三角函数专题解三角形

1、解三角形专题1如图，在中，,点是的中点, 求（1）边的长；（2）的值和中线的长2在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，S是该三角形的面积(1)若，求角B的度数(2)若a=8，B=，S=，求b的值3已知向量，设函数,若函数的图象与的图象关于坐标原点对称.（1）求函数在区间上的最大值,并求出此时的取值；（2）在中，分别是角的对边，若，求边的长4已知向量，.（1）求函数的单调递减区间；（2）在中,分别是角的对边,若，求的大小.5在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos(A-B)cosB-sin(A-B)sin(A+C)=-.(1)求sinA的值;(2)若a=4,b=5,求向量在方

2、向上的投影.6设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ac6，b2，cosB.(1)求a，c的值；(2)求sin(AB)的值7在ABC中，a3，b2，B2A.(1)求cosA的值；(2)求c的值8在ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c.已知cos2A3cos(BC)1.(1)求角A的大小；(2)若ABC的面积S5，b5，求sinBsinC的值9在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，ABC的周长为2，且sinAsinBsinC.(1)求边c的长；(2)若ABC的面积为sinC，求角C的度数10在锐角ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c.向量m(1，co

3、sB)，n(sinB，)，且mn.(1)求角B的大小；(2)若ABC面积为10，b7，求此三角形周长11已知ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m(a，b)，n(sinB，sinA)，p(b2，a2)(1)若mn，求证：ABC为等腰三角形；(2)若mp，边长c2，角C，求ABC的面积12在锐角ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2asinBb.(1)求角A的大小；(2)若a6，bc8，求ABC的面积13某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速

4、行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由14某人在汽车站M的北偏西20的方向上的A处(如图所示)，观察到C处有一辆汽车沿公路向M站行驶，公路的走向是M站的北偏东40.开始时，汽车到A处的距离为31km，汽车前进20km后，到A处的距离缩短了10km.问汽车还需行驶多远，才能到达汽车站M?15在海岸A处，发现北偏西75的方向，距离A2海里的B处有一艘走私

5、船，在A处北偏东45方向，距离A(1)海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船此时，走私船正以10海里/小时的速度从B向北偏西30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？16如图所示，测量河对岸的塔高AB时，能够选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得BCD，BDC，CDs，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB.17要测量河对岸A、B两点之间的距离，选择相距km的C、D两点，并且测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45，求A、B之间的距离18在ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a1，b2，cosC.求：(1)ABC的周长；(2)cos(AC

6、)的值19在ABC中，A、B、C所对的边长分别是a、b、c.(1)若c2，C，且ABC的面积为，求a、b的值；(2)若sinCsin(BA)sin2A，试判断ABC的形状20在ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，且acosCcb.(1)求角A的大小；(2)若a，b4，求边c的大小参考答案1（1）2 （2）试题解析：（1）由可知，是锐角所以， 由正弦定理 (2) 由余弦定理： 2（1）；（2）.（1）解：角的对边分别为，得 ，所以，从而. （2）由得，所以. 又，解得. 3（1），函数的最大值为. （2）边的长为或. （1）由题意得： 所以 因为，所以所以当即时，函数在区间上的最大值

7、为. （2）由得：又因为，解得：或 由题意知 ，所以则或故所求边的长为或. 4（1）递减区间是. （2）. （1） 所以递减区间是. （2）由和得： 若，而又,所以因为，所以若，同理可得：，显然不符合题意，舍去.所以 由正弦定理得： 5(1) (2) cosB=解：(1)由cos(A-B)cosB-sin(A-B)sin(A+C)=-,得cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-.则cos(A-B+B)=-,即cosA=-.又0Ab,则AB,故B=.根据余弦定理,有(4)2=52+c2-25c,解得c=1或c=-7(负值舍去)故向量在方向上的投影为cosB=.6（1）a3，c3（2

