动量，要看位矢是否存在绕参考点的转动。确定质点有无角动量，要看位矢是否存在绕参考点的转动。 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 质点的质点的角动量定理角动量定理 dL M dt dt Pd F 外 )(pr dt d M Lrprmv 2.质点的角动量定理质点的角动量定理(动量矩定理动量矩定理) (质点动量矩定理的微分形式质点动量矩定理的微分形式) LtM dd 合 12 d 2 1 LLtM t t 合 (质点动量矩定理的积分形式质点动量矩定理的积分形式) 质点所受合力矩的冲量质点所受

34、合力矩的冲量矩矩等于质点的动量等于质点的动量矩矩的增量的增量 r 说明说明 冲量矩是质点动量矩变化的原因冲量矩是质点动量矩变化的原因 质点动量矩的变化是力矩对时间的积累结果质点动量矩的变化是力矩对时间的积累结果 合力的冲量矩合力的冲量矩角动量的增量角动量的增量 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 3. 质点的角动量（动量矩）守恒定律质点的角动量（动量矩）守恒定律 常矢量，则若LM 0 点过 合 OF F M 0 0(1)(1) 守恒条件守恒条件 (2) 有心力的动量矩守恒。有心力的动量矩守恒。 讨论讨论 dL M dt 若对于某一参考点，质点所受合力矩为零，若对于某一参考点，质点所受

35、合力矩为零， 则质点对则质点对该参考点该参考点的角动量保持不变的角动量保持不变 - 质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 dd dd L FtPM t MtL d d LtMPtF t t t t dd 2 1 2 1 00FPML 常矢量常矢量 2 1 t t tF P F d 2 1 t t tM L M d 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 0Mrf 常常矢矢量量 L Lrm v sinsin r Lrmrm t v sin 2 2 rr m t t S m2常量常量 1 sin 2 Srr 2 L S t m = =常量常量

36、 m v r L 行星行星 m v r r S sinr L 太阳太阳 行星行星 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 近近 r 远远 r 近 v 3）、行星近地点速度大，在远地点速度小）、行星近地点速度大，在远地点速度小 v远 远 v v r 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 *4.质点系的角动量定理质点系的角动量定理 mi mj m1 i F j F ji f ij f 0 i r j r 质点系角动量质点系角动量 1 () n iii i LLrp 第i i个质点角动量的时间变化率角动量的时间变化率 () i iiij ij dL rFf dt () iiiij ii

37、ij dL rFrf dt MM 外内 M 外ii i rF M 内 () iij iij rf 0 dL M dt 外 质点系的角动量定理质点系的角动量定理 0M 外 时时 质点系的角动量守恒质点系的角动量守恒 i i LL 常矢量 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 角动量守恒使地球自转轴的方向在空间保持不变角动量守恒使地球自转轴的方向在空间保持不变, 因而产因而产 生了季节变化生了季节变化. 北北 南南 北北 南南 角动量守恒的现象角动量守恒的现象: 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 天体系统的旋转盘状结构天体系统的旋转盘状结构 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体

38、定轴转动 二二.刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律 1. 刚体定轴转动的动量矩刚体定轴转动的动量矩(角动量角动量) r v O 质点对质点对 Z 轴的动量矩轴的动量矩 z 2 mrrmLZv m i m i r i v O 刚体上任一质点对刚体上任一质点对 Z 轴的动量矩为轴的动量矩为 2 iiiZi mrrmLv 且刚体上任一质点对且刚体上任一质点对 Z 轴的动量矩具有轴的动量矩具有 相同的方向相同的方向 i 2 iir m Z J (所有质元对所有质元对 Z 轴的动量矩之和轴的动量矩之和) ZZ JL i v iiiZ rmL Lrprmv 力学第力学第

39、04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 00 t 0 t L L MdtdLJJ MdtdLd(J) 0 t t0 JJMdt 00 t 0 t L L MdtdLJJ MdtdLd(J) d MJJ dt d( J)dL M dtdt 2.刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 )CJ(L.JL ,M dt Ld M 0 0 即即常常量量则则 中中，若若在在 )CJ(L.L ,M dt Ld M 0 0 即即常常量量则则 中中，若若在在 0 t t0 JJMdt 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 00 JJ, 00 0 则时，当,

40、JJM 0 dL MM, dt JC 在中，若 tJrm kk 2 常量tJ tJ tJ 花样滑冰、跳水、芭蕾舞等。花样滑冰、跳水、芭蕾舞等。 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 茹可夫斯基转椅 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 克服直升飞机机身反转的措施：克服直升飞机机身反转的措施： 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 l M O2 3 1 Ml m 0 v A 3 2l OA 5.16长为长为、质量为、质量为的匀质杆可绕通过杆一端的匀质杆可绕通过杆一端 的水平光滑固定轴转动，转动惯量为的水平光滑固定轴转动，转动惯量为 ，开始时杆竖直下垂，如图所示，有一质量为

