数独初步知识学习

1、数数 独独 智者的游戏 什么是数独什么是数独 数独是一种填数游戏数独是一种填数游戏,要求在由要求在由 9 个九宫格合成的个九宫格合成的 99 的正方形方格中的空白格子中填入合适的数字的正方形方格中的空白格子中填入合适的数字,使得图中的使得图中的 每一行、每一列、每一个九宫格中都是每一行、每一列、每一个九宫格中都是 19 九个不重复的九个不重复的 数字。有难度各不相同的题目，主要锻炼、考查逻辑推理能数字。有难度各不相同的题目，主要锻炼、考查逻辑推理能 力。如力。如: 为了便于叙述为了便于叙述,我们需要把每一个格子确定坐标我们需要把每一个格子确定坐标: a b c d e f g h i A B

2、C D E F G HI 比如比如,格子格子 Ac 是指是指:格子格子 Gh 是指是指: 下面我们将通过实例下面我们将通过实例,由浅入深地介绍怎样填数独。由浅入深地介绍怎样填数独。 先看前面点那道题目先看前面点那道题目: “图中的每一行、每一列、每一个九宫格中都是图中的每一行、每一列、每一个九宫格中都是 19 九个不重复的数字。九个不重复的数字。” 既是数独题目的要求既是数独题目的要求, 也是考虑数独题目的依据。也是考虑数独题目的依据。 一般地一般地,我们是自上而我们是自上而 下下,自左向右地考虑自左向右地考虑; 一般地一般地,一次要考虑一次要考虑 3 行行,也就是一个九宫格也就是一个九宫格;

3、 一般地一般地,是从是从 1 到到 9 按按 照顺序考虑照顺序考虑; 我们先看最上边的我们先看最上边的黄黄蓝蓝红红 3 个九宫格个九宫格: 从从 1 开始考虑开始考虑: 说明黄九宫格中应该有一个说明黄九宫格中应该有一个 1 ,并且只能在并且只能在C行行【Cc 格格】: 1 再看再看 2 : 说明蓝九宫格中应该有一个说明蓝九宫格中应该有一个 2 并且只能在并且只能在A行行【Ae 格格】: 2 再看再看 3 : 说明黄九宫格中应该有一个说明黄九宫格中应该有一个 3 并且只能在并且只能在B行行【Ba 格格】: 3 再看再看 4 : 说明蓝九宫格中的说明蓝九宫格中的 4 应该在应该在C 行行【Cd、C

4、e或者或者Cf】: 看看 d 列列 : 但是还是无法确定是在但是还是无法确定是在 Ce 格还是格还是 Cf 格格; 5 、6、7、8、9 都无法确定都无法确定; 回头我们看黄九宫格回头我们看黄九宫格,只有只有 Aa 和和 Ab 两个格空了两个格空了: 缺的是缺的是 6 和和 8 ; 6 8 再看再看 A 行行,只缺只缺 5 和和 9 了了; 59 BC行行,缺的较多缺的较多,无法确定无法确定; 接下来看中间的接下来看中间的 3 个九宫格个九宫格: 1 、2、3 线索少线索少,无法确定无法确定; 看看 4 ,它不能出现在它不能出现在:所以所以: 4 Ea 和和 Ec 无法确定无法确定; 无法确定

5、是在无法确定是在 Ce 格还是格还是 Cf 格格; 5 、6、7、8、9 都无法确定都无法确定; 回头我们看黄九宫格回头我们看黄九宫格,只有只有 Aa 和和 Ab 两个格空了两个格空了: 缺的是缺的是 6 和和 8 ; 6 8 再看再看 A 行行,只缺只缺 5 和和 9 了了; 59 BC行行,缺的较多缺的较多,无法确定无法确定; 接下来看中间的接下来看中间的 3 个九宫格个九宫格: 1 、2、3 线索少线索少,无法确定无法确定; 看看 4 ,它不能出现在它不能出现在:所以所以: 4 Ea 和和 Ec 无法确定无法确定; 再看再看 5 ,它不能出现在它不能出现在: 无法确定无法确定;6 也无法

