湖南铁道职业技术学院单招数学模拟试题

1、、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，共40分.1 若复数L的实部与虚部相等，则实数 a () A2i(A)1(B) 1(C)2(D) 22.已知 f (x 1)2f (x)f(1) 1(x N * )，猜想f (x)的表达式为().f(x) 24A. f(x)B.f(x)2；C. f (x)1D.f(x)22x 1x12x 13.等比数列 an中，a10,则a”曰aa3疋“ a3a6 ”的 B(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件4从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A，B，C，D四项不同的工作，每人承担一项.若甲、乙二人均不能从事A工

2、作，则不同的工作分配方案共有B(A) 60种(B) 72 种(C) 84 种(D) 96种5.已知定义在R上的函数f(x)的对称轴为x 3，且当x 3时，f(x) 2x 3.若 函数f(x)在区间(k 1,k) ( k Z )上有零点，则k的值为A(A) 2 或 7(B) 2 或 8(C) 1 或 7(D) 1 或 86已知函数f (x) log 2 x 2log 2(x c)，其中c 0 .若对于任意的x (0,)，都有f (x)1，则c的取值范围是D1(A) (0,(B)丄,1)(C) (0,1(D)丄，)44887.已知函数f(x) ax3bx22(a0)有且仅有两个不同的零点x1,X2

3、，则 BA.当 a 0 时，x1 x20,%x20 B.当 a 0 时，x1 x20,x1x20C.当 a 0 时，X1 X2 0, X1X2 0 D.当 a 0 时，为 x? 0,08如图，正方体 ABCD A1B1C1D1中，P为底面ABCD上的动点，PE AC于E，且PA PE，则点P的轨迹是A(A)线段(B)圆弧(C)椭圆的一部分(D)抛物线的一部分第n卷 (非选择题共no分)二、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分.9设等差数列an的公差不为0，其前n项和是Sn.若S2 & , Sk 0，则k . 510. (x22)6的展开式中X3的系数是 .160x11. 设.若曲线与

4、直线所围成封闭图形的面积为,则.12在直角坐标系xOy中，点B与点A( 1,0)关于原点0对称.点P(x0,y0)在抛物线y2 4x上，且直线AP与BP的斜率之积等于2，则x0 . 1 42.13.数列的通项公式，前项和为，则 。301814记实数xX2丄，Xn中的最大数为 maxx1,X2丄，Xn，最小数为 minxX2丄，Xn.设厶ABC的三边边长分别为a,b,c，且a b c，定义 ABC的倾斜度为a b cat max , min,b c ab(刀若厶ABC为等腰三角形，则t ; 1(ii)设a 1，则t的取值范围是. 口,“5)2三、解答题：本大题共 6小题，共80分解答应写出必要的

5、文字说明、证明过程或演 算步骤.15.(本小题共14分)已知函数 f (x) mlnx (m 1)x (m R).(I)当m 2时，求曲线y f(x)在点(1,f (1)处的切线方程；()讨论f(x)的单调性；(III )若f(x)存在最大值M，且M 0，求m的取值范围.(18)(共 14 分)解：(I)当 m 2时，f (x) 2ln x x .2 x 2f (x) 1xx所以f (1) 3 .所以曲线y f (x)在点(1,f (1)处的切线方程是y 13(x 1),又 f(1)1,(D)函数f(x)的定义域为(0,),m “ (m 1)x mf (x) m 1xx当m 1时，由x 0知f

6、 (x) m m 10恒成立，x此时f (x)在区间(0,)上单调递增.当 0 m 1 时，由 f (x)0,得 x ，由 f (x)0,得 x ,1 m1 m此时f (x)在区间(0,)内单调递增，在区间(,)内单调递减.1 m1 m(III )由()知函数f(x)的定义域为(0,),当m 1时，f(x)在区间(0,)上单调，此时函数f (x)无最大值.当0 m 1时，f (x)在区间(0,)内单调递增，在区间(,)内单调递1 m1 m减，所以当0 m 1时函数f (x)有最大值.最大值 M f( ) mln m.1 m1 m因为M 0，所以有mln m 0，解之得m .1 m1 ee所以m

7、的取值范围是(一匕,1).1 e16. (本小题满分13分)n已知函数f(x) sinx acosx的一个零点是 一.4(I)求实数a的值;()设 g(x) f(x) f( x) 2、. 3 si nxcosx，求 g(x)的单调递增区间.(I)解：依题意，得f(n)0, 1 分4即nn 42 J2asin a cos0,44223分解得a 1 .5分(H)解：由(I)得f(x)sin xcos x .6分g(x)f (x) f ( x) 2 ,3 sin xcosx(sinx cosx)( sinx cosx) .3sin 2x7分(cos2 x sin2 x) 、3sin2xcos2x .

