高等数学：4-2换元积分法

1、1 与它们与它们对应的是本节和对应的是本节和 基本积分法基本积分法 复合函数微分法和乘积的微分复合函数微分法和乘积的微分. 在在积分运算积分运算中中, (两种两种). 微分运算微分运算中有两个重要法则中有两个重要法则: 下节的换元积分法和分部积分法下节的换元积分法和分部积分法 第四章第四章 不定积分不定积分 2 第二节第二节 换元积分法换元积分法 第一换元积分法第一换元积分法 第二换元积分法第二换元积分法 小结小结 思考题思考题 作业作业 integration by substitution 第四章第四章 不定积分不定积分 3 xxd2cos Cx 2sin 解决方法解决方法将积分变量换成将

2、积分变量换成 令令xt2 xxd2costtdcos 2 1 Ct sin 2 1 Cx 2sin 2 1 x2sin x2cos xxdcosCx sin x2cos2 .2x因为因为 xd )d(2 2 1 x ,d 2 1 dtx t dt 2 1 xt2 一、第一换元积分法一、第一换元积分法 换元积分法换元积分法 4 第一换元积分法第一换元积分法 （凑微法凑微法）然后通过变换）然后通过变换 )(xu 化为不定积分化为不定积分 来计算来计算,积分后再将积分后再将 uufd)()(xu xxxfd)()( 代入代入. 换元积分法换元积分法 关键在于将关键在于将 dxxg)(化为化为 5 定

3、理定理 xxxfd)()( uufd)( 第一类换元公式第一类换元公式 )(d)(xxf )(xu （） 证证 xxxfd)()( x )()(xxf uufd)( x uufd)( u x u )()(xxf )(xu 可导可导, 则有换元公式则有换元公式 设设)(uf 具有原函数具有原函数, 注注 “凑微分凑微分”的主要思想是的主要思想是:将所给出的积分将所给出的积分 凑成积分表里已有的形式凑成积分表里已有的形式,合理选择合理选择 是凑微分的关键是凑微分的关键. )(xu )()(xuf )(x 换元积分法换元积分法 )(xu 6 例例 求求 xxd2sin 法一法一 xxd2sind2s

4、in x Cx 2cos 2 1 法二法二 xxd2sin xxxdcossin2 )(sindsin2xx Cx 2 sin xu2 uudsin 2 1 xusin Cu cos 2 1 uud2Cu 2 2 1 )2( x解解 换元积分法换元积分法 Cxxx cosdsin C x xx 1 d 1 7 法三法三 xxd2sin xxxdcossin2 )(cosdcos2xx Cx 2 cos xucos uud2 Cu 2 同一个积分用不同的方法计算同一个积分用不同的方法计算,可能可能 得到表面上不一致的结果得到表面上不一致的结果,但是实际上都但是实际上都 表示同一族函数表示同一族函

5、数. 注注 换元积分法换元积分法 C x xx 1 d 1 8 例例 求求x xd23 1 解解 x23 1 x xd23 1 xx x d)23( 23 1 2 1 u ud 1 2 1 Cu |ln 2 1 Cx |23|ln 2 1 )23(d 23 1 2 1 x x xu23 )23( x x23 1 2 1 换元积分法换元积分法 Cxx x |lnd 1 9 xxd31 对第一换元积分法熟练后对第一换元积分法熟练后,可以不再写出可以不再写出 中间变量中间变量. Cx 2 3 31 3 2 3 1 注注 3 1 )1( 1 d 1 C x xx 换元积分法换元积分法 )31(dx x

6、31 dxbaxf)( baxu duuf a )( 1 一般地一般地 10 例例 x x xdln 解解x x xdln )(lndlnxxC x 2 )(ln 2 x xx d )ln21( 1 解解x xx d )ln21( 1 )(lnd ln21 1 x x )ln(d ln21 1 x x Cx )ln21ln( 2 1 1 2 2 1 换元积分法换元积分法 11 小结小结常见的凑微分类型有常见的凑微分类型有 xbaxfd)( xxbaxf mm d)( 1 )(d)( )1( 1 11 baxbaxf ma mm )0()(d)( 1 abaxbaxf a 换元积分法换元积分法