41、，开始时杆竖直下垂，如图所示，有一质量为 的子弹以水平速度的子弹以水平速度射入杆上射入杆上点，并嵌在杆中，点，并嵌在杆中， ，则子弹射入后瞬间杆的角速度，则子弹射入后瞬间杆的角速度 _。 0 v A O 2l/3 m lmM /34 6 0 v 2 1 2 202 3 1 ) 3 2 ( 3 2 lmlmlvm lmm v )/34( 6 21 0 解：根据角动量守恒解：根据角动量守恒 可得可得 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 *4-6 进动进动 据刚体的角动量定理有据刚体的角动量定理有: M dt Ld Ld 同方向同方向 M 重力矩重力矩 c Mrmg 式中式中: c r 是

42、陀螺质心的位置矢量是陀螺质心的位置矢量, 与自转轴同向与自转轴同向, 故与故与 L 平行平行 dt 时间内时间内, L 的变化为的变化为:dLM dt 把自转轴绕一竖直轴的这种转动把自转轴绕一竖直轴的这种转动, 称为旋进或进动称为旋进或进动. z r sin M gm rc L z L sin M d dL (a)(b) (c) 与与 LdL Ld 只改变只改变 方向而不改变其大小方向而不改变其大小 L 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 2 iir mJ dmrJ 2 或或 第第4章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 习题课习题课 1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 t 0 2 0 2

43、 1 tt 2 2 0 2 JLz 3 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律 dt dL M z z JM z 2 刚体的转动惯量刚体的转动惯量 dt d dt d vr rat 2 ran FrM z 4 刚体的刚体的角动量定理角动量定理 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 2 2 1 JEk 刚体定轴转动动能刚体定轴转动动能: 5 刚体转动的功和能刚体转动的功和能 6 对定轴的角动量守恒对定轴的角动量守恒 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理: 合外力矩对一个绕固定轴转动的刚合外力矩对一个绕固定轴转动的刚 体作的功等于刚体转动动能的增量。体作的功等于刚体转动动能的增量。

44、对于一个质点系（包括刚体），如果它受的对某一固定轴的合对于一个质点系（包括刚体），如果它受的对某一固定轴的合 外力矩为零，则它对此固定轴的总角动量保持不变。外力矩为零，则它对此固定轴的总角动量保持不变。 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 JJdMA 轴轴 外外 JLz vmrL 21 LL 0M 轴合外 当时 2211 JJ 恒量 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 标准化作业（标准化作业（7） 一、选择题一、选择题 1.均匀细棒均匀细棒OA可绕通过其一端可绕通过其一端O而与棒垂直的水而与棒垂直的水. 平固定光滑轴转动，如图所示今使棒从水平位置由平固定光滑轴转动，如图所示今使棒

45、从水平位置由 静止开始自由下落，在棒摆动到竖直位置的过程中，静止开始自由下落，在棒摆动到竖直位置的过程中， 下述说法哪一种是正确的？下述说法哪一种是正确的？ (A) 角速度从小到大，角加速度从大到小角速度从小到大，角加速度从大到小 (B) 角速度从小到大，角加速度从小到大角速度从小到大，角加速度从小到大 (C) 角速度从大到小，角加速度从大到小角速度从大到小，角加速度从大到小 (D) 角速度从大到小，角加速度从小到大角速度从大到小，角加速度从小到大 OA 2.关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是 （A）只取决于刚体的质量）只取决于刚体的质量,与质

46、量的空间分布和轴的位置无关与质量的空间分布和轴的位置无关 （B）取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关）取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关 （C）取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置）取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置 （D）只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关）只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关 A C 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 二、填空题二、填空题 3. 3. 如图所示，如图所示，P、Q、R和和S是附于刚性轻质细杆是附于刚性轻质细杆 上的质量分别为上的质量分别为4m、3m、2m和和m的四个质点，的四

47、个质点， PQQRRSl，则系统对，则系统对 O O 轴的转动惯量为轴的转动惯量为_ R P S R Q R O O 4.一作定轴转动的物体，对转轴的转动惯量一作定轴转动的物体，对转轴的转动惯量J3.0 kgm2， 角速度角速度06.0 rad/s现对物体加一恒定的制动力矩现对物体加一恒定的制动力矩M 12 Nm， 当物体的角速度减慢到当物体的角速度减慢到 2.0 rad/s时，物体已转过了角度时，物体已转过了角度 _ 50ml 2 4.0 rad 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 5.如图所示，一个质量为如图所示，一个质量为m的物体与绕在定滑轮的物体与绕在定滑轮 上的绳子相联，绳

