2025北京一零一中高二(上)期中数学试题及答案

高中2025北京一零一中高二（上）期中数学（本试卷满分120分，考试时间100分钟）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.2.已知向量与向量垂直，则实数x的值为（）A.﹣1 B.1 C.﹣6 D.63.圆和圆的位置关系为（）A.内切 B.相交C.外切 D.外离4.已知点是圆上的动点，则直线的斜率的取值范围是（）A. B.C. D.5.如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，E是MN的三等分点，且，用向量表示为（）A. B.C. D.6.如图，在正方体中，分别是的中点．用过点且平行于平面的平面去截正方体，得到的截面图形的面积为（）A. B. C. D.7.已知直线，，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知在正方体中，，是正方形及其内部的动点，，则满足条件的点构成的图形的面积等于（）A. B. C. D.9.如图，已知正三棱柱，E，F分别是棱上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（）A. B. C. D.10.在平面直角坐标系中，对于定点，记点集中距离原点最近的点为．当点在曲线上运动时，点轨迹的长度为（）A. B. C. D.二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11.已知空间中三个点，，共线，则___________．12.如图，已知分别是空间四边形对角线的中点，若，则与所成角的大小为___________．13.过点且与圆相切的直线的方程为________.14.如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，，．若点是线段上的动点，则满足的点的个数是___________．15.已知点，过点作直线的垂线，垂足为，则的最大值为___________．16.如图，正方体的棱长为2，动点，在棱上且，动点，分别在棱上（均不与点重合）．给出以下四个结论：①直线与直线所成角的范围是；②四面体体积的最大值为；③当且为中点时，线段上一点到直线的距离的最小值为；④当且分别为中点时，若空间中一个动点满足，则的最小值为5．其中所有正确结论的序号为___________．三、解答题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.已知圆的方程为．（1）求圆的圆心及半径；（2）若直线经过点，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使直线存在且唯一确定，求直线的方程．条件①：被圆所截得的弦长最长；条件②：被圆所截得的弦长最短；条件③：被圆所截得的弦长为8．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18.如图，在三棱柱中，侧面是正方形，平面，点是线段的中点，点在线段上，满足平面．（1）求证：是线段的中点；（2）求二面角的余弦值；（3）求点到平面的距离．19.如图，直角三角形和等边三角形所在平面互相垂直，，点是直线上的动点．（1）设为的中点，求证：；（2）若直线和平面所成角的正弦值为，求的值；（3）设点是直线上的动点，求线段的长度的最小值．20.设集合．若的子集不含两个相邻的正整数，则称该子集为的“孤立子集”．（1）写出的所有“孤立子集”；（2）求的“孤立子集”个数；（3）设集合的“孤立子集”个数为，求证：当时，.

参考答案（本试卷满分120分，考试时间100分钟）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．12345678910BBCBDBADAD二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．1112131415164或2②③④三、解答题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.【答案】（1）由圆的方程整理可得，所以圆心为，半径为．（2）选择条件①：若直线被圆所截得的弦长最长，则直线应过圆心，即直线过点和，所以直线的斜率为，则直线的方程为．选择条件②：若直线过点被圆所截得的弦长最短，则直线应与CA垂直，又，所以.故直线方程为，即．选择条件③：由条件②可知，弦长最短时，直线应与CA垂直，直线方程为，此时圆心到直线l的距离，截得的最短弦长为，由于，所以不存在满足条件的直线．18.【答案】（1）在中，过点N作交BC于点Q，连接QM，如图：在三棱柱中，因为，所以，所以，N，Q，M四点共面．因为直线平面，平面，平面平面，所以．所以四边形是平行四边形．所．所以为的中点．（2）因平面，平面，所以，，又因为正方形，，故可以B为原点，BA，，BC所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如下图：因为，所以，，，，，，所以，．设平面的一个法向量为，由得，取，得．易知平面的法向量.，由图可知二面角是钝角，所以二面角的余弦值为.（3）由（1）知是线段的中点，所以，又，则点到平面的距离为.19.【答案】（1）因为平面平面，且平面平面，，所以平面，又平面，所以，又因为三角形是等边三角形，且为的中点，所以，又，所以平面，又平面，所以，（2）取线段AB的中点O，BC的中点F，连接OD,OF，则，，由（1）知平面，则平面，所以，建立如图所示空间直角坐标系：设，，则，所以，则，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，所以，因为直线和平面所成角的正弦值为，所以，即，解得或舍去，所以；（3）设，由（2）知：，当直线是异面直线和的公垂线时，线段最短，则，即，解得，则，此时，所以线段的长度的最小值为.20.【答案】（1）由题意可知，则的孤立子集有，的孤立子集有.（2）设集合的“孤立子集”个数为，对于的“孤立子集”可分为两类，一类为不包含的孤立子集，等价于的孤立子集个数，另一类为包含，但不包含的孤立子集，等价于的孤立子集个数，可得；由（1）可知，则，，，，，；（3）由（2）可知，且，猜想，当时，