7、2 d ) 1 ( x x x f ) 1 d() 1 ( xx f x x xfd 1 )(ln )lnd()(lnxxf xeef xx d)()d()( xx eef x x xf d )()d()(2xxf 12 xxxfdsec)(tan 2 xxxfdcsc)(cot 2 x x xfd 1 1 )(arcsin 2 x x xfd 1 1 )(arctan 2 小结小结 换元积分法换元积分法 xxxfdcos)(sin xxxfdsin)(cos xxfdsin)(sin xxfdcos)(cos xxftand)(tan xxfcotd)(cot xxfarctand)(arc

8、tan Cxf )(ln )( )(d xf xf x xf xf d )( )( xxfarcsind)(arcsin 13 )tan1(cos d . 1 2 xx x x x tan1 )tan1(d d 3 x e)3(d 3 2 3 xe x x x e x d. 2 3 Ce x 3 3 2 xxfxxxftand)(tandsec)(tan 2 Cx tan1ln 2x 换元积分法换元积分法 x x xf d )()d()(2xxf 14 例例 求求 x xa d 1 22 解解x xa d 1 22 x a xa d 1 11 2 2 2 x a x a d 1 11 22 C

9、 a x a arctan 1 x xa d 1 22 C a x a arctan 1 x x d 1 1 2 Cx arctan a x a x a d 1 11 2 换元积分法换元积分法 15 例例 求求x xx d 258 1 2 解解 x xx d 258 1 2 x x d 9)4( 1 2 C x 3 4 arctan 3 1 x xa d 1 22 C a x a arctan 1 22 )4(3 )4(d x x x x d )4(3 1 22 换元积分法换元积分法 16 例例 解解 x xa d 1 22 2 1 d 1 a x a x a a C a x arcsin )

10、0(d 1 22 ax xa x x d 1 1 2 Cx arcsin )0(d 1 22 ax xa C a x arcsin 2 2 2 1 d a x a x 换元积分法换元积分法 17 且有很大的灵活性且有很大的灵活性, 加一项减一项、加一项减一项、 可通过三角恒等变换、可通过三角恒等变换、 一个因子等方法，一个因子等方法， 第一换元积分法是不定积分的基础，第一换元积分法是不定积分的基础， 代数运算、代数运算、上，下同除以上，下同除以 使积分变得易求使积分变得易求. 大体可分成两类大体可分成两类 换元积分法换元积分法 1. 某些有理函数和其他函数某些有理函数和其他函数 2. 某些三角

11、函数某些三角函数 18 例例 求求x x x d )1( 3 解解x x x d )1( 3 x x d )1( 3 )1(d )1( 1 )1( 1 32 x xx C xx 2 )1(2 1 1 1 1. 某些有理函数和其他函数某些有理函数和其他函数 x1 1 换元积分法换元积分法 19 例例 求求x e x d 1 1 解解 x e x d 1 1 x e x d 1 1 x e e x x d 1 1 x e e x x x d 1 d xd Cex x )1ln( x e x e )1(d 1 1 x x e e 法一法一 换元积分法换元积分法 20 x e x d 1 1 法二法二

12、 xx exedd x e x d 1 1 x e x d )1( x e x e x xx e ee d )1( 1 x eu u uu d )1( 1 u uu d )1( )1( uu u uu d 1 11 Cuu )1ln(lnC e e x x 1 ln u ud 1 )1d( 1 1 u u 换元积分法换元积分法 21 例例 )0(d 1 22 ax xa 解解 22 1 xa 原式原式= x xa x xaa d 1 d 1 2 1 Cxaxa a lnln 2 1 C xa xa a ln 2 1 xaxaa 11 2 1 )0(ln 2 1 d 1 22 aC ax ax

13、a x ax 换元积分法换元积分法 22 例例 求求xe x x x d) 1 1( 1 2 解解 x x 1 xe x x x d) 1 1( 1 2 ) 1 (d 1 x xe x x Ce x x 1 换元积分法换元积分法 隐隐 凑凑 2 1 1 x 23 例例 求求x xx d 1232 1 原式原式x xxxx xx d )1232( )1232( 1232 xxxxd12 4 1 d32 4 1 )12(d12 8 1 )32(d32 8 1 xxxx Cxx 33 12 12 1 32 12 1 解解 换元积分法换元积分法 24 例例 xxdtan 解解 原式原式=x x x d