48、子质量可以忽略，它与定滑上的绳子相联，绳子质量可以忽略，它与定滑 轮之间无滑动假设定滑轮质量为轮之间无滑动假设定滑轮质量为M、半径为、半径为R， 其转动惯量为其转动惯量为 ， 滑轮轴光滑试求该滑轮轴光滑试求该 2 2 1 MR 物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系 三、计算题三、计算题 m M R 解：根据牛顿运动定律和转动定律列方程解：根据牛顿运动定律和转动定律列方程 对物体：对物体： mgT ma 3分分 对滑轮：对滑轮： 3分分 运动学关系：运动学关系： 2分分 T M R T mg a 将、式联立得将、式联立得 M) 2 1

49、mg/(ma v00， M) 2 1 mgt/(mata JTR ar 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 5质量分别为质量分别为m和和2m、半径分别为、半径分别为r和和2r的两个均匀圆盘，同轴地的两个均匀圆盘，同轴地 粘在一起，可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对粘在一起，可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对 转轴的转动惯量为转轴的转动惯量为9mr2 / 2，大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下端都，大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下端都 挂一质量为挂一质量为m的重物，如图所示求盘的角加速度的大小的重物，如图所示求盘的角加速度的大小 三、计算题三、计算题 m r m

50、m 2m 2r T2 a2 T1 2 P 1 P a1 解：受力分析如图解：受力分析如图 mgT2 = ma2 T1mg = ma1 T2 (2r)T1r = 9mr2 / 2 2r = a2 r = a1 解上述解上述5个联立方程，得：个联立方程，得： r g 19 2 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 标准化作业（标准化作业（8） D 一、选择题一、选择题 1.1.花样滑冰运动员绕通过自身的竖直轴转动，开始时两臂伸开，花样滑冰运动员绕通过自身的竖直轴转动，开始时两臂伸开， 转动惯量为转动惯量为J J0 0，角速度为，角速度为 然后她将两臂收回，使转动惯量减然后她将两臂收回，使转

51、动惯量减 少为少为 3 1 J J0 0这时她转动的角速度变为这时她转动的角速度变为 3 1 0 (B) 3/ 1 3 (A) (C) 0 0(D) 3 0 0 2.一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的光滑固定轴一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的光滑固定轴O以角速度以角速度按图示按图示 方向转动方向转动.若如图所示的情况那样，将两个大小相等方向相反但若如图所示的情况那样，将两个大小相等方向相反但 不在同一条直线的力不在同一条直线的力F沿盘面同时作用到圆盘上，则圆盘的沿盘面同时作用到圆盘上，则圆盘的 角速度角速度 O F F (A) 必然增大必然增大 (B) 必然减少必然减少 (C) 不会改变不会改变 (D)

52、 如何变化，不能确定如何变化，不能确定 A 解：虽然两个力的大小相等方向相反，但不在同一条直线上，所以两个力所产生的力矩不解：虽然两个力的大小相等方向相反，但不在同一条直线上，所以两个力所产生的力矩不 相等，圆盘的角速度必然改变，由图可见左边的力产生的力矩大，所以圆盘角速度增大。相等，圆盘的角速度必然改变，由图可见左边的力产生的力矩大，所以圆盘角速度增大。 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 二、填空题二、填空题 4.质量为质量为m、长为、长为l的棒，可绕通过棒中心且与棒垂直的竖直光滑固的棒，可绕通过棒中心且与棒垂直的竖直光滑固 定轴定轴O在水平面内自由转动在水平面内自由转动(转动惯

53、量转动惯量Jm l 2 / 12) 开始时棒静止，现有一子弹，质量也是开始时棒静止，现有一子弹，质量也是m，在水平，在水平 面内以速度面内以速度v0垂直射入棒端并嵌在其中则子弹嵌垂直射入棒端并嵌在其中则子弹嵌 入后棒的角速度入后棒的角速度 _ m O m l 0 v 俯视图 3v0 / (2l) ) 412 ( 2 22 0 mlmlmlv 3. 一飞轮以角速度一飞轮以角速度 0绕光滑固定轴旋转，飞轮对轴的转动惯量绕光滑固定轴旋转，飞轮对轴的转动惯量 为为J1；另一静止飞轮突然和上述转动的飞轮啮合，绕同一转轴；另一静止飞轮突然和上述转动的飞轮啮合，绕同一转轴 转动，该飞轮对轴的转动惯量为前者的