8、 3 sin 2x9分n2sin(2 x -).610分由2k n2x22312分所以g(x)的单调递增区间为kn -,kn匸,36k Z . 13 分17. (本小题满分13分)已知数列bn是等差数列，bi=1,bi+b2+bio=145.(1)求数列bn的通项公式bn；1 , 设数列an的通项an=log a(1+)(其中a0且1)记S是数列an的前n项和，试bn1比较S与log abn+1的大小，并证明你的结论3(1)解：设数列bn的公差为d,由题意得， bn=3n 2证明：由bn=3 n 2知S=log a(1+1)+log a(1+)+log a(1+)=log a : (1+1)(

9、1+)(1+ ):而log abn+1=log a,于是，比较 S与log abn+1的大小比较(1+1)(1+)(1+)与的大小取 n=1，有(1+1)=取 n=2,有(1+1)(1 +推测：(1+1)(1+)(1+) ( *) 当n=1时，已验证(*)式成立 假设n=k(k 1)时(*)式成立，即(1+1)(1+)(1+) 则当n=k+1时，,即当n=k+1时，(*)式成立 由知，(*)式对任意正整数 n都成立于是，当 a 1 时，Slog ab n+1 , 当 0 v av 1 时，Sv log abn+118. (本小题满分13分)(I)求f (x)的极值;已知函数 f(x) ax l

10、n x , g(x) eax 3x，其中 a R .(H)若存在区间 M，使f(x)和g(x)在区间M上具有相同的单调性，求 a的取值范围.18.(本小题满分13分)(I)解:(0,f (x)的定义域为f (x)ax 10时，f (x) 0,故f (x)在(0,)上单调递减.从而f(x)没有极大值，也没有极小 值.当a 0时，令f (x)0,得xf (x)和f (x)的情况如下:x1(0，) a1 a(丄，af (x)0f(x/)11故f(x)的单调减区间为(0,丄)；单调增区间为(丄，).aa1从而f(x)的极小值为f( )1 ln a ;没有极大a值.(n)g(x)解：g(x)的定义域为R

11、，且axae 3.当a 0时，显然 g (x)0，从而g(x)在R上单调递增.意.1由(I)得，此时f(x)在(丄，)上单调递增，符合题a8分 当a 0时，g(x)在r上单调递增，f(x)在(0,)上单调递减，不合题 意.9分13 当 a 0时，令 g (x)0,得 xo ln(-).aag(x)和g (x)的情况如下表:x(，xb)X。(X0,g (x)0g(x)/当3 a 0时，x0 0，此时g(x)在(x0,)上单调递增，由于f (x)在(0,)上单调递减，不合题意.11分当a 3时，x0 0，此时g(x)在(，x0)上单调递减，由于f (x)在(0,) 上单调递减，符合题意.13分综上

12、，a的取值范围是(,3) U (0,).19. (本小题满分14分)2 2如图，椭圆 务每 1(a b 0)的左焦点为F ,过点F的直线交椭圆于 A , B a b两点当直线 AB经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60 .(I)求该椭圆的离心率；(D)设线段 AB的中点为G , AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D,E两点记 GFD的面积为S , OED ( O为原点)的面积为S2，求-Sl的取值范围.S219.(本小题满分14分)(I)解：依题意，当直线 AB经过椭圆的顶点(0,b)时，其倾斜角为60 . 1 分设 F( c,0),则-tan60 ,3. 2c分将 b . 3c 代入 a2 b

13、2 c2,解得a 2c . 3 分所以椭圆的离心率为c 1 ea 2(H)解：由(I),椭圆的方程可设为2 221. 5 分4c 3c设 AyJ , B(X2,y2).依题意，直线AB不能与x, y轴垂直，故设直线 AB的方程为y k(x c)，将其代入3x2 4y212c2，整理得(4 k23)x2 8ck2x 4k2c212c20.则x-1x28ck22 ，4k 36cky1 y2 k(x1 x2 2c)2G( 4ck 3ck )4k23 4k23因为GD AB,3ck所以4k234ck24k2 3Xdck4k2 3因为 GFD s OED ,所以q |gdS2 |ODf4ck2(4k2

14、3ck2 )24k2 3)11分(3ck2)2(3ck)29c2k4 9c2k2c2k4k213分 所以SL的取值范围是14分S2(9,) (20)(本小题共13分)设A是由n个有序实数构成的一个数组，记作： A佝爲丄，a, L,q).其中ai (i 1,2,L ,n)称为数组A的“元”，i称为ai的下标.如果数组S中的每个“元”都 是来自 数组A中不同下标的“元”，则称 S为A的子数组定义两个数组A (31,32,L ,an)，B (b,b2,L ,bn)的关系数为 C(A,B) Qb azb? L 务01 1(I)若A ( -,-) , B ( 1,1,2,3)，设S是B的含有两个“元”的子数组，2 2求C(代S)的最大值；B (O,a,b,c)，且 a2 b2 c2 1 , S 为 B 的含有三个“元”的子数组，求 C(A,S)的最大值.(20)(共 13 分)解：(I)依据题意，当 S ( 1,3)时，C(A,S)取得最大值为2.(n)当0是S中的“元”时，由于 A的三个“元”都相等，及 B中a,b,c三个/3“元”的对称性，可以只计算 C(A,S) 3(a b)的最大值，其中3a2 b2 c21.由(a b)2 a2 b2 2ab 2(a2