14、 cos sin x x cos cosd Cx cosln Cxxx sinlndcot 2. 某些三角函数某些三角函数 换元积分法换元积分法 25 例例 求求 解解 x x d sin 1 xxdcsc xxdcsc x xx d 2 cos 2 sin2 1 2 d 2 cos 2 tan 1 2 x xx 2 tand 2 tan 1x x C x 2 tanlnCxx )cotln(csc （使用了三角函数恒等变形）（使用了三角函数恒等变形） 分步凑分步凑 法一法一 换元积分法换元积分法 xxxfdsec)(tan 2 xxftand)(tan 26 x x d sin 1 xxdc

15、sc x x x d sin sin 2 )(cosd cos1 1 2 x x xucos u u d 1 1 2 C u u 1 1 ln 2 1 C x x cos1 cos1 ln 2 1 类似可推出类似可推出 Cxxxx)tanln(secdsec 法二法二 )0(d 1 22 ax xa C xa xa a ln 2 1 换元积分法换元积分法 27 例例 求求 解解 xxxdcossin 52 xxxdcossin 52 )(sindcossin 42 xxx )(sind)sin1(sin 222 xxx )(sind)sinsin2(sin 642 xxxx Cxxx 753

16、sin 7 1 sin 5 2 sin 3 1 换元积分法换元积分法 28 例例 求求 xxdsin 2 解解 xxdsin 2 xxx2d2cos 4 1 d 2 1 Cx x 2sin 4 1 2 ,有一个是奇数时有一个是奇数时、当当nm ,都都是是偶偶数数时时、当当nm ,cossin积分积分xx nm 拆开奇次项去拆开奇次项去凑微分凑微分; 公式公式降幂降幂,再积分再积分. 注注 换元积分法换元积分法 用倍角用倍角 xx d)2cos1( 2 1 29 例例 求求 解解 xxxd2cos3cos )cos()cos( 2 1 coscosBABABA )5cos(cos 2 1 2co

17、s3cosxxxx xxxxxxd)5cos(cos 2 1 d2cos3cos Cxx 5sin 10 1 sin 2 1 不同角度的正弦、余弦之积的积分常用不同角度的正弦、余弦之积的积分常用 积化和差公式来化简积化和差公式来化简. 注注 换元积分法换元积分法 30 例例 求求 解解 x x d cos1 1 x x d cos1 1 x xx x d cos1cos1 cos1 x x x d cos1 cos1 2 x x x d sin cos1 2 x x d sin 1 2 C x x sin 1 cot )(sind sin 1 2 x x 换元积分法换元积分法 也可以化掉分母中

18、的也可以化掉分母中的“1” 31 例例 求求 解解 x x x d 2 arcsin4 1 2 x x x d 2 arcsin4 1 2 2 d 2 arcsin 2 1 1 2 x xx ) 2 (arcsind 2 arcsin 1x x C x 2 arcsinln 换元积分法换元积分法 32 例（特殊积分） 解 取 ， 又 ， 取 ， 则 dx x BxA I 22 2 )1 ( dx x x I 22 2 1 )1 ( 1 22 2 11 )1 ( )(? x xBA 2 2 2 1 1 ) 1 ( x x x x C x x dx x x I 22 2 2 11 1 2211 I

19、kIkIC x x kxk 2 21 1 arctan B A kk 1 1 1 1 21 33 例（特殊积分） Cxbxadx xbxa xaxb I |sincos|ln sincos sincos 1 Cxdx xbxa xbxa I sincos sincos 2 2211 sincos sincos IkIkdx xbxa xBxA I 0, 22 baRBA 34 解解 令令xu 2 sin ux 1cos 2 ,1)(uuf uuufd1)( Cuu 2 2 1 Cxxxf 2 2 1 )( )(,cos)(sin 22 xfxxf求求设设 对此类题对此类题,一般可用下列各种解法

20、一般可用下列各种解法 法一法一 思考题思考题1 换元积分法换元积分法 35 法二法二 )(,cos)(sin 22 xfxxf求求设设 )(sin 2 xf 令令,sin 2 tx 则则 Cttf 2 )1( 2 1 )( ,)(sin)(sin 22 的的导导数数而而不不是是对对变变量量xtxxf )(sin 2 xf 换元积分法换元积分法 它是函数它是函数 xd x 2 sind C t t 2 2 xx x 此方法中应注意此方法中应注意的涵义的涵义, )(sin 2 xf )(sin 2 xf xxxxdcossincos2 2 xx cosdcos2 3 C x C x 2 cos 4