54、二倍啮合后整个系转动，该飞轮对轴的转动惯量为前者的二倍啮合后整个系 统的角速度统的角速度 _ 0 3 1 101 3JJ 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 三、计算题三、计算题 6一根放在水平光滑桌面上的匀质棒，可绕通过其一端的竖直固定光滑轴一根放在水平光滑桌面上的匀质棒，可绕通过其一端的竖直固定光滑轴O转动转动 棒的质量为棒的质量为m = 1.5 kg，长度为，长度为l = 1.0 m，对轴的转动惯量为，对轴的转动惯量为J = 2 3 1 ml 初始时棒静止今有一水平运动的子弹垂直地射入棒的另一端，初始时棒静止今有一水平运动的子弹垂直地射入棒的另一端， 并留在棒中，如图所示子弹的

55、质量为并留在棒中，如图所示子弹的质量为m m = = 0.020 kg0.020 kg，速率为，速率为 v v = = 400 ms400 ms-1 -1试问： 试问： (1) (1) 棒开始和子弹一起转动时角速度棒开始和子弹一起转动时角速度 有多大？有多大？ (2) (2) 若棒转动时受到大小为若棒转动时受到大小为MrMr = 4.0 Nm = 4.0 Nm的恒定的恒定 阻力矩作用，棒能转过多大的角度阻力矩作用，棒能转过多大的角度 ？ m, l O v m 5 5解：解：(1) (1) 角动量守恒：角动量守恒： 22 3 1 lmmllm v lmm m 3 1 v 15.4 rads15.

56、4 rads-1 -1 (2) ) 3 1 ( 22 lmmlM r 20 2 r M lmm 2 3 1 22 15.4 rad 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 一、选择题一、选择题 1. 关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是 （A）只取决于刚体的质量）只取决于刚体的质量,与质量的空间分布和轴的位置与质量的空间分布和轴的位置 无关无关 （B）取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无）取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无 关关 （C）取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置）取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位

57、置 （D）只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分）只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分 布无关布无关 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 二、填空题二、填空题 1.1.有一半径为有一半径为R R的匀质圆形水平转台，可绕通过盘心的匀质圆形水平转台，可绕通过盘心O O 且垂直于盘面的竖直固定轴且垂直于盘面的竖直固定轴OOOO转动，转动惯量为转动，转动惯量为J J 台上有一人，质量为台上有一人，质量为m m当他站在离转轴当他站在离转轴r r处时处时( (r rR R) )， 转台和人一起以转台和人一起以 的角速度转动，如图若转轴处摩的角速度转动，如图若转轴处摩 擦可以忽略

58、，问当人走到转台边缘时，转台和人一起擦可以忽略，问当人走到转台边缘时，转台和人一起 转动的角速度转动的角速度 _ O r 1 O 2 2 1 2 mRJ mrJ 1 根据角动量守恒根据角动量守恒 )()( 2 1 2 mRJmrJ 可得可得 3.半径为半径为r1.5 m的飞轮，初角速度的飞轮，初角速度010 rad s-1，角加速度，角加速度 5 rad s-2，则在，则在t_时角位移为零，而此时边缘时角位移为零，而此时边缘 上点的线速度上点的线速度v_ 4.一可绕定轴转动的飞轮，在一可绕定轴转动的飞轮，在20 Nm的总力矩作用下，在的总力矩作用下，在10s内转内转 速由零均匀地增加到速由零均

59、匀地增加到8 rad/s，飞轮的转动惯量，飞轮的转动惯量J_ 4 s 15 ms-1 25 kgm2 标准化作业（标准化作业（9） 力学第力学第04章刚体定轴转动章刚体定轴转动 m R O 0 v 2 2 1 MR 5.一质量均匀分布的圆盘，质量为一质量均匀分布的圆盘，质量为M，半径为，半径为R，放在一粗糙水平面上，放在一粗糙水平面上(圆盘与圆盘与 水平面之间的摩擦系数为水平面之间的摩擦系数为 )，圆盘可绕通过其中心，圆盘可绕通过其中心O的竖直固定光滑轴转的竖直固定光滑轴转 动开始时，圆动开始时，圆盘静止，一质量为盘静止，一质量为m的的 子弹以水平速度子弹以水平速度v0垂直于圆盘半径打入圆盘边

60、缘并嵌在垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在 盘边上，求盘边上，求 (1) 子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度 (2) 经过多少时间后，圆盘停止转动经过多少时间后，圆盘停止转动 (圆盘绕通过圆盘绕通过O的竖直轴的转动惯量为的竖直轴的转动惯量为 ，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩) 三、计算题三、计算题 解：解：(1) 以子弹和圆盘为系统，在子弹击中圆盘过程中，对轴以子弹和圆盘为系统，在子弹击中圆盘过程中，对轴O的的 角动量守恒角动量守恒 )mRMR 2 1 (Rmv 22 0 RmM 2 1 m 0 v (2) 设设表示圆盘单位面积的质量，可