第十四章+机械振动

1、机械振动 第十四章第十四章 振动振动 简谐振动的描述简谐振动的描述 简谐振动的动力学简谐振动的动力学 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 同方向同频率简谐振动的合成同方向同频率简谐振动的合成 同方向不同频率简谐振动的合成同方向不同频率简谐振动的合成 谐振分析谐振分析 广义振动广义振动：任一物理量任一物理量( (如位移、电流如位移、电流等等) )在某一在某一 数值附近数值附近作周期性作周期性变化。变化。 机械振动机械振动：物体在一定位置附近作周期性往复运动。物体在一定位置附近作周期性往复运动。 自然界的振动自然界的振动心跳心跳 简谐振动 物体发生机械振动的条件：物体发生机械振动的条件： 物体受到

2、始终指向平衡位置的物体受到始终指向平衡位置的回复力回复力； 物体具有物体具有惯性惯性。 掌握机械振动的基本规律是研究其它形式振动的基础。掌握机械振动的基本规律是研究其它形式振动的基础。 简谐振动（简谐振动（simple harmonic vibration) 是最简单、是最简单、最基本的振动理想模型。它是研究各种复杂振动的重要基础最基本的振动理想模型。它是研究各种复杂振动的重要基础。 动力学特征 以物体受力为零的平衡位置为坐标原点以物体受力为零的平衡位置为坐标原点 水平光滑面，弹簧劲度水平光滑面，弹簧劲度 质量可忽略，物体质量质量可忽略，物体质量 物体在任一位物体在任一位 置受的弹性力置受的弹

3、性力 以铅垂方向以铅垂方向 为摆角参考轴，为摆角参考轴， 单摆在任一角位置单摆在任一角位置 所受的重力矩为所受的重力矩为 则 取摆幅很小取摆幅很小 X 正X向反X向 运动学特征 简谐振动的速度简谐振动的速度 A 简谐振动的加速度简谐振动的加速度A 应用转动定律，同理也可求得单摆的角振动方程应用转动定律，同理也可求得单摆的角振动方程 X 简谐振动微分方程简谐振动微分方程 对于给定的弹簧振子对于给定的弹簧振子 为常量，其比值亦为常量。为常量，其比值亦为常量。令令 则则即即 得得 A 为微分方程求解时的积分常量，由系统的为微分方程求解时的积分常量，由系统的初始条件决定初始条件决定。 简谐振动方程简谐

4、振动方程 A 该微分方程的解该微分方程的解 通常表成余弦函数通常表成余弦函数 续4 简谐振动的加速度简谐振动的加速度 A A 简谐振动的振动方程简谐振动的振动方程 简谐振动的速度简谐振动的速度 A AA 最大 最大 最大 A A A 简谐振动参量 X AA 振幅振幅 ： 的最大绝对值的最大绝对值A 周期周期：完成一次振动需时完成一次振动需时 频率频率： 角频率角频率 ： 弹簧振子弹簧振子 单单 摆摆 AA 相位相位 ：是界定振子在时刻是界定振子在时刻 的运动状态的物理量的运动状态的物理量 运动状态要由位置运动状态要由位置 和速度和速度 同时描述，而同时描述，而 和和 的正负取决于的正负取决于

5、，不是指开始振动，而是指开始观测和计时。，不是指开始振动，而是指开始观测和计时。所谓 时质点的运动状态时质点的运动状态 A A 位置位置 速度速度 初始条件即为初始条件即为 初相初相 ：是时，振子的相位。时，振子的相位。 续6 由由 和和 求给定振子的振幅求给定振子的振幅A A A A 消去 得 初相初相 由由 和和 求给定振子的求给定振子的 A A A消去 得 但由于但由于 在在 0 20 2p p 范围内，范围内，同一正切值对应有两个同一正切值对应有两个 值值，因此，还必须再，因此，还必须再 根据根据 和和 的正负进行判断的正负进行判断。联系振子运动。联系振子运动 直观图不难作出判断直观图

6、不难作出判断 且 若 则 若 且 则 且 若 则 且 若 则 （第一象限）（第一象限）（第二象限）（第二象限） （第三象限）（第三象限）（第四象限）（第四象限） 旋转矢量法 AA X XO j M ( 0 ) A j初相 M ( t ) twtw M ( t ) tw M ( t ) tw M ( t ) M ( t ) tw M ( t ) tw M (T ) Tw 周期 T M ( t ) tw M ( t ) tw XO j M ( 0 ) j初相 M ( t ) tw A 矢量端点矢量端点 在在X X 轴上轴上 的投影对的投影对 应振子的应振子的 位置坐标位置坐标 t 时刻的 振动相位

