正弦定理余弦定理应用实例练习含答案

1、课时作业3应用举例时间：45分钟 满分：100分课堂训练1. 海上有 A B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成 60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，贝S B、C间的距离 是（）A. 10 3海里B. 10 6海里C. 5 2海里D. 5.6海里【答案】D【解析】如图，/ A= 60,/ B= 75,则/C= 45,由正弦定理得：AB sinA= 10x sin6。sin Csin45 =5 6.2. 如图所示，设 A B两点在河的两岸，一测量者在 A所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离为50m / AC= 45, / CAB= 105 后，就可以计算出A、B两点的距离为（）A

2、. 50 ；2mC. 25 .2mBD.25 22【答案】 A【解析】因为/ ACB= 45, / CAB= 105,所以/ ABC- 30根据正弦定理可知,sin / ABC sin / ACB sin30AB si n45，解8得 AB= 50 2m 选 A.3. 从某电视塔的正东方向的 A处，测得塔顶仰角是60;从电 视塔的西偏南30的B处，测得塔顶仰角为45,A, B间距离是35m, 则此电视塔的高度是m.【答案】 5 .21【解析】 如图所示，塔高为OC则/ OAG 60, / AOB= 18030= 150,/ CB(-45, AB= 35,设电视塔高度为 hm贝y O*fh, O

3、B= 在 AOB中由余弦定理可得 AB= OA+ OB 20A 0B cos/ AOB即 352= (fh)2 + h2 233hx hx (爭解得 h= 5;21.4. 如图所示，海中小岛 A周围38海里内有暗礁，一船正向南航 行，在B处测得小岛A在船的南偏东30,航行30海里后，在C处 测得小岛在船的南偏东45,如果此船不改变航向，继续向南航行， 有无触礁的危险？【分析】船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于 A到直线BC的距离与38海里的大小，于是我们只要先求出 AC或AB的大小， 再计算出A到BC的距离，将它与38海里比较大小即可.【解析】在厶 ABC中, BC= 30,/ B= 30

4、,/ ACB= 135,/ BAC= 15由正弦定理BC ACsin A sin B，30ACsin15 sin30 AC= 60cos15= 60cos(45 - 30)=60(cos45 cos30 + sin45 sin30 ) = 15( 6 + ：2), A 到 BC的距离为 d= Ain45 = 15(，；3 + 1)40.98 海里 38 海里，所以继续向南航行，没有触礁危险.课后作业、选择题（每小题5分，共40分）1.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40,灯塔B在观察站C的南偏东60,则灯塔A在灯塔B的（A.北偏东10B.北偏西10C.南偏东

5、10南偏西10D.【答案】【解析】如图所示,/ ECA= 40,/ FCB= 60, / ACB= 18040 60=80,T AC= BCA=Z ABC= 180 80 = 50,ABG= 180Z CBZ CBA= 180 120 50= 10 .故选 B.2.某市在“旧城改造”工程中，计划在如下图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境.已知这种草皮价格为a元/m2,则购买这 种草皮需要（）C. 150a 元D. 300a 元【答案】C1 1 1【解析】Sa= 2 20X 30X Sin 150 = p 20X 30X =150（卅）,购买这种草皮需要150a元，故选C.3.有一长为10

6、m的斜坡，倾斜角为75 .在不改变坡高和坡顶的 前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为 30,则坡底要延长 的长度（单位：m是（ ）A. 5B. 10C. 10 . 2D. 10 3【答案】C【解析】如图，设将坡底加长到 B时，倾斜角为30 .在厶ABB中，利用正弦定理可求得 BB的长度.在厶ABB 中，/ B = 30,/ BAB = 75 30= 45，AB= 10m.由正弦定理，得BBAESin45sin3010冷=10 2m).坡底延长10 .2m时，斜坡的倾斜角将变为30.4.北偏东一船以22 6km/h的速度向正北航行，在A处看灯塔S在船的45, 1小时30分后航行到B处，在B

7、处看灯塔S在船的南偏东15，则灯塔S与B之间的距离为(A.66 kmB.132 kmC.96 kmD.33 km【答案】【解析】AB= 22 6如图，/45= 120,X|= 33 6,由正弦定理33 6sin120SBsin45 SB= 66(km).5. 据新华社报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆.台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断.某路边一树干被台风吹断后，树尖与地面成45角，树干也倾斜，与地面成75角，树干底部与树尖着地处相距 20米，则折 断点与树干底部的距离是(20 6A.-0T米c.晋米D. 20 .2米【答案】 A【解析】 设树干底