6、确定也无法确定; 看看 7,它不能出现在它不能出现在:8 无法确定无法确定; 我们看我们看 9 : 6 8 59 所以所以: 4 7 4 看看 7,它不能出现在它不能出现在:8 无法确定无法确定; 我们看我们看 9 : 它不能出现在它不能出现在: 6 8 现在看缺数最少的现在看缺数最少的 b 列列,只缺只缺 1 了了; 59 接下来看下面的接下来看下面的 3 个九宫格个九宫格: 1 不能排在不能排在: 所以所以: 4 7 9 所以所以: 9 1 所以所以: 1 无法确定无法确定 Gd、Ge; 看看 7,它不能出现在它不能出现在:8 无法确定无法确定; 我们看我们看 9 : 它不能出现在它不能出

7、现在: 6 8 现在看缺数最少的现在看缺数最少的 b 列列,只缺只缺 1 了了; 59 接下来看下面的接下来看下面的 3 个九宫格个九宫格: 1 不能排在不能排在: 再看再看 2 ,它不能出现在它不能出现在: 所以所以: 4 再看再看 Ih 和和 Ii 应该填应该填 7 和和 8; 再看再看 h 列列 ,缺缺 1: 再看再看 I 行行,缺缺 4 和和 5 : 无法确定无法确定; 7 9 所以所以: 9 1 所以所以: 1 所以所以: 2 78 1 灰灰九宫格中的九宫格中的 2 无法确定无法确定; 接下来看下面接下来看下面 3 个九宫格中的个九宫格中的 4 ,它暂时无法确定它暂时无法确定; 所以

8、所以: 现在看左下角的橙红九宫格现在看左下角的橙红九宫格,缺缺 4 和和 8 : 接下来看竖方向上左面的接下来看竖方向上左面的 3 个九宫格个九宫格,玫瑰红玫瑰红格中格中: 1 无法确定在无法确定在 Da、Ea; 2 无法确定在无法确定在 Da、Ea、Fa; 看看 5,它不能排在它不能排在: 4 可以确定可以确定: 6 8 59 4 7 9 9 1 1 2 78 1 5 8 4 3 无法确定在无法确定在 Dc、Ec、Fc; 4 6 无法确定在无法确定在 Dc、Fc; 8 无法确定在无法确定在 Ea、Fa; 接下来看下面接下来看下面 3 个九宫格中的个九宫格中的 4 ,它暂时无法确定它暂时无法确

9、定; 所以所以: 现在看左下角的橙红九宫格现在看左下角的橙红九宫格,缺缺 4 和和 8 : 接下来看竖方向上中间的接下来看竖方向上中间的 3 个九宫格个九宫格: 此时可以先看一下右上角此时可以先看一下右上角 的的红色红色九宫格九宫格,缺缺6和和7; 绿绿格中格中 1、2、3 都无法确定都无法确定; 看看 5,它不能排在它不能排在: 灰灰格中格中 4 可以确定可以确定: 6 8 59 4 7 9 9 1 1 2 78 1 5 8 4 4 6 7 灰灰格中格中 1、2 都无法确定都无法确定; 4 蓝蓝格中的格中的 4 也可以确定了也可以确定了: 4 C 行的行的 5、6 可以确定可以确定: 5 6

10、 绿绿格中格中 6 可以确定可以确定:灰灰格中的格中的 5 无法确定无法确定; 现在现在蓝蓝格中缺格中缺 7、8、9 ,Bf 不可能是不可能是 7 或者或者 9, 故为故为 8; 6 8 59 4 7 9 9 1 1 2 78 1 5 8 4 4 6 7 4 4 5 6 6 8 现在看现在看 f 列列,其中缺其中缺 2、5 ,可以确定可以确定; 2 5 再看再看 H 行行,其中缺其中缺 7、8 , 可以确定可以确定; 7 8 再看再看 B 行行,其中缺其中缺 7、9 , 可以确定可以确定; 79 再看再看 G 行行,其中缺其中缺 1、9 , 可以确定可以确定; 1 9 d 列缺列缺 2 ; 2