7、 (w w tj j ) ) 旋转矢量旋转矢量A 以匀角速 逆时针逆时针转动转动 循环往复 x = A cos (w w tj j ) ) 简谐振动方程简谐振动方程 续8 旋转矢量端点旋转矢量端点 M M 作匀速圆周运动作匀速圆周运动 振子的运动振子的运动速度速度（与与 X 轴同向为正轴同向为正） wA 其其 速率速率 wAjtw A X AA XO w jtw O 旋转矢量端点旋转矢量端点 MM 的加速度为的加速度为 法向加速度，其大小为法向加速度，其大小为 wA 振子的运动加速度（与与 X 轴同向为正轴同向为正） wA jtw 和 任一时刻的 和 值， 其正负号仅表示方向。 同号时为加速同

8、号时为加速 异号时为减速异号时为减速 例一 0.04 0.04 12 简谐振动的简谐振动的曲线曲线 完成下述简谐振动方程完成下述简谐振动方程 A = 0.04 (m) T = 2 (s) w w = 2 p / p / T T = p p (rad /s ) 0.04p p p p 2 A w w = p p / 2 t = 0 v0 从从 t = 0 作反时针旋转时，作反时针旋转时，A 矢端的投影从矢端的投影从x=0向向X轴的负方运动，轴的负方运动， 即即 ，与，与 已知已知 X t 曲线一致。曲线一致。v0 SI 试证明，若选取受力平衡点作为位置坐标原点，垂直弹簧试证明，若选取受力平衡点作

9、为位置坐标原点，垂直弹簧 振子与水平弹簧振子的动力学方程和振动方程相同。振子与水平弹簧振子的动力学方程和振动方程相同。 平衡点 在受力平衡点 小球 受弹性力大小 选取受力平衡点作为位置坐标原点选取受力平衡点作为位置坐标原点 小球在位置坐标小球在位置坐标 处所受弹性力处所受弹性力 合外力合外力 动力学方程动力学方程 微分方程微分方程 的解： 振动方程振动方程A 均与水平弹簧振子结果相同均与水平弹簧振子结果相同 例二 例三 弹簧振子 x0 = 0t = 0 时v0 = 0.4 ms -1 m = 510 - -3 kg k = 210 - -4 Nm -1 完成下述简谐振动方程完成下述简谐振动方程

10、 k m 0.2 (rad s 1) x0 v0 2 (m) 20.2 (SI) v0 x0 = 0已知 w w 相应的旋转矢量旋转矢量图为 v0 例四 某物体沿 X 轴简谐运动， 振幅振幅 A = = 0.12 m， 周期周期 T = 2 s，t = 0 时x0 = 0.06 m处 初相 j j , , t = 0 .5 s 时的位置 x, 速度 v, 加速度 a 物体背离原点背离原点移动到位置 A = 0.12 m，T = 2 s , w w = 2p / p / T = p p rad s - -1 , 将 j j = p / 3 p / 3 rad 及 t = 0 .5 s 代入谐振动

11、的代入谐振动的 x, v, a 定义式定义式得 x A cos (w w tj j ) )0.104 (m) A0.19 ( m s - -1 ) A1.03 ( m s - -2 ) x = A cos (w w tj j ) )由简谐振动方程由简谐振动方程 t = 0 时0.06 = 0.12 cos j j 得 j j =p / 3p / 3 再由题意知再由题意知 t = = 0 时时物体正向运动，即物体正向运动，即 A0 且 j j = p / 3p / 3，则 j j 在第四象限第四象限，故取 例五 Acos A cos 或 因且 在第一象限 应取 Acos A cos 两质点振动相

12、位差两质点振动相位差 从旋转矢量图可以看出：从旋转矢量图可以看出： 时，质点1第一次通过平衡点 A转过 1.06 (s) A转过 时，质点2第一次通过平衡点 2.13(s) 周期均为 T = 8.5s 用旋转矢量法 两质点振动相位差两质点振动相位差 两质点第一次通过两质点第一次通过 平衡点的时刻平衡点的时刻 两质点 1、2 同在 X 轴上作简谐振动 t = 0 时 在 处 质点2 A A 向平衡点运动向平衡点运动 质点1 在 处 向平衡点运动向平衡点运动 振幅 A 相同相同 A A 2 2 sin dt d JJmgh J为为m绕绕O点转动的转动惯量。点转动的转动惯量。 复摆（物理摆）复摆（物

13、理摆） 可见，复摆的运动可见，复摆的运动也满足谐振动方程也满足谐振动方程。 且其圆频率与周期为且其圆频率与周期为 C O mg hOC mgh J Tp2 J mgh 0 w 0 2 2 J mgh dt d 当当 时时sin 简谐振动的判断式简谐振动的判断式 平平 动动 转转 动动 BMkxF 合合 2 2 2 2 dt d JJM dt xd mmaF 合合 00 2 2 2 2 2 2 w dt d x dt xd J B m k 22 w )cos()cos( 00 jjwttAx 振动能量 （以X X= =0 0处为零势点） 系统的系统的 动能动能A 系统的系统的 势能势能A 系统的

