概率论：第2-1-2-2节随机变量的定义(随机变量的分布函数)

1、2021年7月16日星期五(共17页)1 一维随机变量及其分布一维随机变量及其分布第第2章章 n 离散型随机变量离散型随机变量 n 连续型随机变量连续型随机变量 n 一维随机变量函数的分布一维随机变量函数的分布 n 随机变量定义随机变量定义 n 随机变量的分布函数随机变量的分布函数 2021年7月16日星期五(共17页)2 在前面的学习中在前面的学习中,我们用字母我们用字母A、B、C.表表 示事件，并视之为样本空间示事件，并视之为样本空间的子集；针对等的子集；针对等 可能概型，主要研究了用排列组合手段计算事可能概型，主要研究了用排列组合手段计算事 件的概率。件的概率。 本章，将用随机变量表示随

2、机事件，以便本章，将用随机变量表示随机事件，以便 采用高等数学的方法描述、研究随机现象。采用高等数学的方法描述、研究随机现象。 第第2.1节节 随机变量的定义随机变量的定义 随机变量随机变量 n基本思想基本思想 将样本空间数量化将样本空间数量化,即用数值来表示试验的结果即用数值来表示试验的结果 n 有些随机试验的结果可直接用数值来表示有些随机试验的结果可直接用数值来表示. 例如例如: 在掷骰子试验中在掷骰子试验中,结果可用结果可用1,2,3,4,5,6来表示来表示 例如例如: 掷硬币试验掷硬币试验,其结果是用汉字其结果是用汉字“正面正面”和和“反面反面”来表来表 示的示的 可规定可规定: 用用

3、 1表示表示 “正面朝上正面朝上” 用用 0 表示表示“反面朝上反面朝上” Random Variable n 有些随机试验的结果不是用数量来表示，但可数量化有些随机试验的结果不是用数量来表示，但可数量化. 特点特点：试验结果数量化了，试验结果与数建立了试验结果数量化了，试验结果与数建立了 对应关系对应关系. 随机变量的定义随机变量的定义 1) 它是一个变量它是一个变量; 2) 它的取值随试验结果而改变它的取值随试验结果而改变; 3）随机变量在某一范围内取值，表示一个）随机变量在某一范围内取值，表示一个 随机事件随机事件. n 随机变量随机变量 n 随机变量的特征随机变量的特征: 设随机试验的

4、样本空间为设随机试验的样本空间为，如果对于每一，如果对于每一 个样本点个样本点 ，总有一个实数，总有一个实数 与与 之对应，称之对应，称 为样本空间为样本空间上上 的随机变量。的随机变量。 ( )X ( )XX 随机变量取值的随机性规律随机变量取值的随机性规律 称为随机变量的分布，或概称为随机变量的分布，或概 率分布。率分布。 2021年7月16日星期五(共17页)5 随机变量随着试验的结果不同而取不同的值随机变量随着试验的结果不同而取不同的值, 由于试验的各个结果的出现具有一定的概率由于试验的各个结果的出现具有一定的概率, 因因 此随机变量的取值也有一定的概率规律此随机变量的取值也有一定的概

5、率规律. (2) 随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量的取值具有一定的概率规律 随机变量是一个函数随机变量是一个函数 , 但它与普通的函数有但它与普通的函数有 着本质的差别着本质的差别 ,普通函数是定义在实数轴上的普通函数是定义在实数轴上的,而而 随机变量是定义在样本空间上的随机变量是定义在样本空间上的 (样本空间的元样本空间的元 素不一定是实数素不一定是实数). 说明说明 (1) 随机变量与普通的函数不同随机变量与普通的函数不同 2021年7月16日星期五(共17页)6 有了随机变量，随机试验中的各种事件，有了随机变量，随机试验中的各种事件， 就可以通过随机变量的关系式表达出来就可以通过

6、随机变量的关系式表达出来. 引入随机变量的意义引入随机变量的意义 例如例如：单位时间内某电话交换台收到的呼：单位时间内某电话交换台收到的呼 叫 次 数 用叫 次 数 用 X 表 示 ， 它 是 一 个 随 机 变 量表 示 ， 它 是 一 个 随 机 变 量 . 事件事件收到不少于收到不少于1次呼叫次呼叫 X 1 没有收到呼叫没有收到呼叫 X= 0 2021年7月16日星期五(共17页)7 随机变量概念的产生是概率论发展史随机变量概念的产生是概率论发展史 上的重大事件上的重大事件. 引入随机变量后，对随机引入随机变量后，对随机 现象统计规律的研究，就由对事件及事件现象统计规律的研究，就由对事件

7、及事件 概率的研究扩大为概率的研究扩大为对随机变量及其取值规对随机变量及其取值规 律的研究律的研究. 事件及事件及 事件概率事件概率 随机变量及其随机变量及其 取值规律取值规律 2021年7月16日星期五(共17页)8 2021年7月16日星期五(共17页)9 2021年7月16日星期五(共17页)10 离散型离散型 -只有限个或可列无限多个可能的只有限个或可列无限多个可能的 取值取值 非离散型非离散型 连续型连续型 混合型混合型 2021年7月16日星期五(共17页)11 用随机变量表示事件用随机变量表示事件 n 若若X是实验是实验E的一个随机变量，那么的一个随机变量，那么 (X=1), (

8、Xa), (aXb) , (X=2k,kN) 都表示都表示E中的事件中的事件 如在掷骰子试验中，用如在掷骰子试验中，用X表示出现的点数表示出现的点数,则则 “出现偶数点出现偶数点”可表示为：可表示为：X=2 X=4 X=6 “出现的点数小于出现的点数小于”可表示为：可表示为：X 4或或X 3 n E中的事件通常都可以用中的事件通常都可以用X的不同取值来表示的不同取值来表示. 2021年7月16日星期五(共17页)12 设设X为一随机变量为一随机变量,则对任意实数则对任意实数x，Xx是一个随机事件，是一个随机事件， 称称 F(x) = P Xx 定义域为定义域为？ （，）；）； 值域为值域为？，

9、。，。 2.2随机变量的分布函数随机变量的分布函数 2021年7月16日星期五(共17页)13 实际意义实际意义 函数函数F(x)的值的值,大小等于大小等于X落于区间落于区间(-,x上的概率值。上的概率值。 x x 注意注意：F（x）的值不是）的值不是X取值于取值于x时的概率时的概率,而是在而是在 整个区间整个区间 上上X取值的取值的“累积概率累积概率”的值。的值。,(x 2021年7月16日星期五(共17页)14 F(x)是一个单调不减函数是一个单调不减函数; 0 F(x) 1, 且且 ()lim( )0, ()lim( ) 1 xx FF xFF x F(x+0)=F(x), 即即 F(x

10、)是右连续的。是右连续的。 PXaPXb ？当？当ab,F(a)F(b) ？ X a X b, ! 注注:若将分布函数定义为若将分布函数定义为: F(x)=PXx 性质（）将改为左连续。性质（）将改为左连续。 2021年7月16日星期五(共17页)15 (1) PXb=F(b); (2) PaXb=F(b) F(a); (3) PXb=1 PXb =1 - F(b); (5) PXb=1 PXb =1 F(b0) 2021年7月16日星期五(共17页)16 例例 设随机变量设随机变量X的分布函数为：的分布函数为： F（x）=A+Barctanx （-x+） 试求试求（1）系数）系数A与与B； （2） X落在（落在（-1，1内的概率。内的概率。 解解（1）由）由F( -)=0， F( +)=1，可得，可