11、 现在看现在看 E 行行,缺缺 1、3、8 , 3 可以确定可以确定; 3 此时此时 8、1 也就确定了也就确定了; 现在看现在看 a 列列,其中缺其中缺 2、8 ,可以确定可以确定; 6 8 59 4 7 9 9 1 1 2 78 1 5 8 4 4 6 7 4 4 5 6 6 8 2 5 7 8 79 1 9 2 381 2 8 1 现在看现在看 c 列列,其中缺其中缺 3、6 ,无法确定无法确定; 再看再看 e 列列,其中缺其中缺 1、5 , 可以确定可以确定; 5 5 再看再看 g 列列,其中缺其中缺 5、6 , 可以确定可以确定; 6 再看再看 i 列列,其中缺其中缺 2、3 , 可

12、以确定可以确定; 2 3 再看再看 c 列列,其中缺其中缺 3、6 , 可以确定可以确定; 3 6 完成了完成了,检查一下。检查一下。 数独初级技巧数独初级技巧:直观法直观法 1、常用直观法一、常用直观法一:单元限定法单元限定法 这里的单元这里的单元,指某一行、或者某一列、或者某一个小九指某一行、或者某一列、或者某一个小九 宫格。如前面的宫格。如前面的 A 行、行、d 列、列、红红九宫格。九宫格。 如果在某一单元中如果在某一单元中,只有一个空格，那么它应该填入的只有一个空格，那么它应该填入的 数字是显而易见的。这就叫数字是显而易见的。这就叫“单元限定法单元限定法”。 如如: 1 2 3 4 5

13、 6 7 8 7 5 8 2 4 9 6 9 6 8 9 4 3 2、常用直观法二、常用直观法二:单元排除法单元排除法 如果在某一单元中如果在某一单元中,不只有一个空格不只有一个空格,但是考虑填入某但是考虑填入某 一个数字时，除一个数字时，除某个格某个格以外的其它格，是不可能填入该数的以外的其它格，是不可能填入该数的 那么此数就可以确定应该那么此数就可以确定应该 填在填在此格此格中。中。 这就叫这就叫“单元排除法单元排除法” 如如: 1 16 6 6 6 84 4 4 4 9 9 3 3 3 5 5 5 7 7 7 2 2 2 271 考虑往考虑往橙橙色九宫格中填色九宫格中填 入入 2: 橙橙

14、色九宫格中一共有色九宫格中一共有 6 个空格。但是个空格。但是 2 不可能不可能 填入填入:所以所以,只能填入只能填入: 2 2、常用直观法二、常用直观法二:单元排除法单元排除法 如果在某一单元中如果在某一单元中,不只有一个空格不只有一个空格,但是考虑填入某但是考虑填入某 一个数字时，除一个数字时，除某个格某个格以外的其它格，是不可能填入该数的以外的其它格，是不可能填入该数的 那么此数就可以确定应该那么此数就可以确定应该 填在填在此格此格中。中。 这就叫这就叫“单元排除法单元排除法” 如如: 1 16 6 6 6 84 4 4 4 9 9 3 3 3 5 5 5 7 7 7 2 2 2 271

15、 考虑往考虑往 C 行中填入行中填入 4: C 行中一共有行中一共有 4 个空格。个空格。 但是但是 4 不可能填入不可能填入: 所以所以,只能填入只能填入: 4 “单元排除法单元排除法”是使用最频繁的方法是使用最频繁的方法: 横看竖横看竖,竖看横竖看横,九宫格看竖与横。九宫格看竖与横。 3、常用直观法三、常用直观法三:区块排除法区块排除法 类似于单元排除法类似于单元排除法,而稍复杂一些。它基于以下看法而稍复杂一些。它基于以下看法: 如果某个数填入某个九宫格中时如果某个数填入某个九宫格中时,可能的位置恰好在同一可能的位置恰好在同一 行上，因为此数必须填入此九宫格，所以，这一行上不在行上，因为此