21、 cos 2 44 )(sin 2 x f 36 ) )( )( (d xf xf 求求x xf xfxf xf xf d )( )()( )( )( 3 2 解解 C xf xf 2 )( )( 2 1 ) )( )( (d )( )( xf xf xf xf 思考题思考题2 换元积分法换元积分法 原式原式= x xf xfxfxf d )( )()()( 2 2 )( )( xf xf 37 二、第二换元积分法二、第二换元积分法 x x d 1 1 有根式有根式 解决方法解决方法 消去根式消去根式, ,xt 令令 xd x x d 1 1 t tt 1 d2 t t t d 1 11 2

22、t t td 1 1 d2 Ctt )1ln(22Cxx )1ln(22 )0( 2 ttx 困难困难 即即 则则ttd2 t ttd2 回代回代 换元积分法换元积分法 其其中中)(x 是是)(tx 的的反反函函数数. . 证证设设 为为 的原函数的原函数, )(t )()(ttf 令令 )()(xxF 则则 dx dt dt d xF )()()(ttf , )( 1 t 设设)(tx 是单调的、可导的函数，是单调的、可导的函数， )( )()()( xt dtttfdxxf 则有换元公式则有换元公式 并且并且0)( t ，又设 又设)()(ttf 具有原函数，具有原函数， 定理定理2 2

23、第二类积分换元公式第二类积分换元公式 CxFdxxf)()(,)(Cx )( )()()( xt dtttfdxxf )(tf ).(xf 说明说明)(xF为为)(xf的原函数的原函数, 40 第二类换元公式第二类换元公式 第二换元积分法第二换元积分法 不易计算时不易计算时, 可作适当变换可作适当变换 ),(tx 化为不定积分化为不定积分 积分后再将积分后再将 )( 1 xt 若积分若积分 xxfd)( tttfd)()( 计算计算, 代入代入. 换元积分法换元积分法 41 a xa 22 a x 例例 求求)0(d 22 axxa 解解 令令taxsin ttaxdcosd 2 , 2 t

24、xxad 22 ttadcos 22 taa 222 sin t t ad 2 2cos1 2 Ctt a )2sin 2 1 ( 2 2 t ax 22 xa 辅助三角形辅助三角形 a x arcsin ttadcos a xa arcsin 2 2 Cttt a )cossin( 2 2 Cxa x 22 2 回代 回代 换元积分法换元积分法 42 例例 求求 解解 )0(d 1 22 ax ax 令令taxtan ttaxdsecd 2 x ax d 1 22 tasec 1 ttdsec 1 |tansec|lnCtt t a x 22 ax 2 , 2 t aCaxxln|ln 1

25、22 Caxx |ln 22 ttadsec 2 回代 回代 ln 1 C a ax 22 a x 辅助三角形辅助三角形 换元积分法换元积分法 ttdsecCtt |tansec|ln 43 通过变换通过变换xaxsec x ax d 1 22 Caxx |ln 22 利用相应的三角变换利用相应的三角变换, xaxd 22 Caxx a ax x |ln 22 22 2 22 相仿地相仿地,可算出可算出 还可得到还可得到重要公式重要公式 换元积分法换元积分法 注意注意：根号对绝对值符号的影响：根号对绝对值符号的影响 44 注注 以上几例所使用的均为以上几例所使用的均为 三角代换的三角代换的目的

26、目的 当当被积函数被积函数中含有中含有 ,)1( 22 xa 令令taxsin ,)2( 22 xa 令令taxtan ,)3( 22 ax 令令 taxsec taxcos 或或 taxcot 或或 taxcsc 或或 taxsh 或或 taxch 或或 双曲代换双曲代换 回代时回代时,一定要借助一定要借助辅助三角形辅助三角形. 1shch 22 xx 三角代换三角代换. 是化掉根式是化掉根式. 一般规律一般规律: 双曲函数的恒等式双曲函数的恒等式 ,chsh1 22 xx xx 22 sh1ch 换元积分法换元积分法 45 例例 .d 1 2 5 x x x 求求 （三角代换很繁琐）（三角