8、）【解析】(1)由余弦定理b2a2c22accosB，得b2(ac)22ac(1cosB)，又ac6，b2，cosB，所以ac9，解得a3，c3.(2)在ABC中，sinB，由正弦定理得sinA，因为ac，所以A为锐角，所以cosA，所以sin(AB)sinAcosBcosAsinB.7（1）（2）5.【解析】(1)因为a3，b2，B2A.所以在ABC中，由正弦定理得.所以.故cosA (2)由(1)知cosA，所以sinA.又因为B2A，所以cosB2cos2A1.所以sinB.在ABC中，sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB.所以c5.8（1）A60（2）【解析】(1)由

9、已知条件得：cos2A3cosA1，2cos2A3cosA20，解得cosA，A60.(2)SbcsinA5c4，由余弦定理，得a221，(2R)228，sinBsinC.9（1）（2）C60【解析】(1)在ABC中，sinAsinBsinC，由正弦定理，得abc，abccc(1)c2ab2，c.(2)在ABC中，SABCabsinCsinC，ab，即ab.又ab2，在ABC中，由余弦定理，得cosC，又在ABC中C(0，)，C6010（1）（2）20【解析】(1)mnsinBcosB，mn，mn0，sinBcosB0.ABC为锐角三角形，cosB0，tanB.0B，B.(2)SABCacsi

10、nBac，由题设ac10，得ac40.由72a2c22accosB，得49a2c2ac，(ac)2(a2c2ac)3ac49120169.ac13，三角形周长是20.11（1）见解析（2）【解析】(1)证明：mn，asinAbsinB，即ab，其中R是ABC外接圆半径，ab.ABC为等腰三角形(2)解：由题意可知mp0，即a(b2)b(a2)0.abab.由余弦定理可知，4a2b2ab(ab)23ab，即(ab)23ab40，ab4(舍去ab1)SabsinC4sin.12（1）（2）【解析】(1)由2asinBb及正弦定理，得sinA.因为A是锐角，所以A.(2)由余弦定理a2b2c22bc

11、cosA，得b2c2bc36.又bc8，所以bc.由三角形面积公式SbcsinA，得ABC的面积为13（1）30海里/时（2）航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇【解析】(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则S.故当t时，Smin10海里，此时v30海里/时即小艇以30海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小 (2)设小艇与轮船在B处相遇，则v2t2400900t222030tcos(9030)，故v2900.0v30，900900，即0，解得t.又t时，v30海里/时故v30海里/时时，t取得最小值，且最小值等于.此时，在OAB中，有OAOBAB20

12、海里，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇 14汽车还需行驶15km，才能到达汽车站M.【解析】设汽车前进20km后到达B处，在ABC中，AC31，BC20，AB21，由余弦定理，得cosC，则sinC.所以sinMACsinsin120cosCcos120sinC.在MAC中，由正弦定理，得MC35，从而有MBMCBC15km.15缉私船沿北偏西60的方向能最快追上走私船【解析】由已知条件得，AB2，AC1，BAC120，BC.在ABC中，解得sinACB，ACB45，BC为水平线，设经过时间t小时后，缉私船追上走私船，则在BCD中，

13、 BD10t，CD10t，DBC120，sinBCD，BCD30，缉私船沿北偏西60的方向能最快追上走私船16【解析】在BCD中，CBD，由正弦定理得，所以BC.在RtABC中，ABBCtanACB.17km【解析】ACD中，ACD120，CADADC30，ACCDkm.在BCD中，BCD45，BDC75，CBD60，BC.在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosACB()22cos755，ABkm.故A、B之间的距离为km.18（1）5（2）【解析】(1)因为c2a2b22abcosC1444.所以c2.所以ABC的周长为abc1225. (2)因为cosC，所以sinC.所以sinA.因为ac，所以AC，故A为锐角，所以cosA.所以cos(AC)cosAcosCsinAsinC19（1）a2，b2.（2）等腰三角形或直角三角形【解析】(1)c2，C，由余弦定理c2a2b22abcosC，得a2b2ab4.又ABC的面积为，absinC，即ab4.联立方程组解得a2，b2.(2)由sinCsin(BA)sin2A，得sin(AB)sin(BA)2sinAcosA，即2sinBcosA2sinAcosA，cosA(sinAsinB)0，cosA0或sinAsinB0.当cosA0时，0A，A，ABC为直角