第2章 2.2.1 第2课时

1、第2课时圆的一般方程 第2章2.2.1圆的方程 学习目标 1.掌握圆的一般方程及其特点. 2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心 的位置和半径的大小. 3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程. 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点圆的一般方程 思考思考方程x2y22x4y10，x2y22x4y60分别表示什 么图形？ 答案答案对方程x2y22x4y10配方，得(x1)2(y2)24， 表示以(1，2)为圆心，2为半径的圆， 对方程x2y22x4y60配方，得(x1)2(y2)21，不表示 任何图形. 表示以 为圆心， 以 为半径的圆 梳理梳理

2、方程条件图形 x2y2DxEyF0 D2E24F0 思考辨析 判断正误 1.圆的一般方程可以化为圆的标准方程.() 2.二元二次方程x2y2DxEyF0一定是某个圆的方程.() 3.若方程x2y22xEy10表示圆，则E0.() 题型探究 命题角度命题角度1圆的一般方程的概念圆的一般方程的概念 例例1若方程x2y22mx2ym25m0表示圆，求实数m的取值范围， 并写出圆心坐标和半径. 类型一圆的一般方程 解解由表示圆的条件， 得(2m)2(2)24(m25m)0， 解答 反思与感悟反思与感悟形如x2y2DxEyF0的二元二次方程，判定其是否 表示圆时可有如下两种方法 (1)由圆的一般方程的定

3、义，若D2E24F0成立，则表示圆，否则不表 示圆. (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解. 应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2y2DxEyF0这种 标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解. 跟踪训练跟踪训练1(1)已知aR，方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆， 则圆心坐标为_，半径为_. (2，4)5 解析解析由圆的一般方程的形式知，a2a2，得a2或1. a2不符合题意. 当a1时，方程可化为x2y24x8y50， 即(x2)2(y4)225， 圆心坐标为(2，4)，半径为5. 答案解析 (2)点M，N在圆x2y2kx2y40上，且点M，N关于直线xy1 0对

4、称，则该圆的面积为_. 9 由圆的性质知，直线xy10经过圆心， 答案解析 该圆的面积为9. 命题角度命题角度2求圆的一般方程求圆的一般方程 例例2已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，1). (1)求ABC的外接圆的方程； 解答 解解设ABC外接圆的方程为x2y2DxEyF0， 即ABC的外接圆的方程为x2y28x2y120. (2)若点M(a,2)在ABC的外接圆上，求a的值. 解答 解解由(1)知，ABC的外接圆的方程为x2y28x2y120， 点M(a,2)在ABC的外接圆上， a2228a22120， 即a28a120，解得a2或6. 引申探究引申探究 若本例中将条件改为“圆C过A

5、，B两点且圆C关于直线yx对称”， 其他条件不变，如何求圆C的方程？ 解答 反思与感悟反思与感悟应用待定系数法求圆的方程时应注意： (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列 方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r. (2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程， 再用待定系数法求出常数D，E，F. 跟踪训练跟踪训练2已知一圆过P(4，2)，Q(1,3)两点，且在y轴上截得的线 段长为4 ，求圆的方程. 解答 解解方法一方法一(待定系数法) 设圆的方程为x2y2DxEyF0， 将P，Q的坐标分别代入上式， 令x0，得y2EyF0，

6、|y1y2|2(y1y2)2(y1y2)24y1y2E24F48. 故圆的方程为x2y22x120或x2y210 x8y40. 方法二方法二(几何法) 由题意得线段PQ的垂直平分线方程为xy10， 所求圆的圆心C在直线xy10上， 设其坐标为(a，a1). 解得a11，a25， 故圆的方程为(x1)2y213或(x5)2(y4)237. 类型二圆的方程在实际生活中的应用 例例3如图所示，一座圆拱桥，当水面在l位置时，拱顶离水面2米，水 面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？ 解答 解解以圆拱桥拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y轴， 建立平面直角坐标系，如图所示. 设圆心为C，水面所在

7、弦的端点为A，B， 则由已知得A(6，2). 设圆的半径为r，则C(0，r)， 即圆的方程为x2(yr)2r2. 将点A的坐标(6，2)代入方程， 得36(r2)2r2，r10. 圆的方程为x2(y10)2100. 当水面下降1米后，可设点A的坐标为(x0，3)(x00)， 将点A的坐标(x0，3)代入方程，得x0 ， 当水面下降1米后，水面宽为2x02 米. 反思与感悟反思与感悟本类题一般是用解析法解决实际问题.解析法解决实际问 题的步骤：建系、设点、列式、计算、总结. 跟踪训练跟踪训练3已知隧道的截面是半径为4 m的半圆，车辆只能在道路中心 线一侧行驶，一辆宽为3 m，高为3.5 m的货车

8、能不能驶入这个隧道？ 解解如图，以某一截面半圆的圆心为坐标原点， 半圆的直径AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系， 那么半圆的方程为x2y216(y0)， 解答 即在离中心线3 m处，隧道的高度低于货车的高度. 因此，该货车不能驶入这个隧道. 类型三求动点的轨迹问题 例例4已知动点M到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半. (1)求动点M的轨迹方程； 解答 解解设动点M(x，y)为轨迹上任意一点， 由两点间的距离公式知， 平方后再整理，得x2y216. 可以验证，这就是动点M的轨迹方程. (2)若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹. 解答 解解设动点N的坐标为(x，y)，M

9、的坐标为(x1，y1). 由于A(2,0)，且N为线段AM的中点， 由(1)知，M是圆x2y216上的点， 将代入整理，得(x1)2y24. 所以N的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆. 反思与感悟反思与感悟求轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当的平面直角坐标系，用有序实数对(x，y)表示动点P的坐标. (2)写出适合条件的点P的集合MP|M(P). (3)用坐标表示条件M(P)，列出方程f(x，y)0. (4)化方程f(x，y)0为最简形式. (5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 解解设P(x，y)，圆P的半径为r. 由题设得y22r2，x23r2，从而y22x23. 故

10、圆心P的轨迹方程为y2x21. 解答 解答 故圆P的方程为x2(y1)23或x2(y1)23. 达标检测 答案 12345 1.圆2x22y26x4y30的圆心坐标和半径分别为_. 解析 答案解析 2.若方程x2y2xym0表示圆，则实数m的取值范围是_. 12345 解析解析由x2y2xym0表示圆， 得D2E24F1(1)24m0， 答案 12345 xy30 解析 3.M(3,0)是圆x2y28x2y100内一点，过点M的最长弦所在的直线 方程是_. 解析解析过点M的最长弦应为过点M的直径所在的直线.易得圆的圆心为 (4,1)， 答案解析 4.若圆x2y22x4ym0的直径为3，则m的值为_. 12345 12345 5.点P(4，2)与圆x 2 y 2 4上任一点连线的中点的轨迹方程是 _. 解析解析设圆上任一点的坐标为(x0，y0)， (x2)2(y1)21 答案解析 1.圆的一般方程x2y