27、代换很繁琐） ,1 2 xt 令令, 1 22 tx ,ddttxx x x x d 1 2 5 t t 22 )1( tttd12 24 Cttt 35 3 2 5 1 Cxxx 242 1)348( 15 1 解解 txtan x x d 1 2 4 xx ttd 回代 回代 换元积分法换元积分法 46 三角代换三角代换(或双曲代换或双曲代换) 注注 需根据被积函数的情况来定需根据被积函数的情况来定. 积分中为了化掉根式是否一定采用积分中为了化掉根式是否一定采用 并不是绝对的并不是绝对的, 换元积分法换元积分法 47 例例 求求 解解 xxxd4 23 令令,sin2tx ,dcos2dt

28、tx 2 , 2 t 3 sin2t tttdcossin32 23 ttttdcos)cos1(sin32 22 tttcosd)cos(cos32 42 Ctt )cos 5 1 cos 3 1 (32 53 t 2 x 2 4x Cxx 5 2 3 2 4 5 1 4 3 4 法一法一 原式原式=ttdcos2 t 2 sin44 回代 回代 换元积分法换元积分法 48 法二法二 xxxd4 23 222 d4xxx uuud4 2 1 2 xu uud4)( 2 1 uuuuud44d44 2 1 uuuud42d4 2 1 2 1 2 3 uuuu 4d424d4 2 1 2 1 2

29、 3 Cxx 2 3 2 2 5 2 4 3 4 4 5 1 Cuu 2 3 2 5 4 3 4 4 5 1 原式原式= xx 2 xx d4 2 2 1 u 44 回代回代 换元积分法换元积分法 49 例例 求求 解解 x e x d 1 1 ,1 x et 令令 , 1 2 te x .d 1 2 d 2 t t t x x e x d 1 1 t t d 1 2 2 C t t 1 1 ln Cxe x )11ln(2 ),1ln( 2 tx C ax ax a x ax ln 2 1 d 1 22 回代回代 换元积分法换元积分法 50 例例 x xx d )2( 1 7 求求 令令 t

30、 x 1 t t xd 1 d 2 x xx d )2( 1 7 t t t t d 1 2 1 27 t t t d 21 7 6 Ct |21|ln 14 1 7 Cxx |ln 2 1 |2|ln 14 1 7 解解 7 7 21 )21(d 14 1 t t 法一法一 回代回代 换元积分法换元积分法 倒代换倒代换 t x 1 注注 可用来消去分母中的变量可用来消去分母中的变量. 一些情况下一些情况下(如被积函数是分式如被积函数是分式,分母的方幂分母的方幂 较高时较高时), 51 法二法二 x xx d )2( 1 7 x xx d )2( 1 7 x x d )2( 7 7 xu )2

31、( d 7 1 77 7 xx x )2( d 7 1 uu u u u u u d 2 1 d 1 14 1 Cuu 2lnln 14 1 Cxx |ln 2 1 |2|ln 14 1 7 u uu uu d )2( 2 2 1 7 1 回代回代 还有别的方法吗？还有别的方法吗？ 换元积分法换元积分法 7 x 6 x 52 法三法三 x xx d )2( 1 7 x xx d )2( 1 7 x xx d )2( 7 2 2 1 7 x 7 x x xd 1 2 1 x x x d 22 1 7 6 |ln 2 1 x Cxx |2|ln 14 1 |ln 2 1 7 )2(d 2 1 14

32、 1 7 7 x x 换元积分法换元积分法 53 如如: : 倒代换倒代换 t x 1 对如下形式对如下形式 22 d xax x 222 d xax x 22 d axx x 222 d axx x x x xa d 4 22 x x ax d 4 22 都适用都适用. 换元积分法换元积分法 54 例例 求求 解解 x xx d 1 1 24 x xx d 1 1 24 令令 t x 1 t t xd 1 d 2 t t tt d 1 1 11 1 2 24 （分母的阶较高）（分母的阶较高） t t t d 1 2 3 2 2 2 d 12 1 t t t 2 tu 换元积分法换元积分法 55 u u u d 12 1 u u u d 1 11 2 1 )1(d1 1 1 2 1 uu u Cuu 11 3 13 C x x x x 2 3 2 11 3 1 t x 1 2 tu 回代回代 换元积分法换元积分法 56 为各根指数的为各根指数的最小公倍数最小公倍数） lk xx, n tx n 注注 当被积函数含有两种或两种以上当被积函数含有两种或两种以上 的根式的根式时，时， 可采用令可采用令 （其中（其中 换元积分法换元积分法 57 例例x xx d )1( 1 3