16、数必须填入此九宫格，所以，这一行上不在 此九宫格中的空格，就不可能填入此数此九宫格中的空格，就不可能填入此数; 如果某个数填入某个九宫格中时，可能的位置恰好在同一如果某个数填入某个九宫格中时，可能的位置恰好在同一 列上，因为此数必须填入此九宫格，所以，这一列上不在列上，因为此数必须填入此九宫格，所以，这一列上不在 此九宫格中的空格，就不可能填入此数此九宫格中的空格，就不可能填入此数; 如果某个数填入某行中时，可能的位置恰好在同一个九宫如果某个数填入某行中时，可能的位置恰好在同一个九宫 格中，因为此数必须填入此行，所以，这个九宫格中不在格中，因为此数必须填入此行，所以，这个九宫格中不在 此行上的

17、空格，就不可能填入此数；此行上的空格，就不可能填入此数； 如果某个数填入某列中时，可能的位置恰好在同一个九宫如果某个数填入某列中时，可能的位置恰好在同一个九宫 格中，因为此数必须填入此列，所以，这个九宫格中不在格中，因为此数必须填入此列，所以，这个九宫格中不在 此列上的空格，就不可能填入此数；此列上的空格，就不可能填入此数； 如如:考虑考虑玫瑰红玫瑰红九宫格中的九宫格中的 9,它不可能在它不可能在 1 1 6 6 6 8 4 4 4 9 9 3 9 5 5 5 57 5 2 8 1 所以所以,9 肯定出现在肯定出现在 Ea 或者或者 Ec 格中格中; 这样一来这样一来,这些格中肯定不会出现这些

18、格中肯定不会出现 9: 再结合再结合: 可以确定橙色九宫格中的可以确定橙色九宫格中的 9: 9 在运用单元排除法不能确定在运用单元排除法不能确定 时时,可以考虑区块排除法。可以考虑区块排除法。 4、常用直观法四、常用直观法四:唯一余解法唯一余解法 此法是指观察每一个格可能填入的数时此法是指观察每一个格可能填入的数时,同时观察该格同时观察该格 所在的行、列和九宫格所在的行、列和九宫格,如果如果 8 个不同的数已经在它们中出个不同的数已经在它们中出 现了现了 ，那么此格就是那个没有出现的第，那么此格就是那个没有出现的第 9 个数。个数。 3 5 6 6 6 8 4 4 2 9 9 3 9 6 3

19、7 6 7 9 2 8 1 4 7 8 4 5 6 8 5 7 4 比如比如,看看 Ci 格格: 它所在的九宫格是它所在的九宫格是红色红色 : 它所在的行是它所在的行是 C : 它所在的列是它所在的列是 i : 2 能够确定能够确定 Ci 格中是格中是 2: 5、常用直观法五、常用直观法五:矩形排除法矩形排除法 先看实例。比如要确定先看实例。比如要确定橙红橙红九宫格中的九宫格中的 8: 1 6 6 4 4 49 9 3 9 5 5 5 5 7 5 281 3 3 3 3 6 6 4 4 4 9 9 8 94 8 2 2 2 4 4 5 所以所以,橙红橙红九宫格中的九宫格中的 8 可能在可能在:

20、 注意注意,下面使用下面使用“矩形排除法矩形排除法”: 我们先把不可能是我们先把不可能是 8 的地方都排除掉的地方都排除掉: 顺着两个绿顺着两个绿 8 向右看向右看 ,可能填可能填 8 的地方有的地方有: I 行有行有 3 个格子个格子 Ie、If 和和 Ii 【G行只有行只有 1 个个,不能构成矩形不能构成矩形,不考虑不考虑】 顺这顺这 3 个格子向上看，在个格子向上看，在 e、 f、i 列中，可能填列中，可能填 8 的格子的格子 出现在同一行的有出现在同一行的有 Cf 和和 Ci; 8 8 以这以这 4 个格子为顶点个格子为顶点,可以可以 构成矩形构成矩形: 所以所以 8 一定出现在这一定