14、系统的 机械能机械能 AA 振子运动速度 A A 简谐振动方程 振动系统：振动系统： 弹簧劲度弹簧劲度 振子质量振子质量 振动角频率 如 水平弹簧振子 均随时间而变且能量相互转换 变到最大最大时 变为零零 系统的机械能机械能守恒。及A 变为零零变到最大最大时 时时 间间 能能 量量 例六动能动能A 势能势能A 则则 其中其中 得得 当当 时 振动相位振动相位 或或 一水平弹簧振子 弹簧劲度 振子质量 振幅 A 沿X X轴振动 当振动系统的 以平衡点为原点 位置坐标位置坐标 x 相等时相等时 动能值与势能值 振子的振子的 A代入代入 中，解得中，解得 能量能量 位置位置 例例2 有一水平弹簧振子

15、。有一水平弹簧振子。K=24N/m ，重物质量，重物质量m=6kg，静止在，静止在 平衡位置。设以一平衡位置。设以一水平恒力水平恒力F=10N作用于物体作用于物体（不计摩擦），（不计摩擦）， 使之使之从平衡位置向左运动了从平衡位置向左运动了0.05m，此时撤去力，此时撤去力F。当重物。当重物运动运动 到左方最远位置时开始计时到左方最远位置时开始计时，求：振子的，求：振子的运动方程运动方程。 2 2 1 kA?5 . 0WJFS解：外力的功： s/rad m k .A 2 2040 w Ax 0 又 )(2cos(204. 0SItxp XO A? A！ A pj 例七 该摆动系统的该摆动系统的

16、机械能守恒数学表达式机械能守恒数学表达式 该摆的该摆的运动学微分方程及摆动周期运动学微分方程及摆动周期 动能动能 刚体（直棒）转动动能刚体（直棒）转动动能 势能势能 系统的重力势能系统的重力势能以垂态直棒中心点以垂态直棒中心点 C 为重力零势点为重力零势点 令 机械能 机械能守恒，即机械能守恒，即 为恒量，为恒量， 即 得 简谐角振动微分方程简谐角振动微分方程 该摆的振动周期该摆的振动周期 匀质细直悬棒匀质细直悬棒 质量质量 m、长长 L 在铅直面内摆动在铅直面内摆动 摆幅很小摆幅很小 转动惯量转动惯量 振动合成一 且 相同 同在 X X 轴 合成振动 用旋转矢量法可求得合成振动方程用旋转矢量

17、法可求得合成振动方程 与与计时起始时刻有关计时起始时刻有关 合成初相合成初相 分振动初相差分振动初相差 与计时起与计时起 始时刻无关始时刻无关，但它对合成振幅，但它对合成振幅 属属相长相长or相消合成起决定作用相消合成起决定作用 续18 合振动合振动 分振动分振动； 其中，合振幅其中，合振幅 若若 则 为合振幅可能达到的最大值为合振幅可能达到的最大值 若则 若为其它值，则 处于 与之间 若若 则 为合振幅可能达到的最小值为合振幅可能达到的最小值 若则 例例1 试用最简单的方法求出下列试用最简单的方法求出下列两组两组简谐振动合成后所得简谐振动合成后所得合振动的振幅合振动的振幅： 第一组：第一组：

18、 第二组：第二组： 0.05cos(3t+/3)mx1= 0.05cos(3t+7/3)mx2= 0.05cos(3t+/3)mx1= 0.05cos(3t+4/3)mx2= A = A1+A2= 0.05 + 0.05 =0.10(m) A = A1-A2= 0 = 3 7 3 2 解：第一组：解：第一组： = 3 4 3 第二组第二组 例例2 三个同方向、同频率的谐振动为三个同方向、同频率的谐振动为 试利用试利用旋转矢量法旋转矢量法求出求出合振动的表达式合振动的表达式。 x0.1cos(10t+/6)m 1= 0.1cos(10t+/2)mx 2 = 0.1cos(10t+5/6)mx 3 = 解：解： = A1A2A3 =0.1 = 5 6 3 = 2 2 = 6 1 A2 A 2 A 1 A 3 A1 xo 3 +=A1A3 A += A2 A =A+ A1A2A3 + = A1A2 =0.2 = 2 0.2cos(10t+/2)m x = 例例3 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动: 试求：试求：其合振动的振幅和初相位其合振动的振幅和初相位(式中式中x以以m计计, t 以以s计计) 。 0.04cos(2t+/6)m x 1= 0.03cos(2t-5/6)m x 2= =0.01m