8、部为Q折断点为P,树尖着地处为M如图, QPM中, / P= 180/ M-Z Q= 180 45- 75= 60,由正PQ MOMnM 20X sin45 20.6弦疋理得 =,，PQ=.sin M sin Psin P sin603sin Psin606.甲船在B岛的正南A处，AB= 10km甲船以4 km/h的速度向正北航行，同时，乙船自B岛出发以6km/h的速度向北偏东60的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是(150A.-minB.hC. 21.5minD. 2.15h【答案】 A【解析】P如图，设经过x小时时距离为s，则在 BPQ中，由余弦定理知:P(Q= BP+ B

9、Q 2BP BQ cos120,1即 s2= (10 4x)2 + (6x)2 2(10 4x) X6xx ()2b 5 g2a=袒时，=28x 20x+ 100.s2 最小，此时 x=ghu min.1477.艘船以4km/h的速度与水流方向成120角的方向航行，已 知河水流速为2km/h,贝卩经过-3h,该船实际航程为（）A. 2 15kmC. 2 21kmB. 6kmD. 8 km【答案】 B【解析】 如图,V |OA = 2, | dB = 4,Z AOB= 120,/A= 60, | OC = 22 + 42-2X2X4cos60= 2 3经过3h，该船的航程为23X-；3= 6（k

10、m）.8如图， AB（是简易遮阳棚，A、B是南北方向上的两个定点， 正东方向射出的太阳光线与地面成 40角，为了使遮阴影面ABD面积 最大，遮阳棚ABC与地面所成的角为（）A. 75 B . 60C. 50 D . 45【答案】C【解析】如图，作CE1平面ABD于点E,则/CDE是太阳光线与地面所成的角，即/ CDE= 40，延长DE交直线AB于点F，连接CF 则/CFD是遮阳棚与地面所成的角，设为 a.要使5abd最大，只需DF 最大.在 CFD中, sin40 sin 140- a.CF sin . J0 - aTCF为定值，二当a = 50时，DF最大.二、填空题（每小题10分，共20分

11、）【解析】9.如图在山脚A测得山顶P的仰角为a ,沿倾斜角为B的斜坡在厶 PAB 中，已知/ BAP= a ,Z APB= y a,AB= a,由正弦定理可得pA=需a,亠rasin a sin y B在 Rt PAC中，P3 P伽 a= sin y a10. 只蚂蚁沿东北方向爬行xcm后，再向右转105爬行20cm又向右转135,这样继续爬行可回到出发点处，那么 x =【答案】206【解析】如图 ABC中，/ A= 45+ 15= 60,/ B= 45+ 30= 75,/ AC= 45，由正弦定理知x = 20 sin / ACB sin A，三、解答题（每小题20分，共40分.解答应写出必

12、要的文字说明、 证明过程或演算步骤）11. A B是海平面上的两个点，相距800 m,在A点测得山顶C 的仰角为45,/ BA= 120,又在 B点测得/ ABD= 45，其中D 是点C到水平面的垂足，求山高CD【分析】 如图，由于CDL平面ABDZ CA圧45，所以CD=AD因此，只需在厶ABD中求出AD即可.【解析】在厶ABD中，/ BDA= 180 45 120= 15u AB AD=sin15 sin45 ，sin15 6-艮2=800( ： 3 + 1)(m).v CDL平面 ABD / CAD= 45 CD= AD= 800( _；3 + 1)2 186(m).答：山高CD为2 1

13、86 m.12. 如图，一辆汽车从O点出发，沿海岸一条直线公路以100千米/小时的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在 0点南偏东方向距 0 点500千米且与海岸距离为300千米的海上M处有一快艇，与汽车同 时出发，要把一件重要的物品递送给这辆汽车的司机，问快艇至少必 须以多大的速度行驶，才能把物品递送到司机手中？并求快艇以最小 速度行驶时方向与OM所成的角.【分析】 根据题意画出示意图如图所示.在 MON中，利用余 弦定理得到速度v关于时间t的函数关系式，然后利用二次函数求最 值.【解析】 如图所示，设快艇从M处以v千米/小时的速度出发， 沿MN方向航行，t小时后与汽车相遇.在厶MOf中，M3500,ONk 100t ,MNk vt ,设/MOk a，由题意得sin a35,则 cos a45.由余弦定理，得MNk O陥 ON 2OM ON- cos a ,即 V2t 2= 5002 + 1002t2 2x500X 100t x5.5v2=