21、出现在这 4 个顶点中的某两个中【因为个顶点中的某两个中【因为 f 列的列的 8 一定在一定在 Cf 或者或者 If,i 列的列的 8 也一定在也一定在 Ii 或者或者 Ci 】, 那么有两种可能那么有两种可能: 1、 Cf 和和 Ii;2、 Ci 和和 If;【矩形的对角矩形的对角】 所以所以,Ia 填填 8 的可能就被排的可能就被排 除了除了: 它排除掉的是该矩形它排除掉的是该矩形 4 个顶点个顶点 所在的行和列。所在的行和列。 无论哪一种情况无论哪一种情况,I 行也要出现一个行也要出现一个 8 ; 这就是这就是“矩形排除法矩形排除法”的使用。的使用。 1 6 6 4 4 49 9 3 9

22、 5 5 5 5 7 5 281 3 3 3 3 6 6 4 4 4 9 9 8 94 8 2 2 2 4 4 5 8 888 88 8 所以所以,橙红橙红九宫格中的九宫格中的 8 在在: 再看一例再看一例:确定确定灰灰九宫格中九宫格中 1 的位置。的位置。 6 6 6 9 2 1 6 6 6 4 3 95 5 7 2 8 1 1 6 6 6 8 4 4 9 3 95 57 5 2 8 1 7 7 7 先把有先把有 1 的单元都去掉的单元都去掉; 1 1 1 1 灰灰九宫格中九宫格中 1 的位置可能是的位置可能是: 与这与这 4 个个 1 中中,有同行同列可能构成矩形的空格是有同行同列可能构成

23、矩形的空格是: 所以所以,灰灰九宫格中九宫格中 1 的位置是的位置是: 1 至于至于 Hi 这个空格这个空格,是不妨碍是不妨碍 上面的确定的上面的确定的,因为即使因为即使 1 是填在此格，也同样能够排除是填在此格，也同样能够排除 H 行的。行的。 再看一例再看一例:确定确定蓝蓝九宫格中九宫格中 1 的位置。的位置。 先把有先把有 1 的单元都去掉的单元都去掉; 蓝蓝九宫格中九宫格中 1 的位置可能是的位置可能是: 与这与这 3 个个 1 中中,有同行同列可能构成矩形的空格是有同行同列可能构成矩形的空格是: 6 8 4 3 5 57 8 1 68 4 4 3 9 5 5 7 2 8 1 1 6

24、8 4 4 3 9 5 5 7 2 8 1 7 7 7 7 8 8 7 7 8 1 1 1 1 所以所以,蓝蓝九宫格中九宫格中 1 的位置是的位置是: 1 1 6 4 9 3 9 5 2 1 1 1 6 6 9 9 95 5 7 2 1 1 16 6 8 9 9 5 5 7 2 1 3 3 3 2 再看一例再看一例:确定确定玫瑰红玫瑰红九宫格中九宫格中 2 的位置。的位置。 先把有先把有 2 的单元都去掉的单元都去掉; 玫瑰红玫瑰红九宫格中九宫格中 2 的位置可能是的位置可能是: 与这与这 5 个个 2 中中,有同行同列可能构成矩形的空格是有同行同列可能构成矩形的空格是: 所以所以,玫瑰红玫瑰

25、红九宫格中九宫格中 2 的位置是的位置是: 2 2 2 2 2 2 此法的意思是此法的意思是:如果某个数在如果某个数在 某两行中可能填入的位某两行中可能填入的位 置置,恰好是在同样的两列中恰好是在同样的两列中 【即以这即以这 4 个格子为顶点个格子为顶点,能能 够构成一个矩形够构成一个矩形】，则这两，则这两 行两列上行两列上【即矩形顶点所在即矩形顶点所在 的行、列的行、列】的其它格子，就的其它格子，就 不可能再出现这个数不可能再出现这个数; 再看一例再看一例:确定确定橙红橙红九宫格中九宫格中 4 的位置。的位置。 6 8 9 3 9 5 7 5 8 3 6 8 4 4 4 9 3 9 53 5

26、 7 5 8 1 6 8 4 9 9 3 9 3 5 7 2 8 1 3 3 3 7 7 4 4 橙红橙红九宫格中九宫格中 4 的位置可能是的位置可能是: 顺这顺这 2 个格子向上看个格子向上看,找不到能够构成矩形的找不到能够构成矩形的 4 个空格个空格 : 连同连同 a 列向上看列向上看,可以构成矩可以构成矩 形形 : 先把有先把有 4 的单元都去掉的单元都去掉; 所以所以,橙红橙红九宫格中九宫格中 4 的位的位 置是置是: 4 矩形排除法是直观法中最矩形排除法是直观法中最 难用的一种。难用的一种。 6、常用直观法六、常用直观法六:撑点定位法撑点定位法 如果某个九宫格在某一行的如果某个九宫格

27、在某一行的 3 个格中都已经有数个格中都已经有数,那么那么 该行就叫做该行就叫做“撑撑”。如下图的。如下图的 B、F、H 行行;在该行的另外两在该行的另外两 个九宫格个九宫格【玫瑰红玫瑰红和和绿绿】中中, 寻找原九宫格寻找原九宫格【橙橙】中还没中还没 有的数有的数【如如 Eb 格中的格中的 6】， 该数所在的格就叫做该数所在的格就叫做“点点”; 那么点中的数在确定那么点中的数在确定“撑撑” 的那个九宫格中的位置，就的那个九宫格中的位置，就 既不在既不在“撑撑”行，也不在行，也不在“点点” 所在行。所在行。【很容易理解，在很容易理解，在 原九宫格中，撑行已满；点原九宫格中，撑行已满；点 行已经有

28、该数了。行已经有该数了。】 1 6 6 6 84 4 4 2 9 4 5 5 7 5 2 8 1 撑行撑行 点行点行 6 比如考虑比如考虑黄黄九宫格九宫格: 1 6 6 6 84 4 4 2 9 4 5 5 7 5 2 8 1 撑行撑行 点行点行 6 b 列已经有列已经有 6 ; 如果再考虑如果再考虑朱红朱红九宫格九宫格 ; 撑行撑行 点行点行 6 此法也适用于列此法也适用于列: 如果某个九宫格在某一如果某个九宫格在某一 列的列的 3 个格中都已经有数个格中都已经有数, 那么该列就叫做那么该列就叫做“撑撑”。在。在 该列的另外两个九宫格中该列的另外两个九宫格中,寻寻 找原九宫格中还没有的数，找

29、原九宫格中还没有的数， 该数所在的格就叫做该数所在的格就叫做“点点”; 那么点中的数在确定那么点中的数在确定“撑撑” 的那个九宫格中的位置，就的那个九宫格中的位置，就 既不在撑列，也不在点列。既不在撑列，也不在点列。 撑点定位法的行、列交叉使用撑点定位法的行、列交叉使用: 1 7 6 5 2 8 7 9 4 9 9 3 9 8 3 8 9 7 5 2 8 1 8 8 3 撑行撑行 点行点行 9 9 9 先看先看黄黄九宫格九宫格: 再看再看绿绿九宫格九宫格: 撑列撑列 点列点列 6 7、常用直观法七、常用直观法七:逐行逐列依次扫描法逐行逐列依次扫描法 此法实际上是前面方法的综合应用。一般地是自上

30、而此法实际上是前面方法的综合应用。一般地是自上而 下下 自左向右自左向右,先一排一排地按照九宫格看先一排一排地按照九宫格看,再逐行逐列依次看再逐行逐列依次看 期间如果有缺期间如果有缺 1、2个数的行、个数的行、 列或者九宫格，也可以先看。列或者九宫格，也可以先看。 如如,先看上面的先看上面的 3 个九宫格个九宫格; 1 1 6 6 8 49 9 5 2 5 5 7 5 2 1 2 2 2 8 8 8 8 3 3 3 9 9 9 7 7 7 6 6 4 4 从从 1 到到 9 依次考虑依次考虑,无法确无法确 定的先放过定的先放过; 如如蓝蓝九宫格中的九宫格中的 5 可以确定可以确定: 5 蓝蓝九宫格中的九宫格中的 9 也可以确定也可以确定: 9 这是这是“单元排除法单元排除法”; 再看中间的再看中间的 3 个九宫格个九宫格; 1、2、3、4 都无法确定都无法确定;看看 5; 此时此时,若注意到若注意到橙红橙红九宫格中的九宫格中的 5: 1 1 6 6 8 49 9 5 2 5 5 7