八年级数学20.2 矩形的判定；20.3 菱形的判定；20.4 正方形的判定华东师大版知识精讲

1、初二初二数学数学 20.2 矩形的判定；矩形的判定；20.3 菱形的判定；菱形的判定；20.4 正方形的判定正方形的判定 华东师大版华东师大版 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 20.2 矩形的判定 20.3 菱形的判定 20.4 正方形的判定 二. 重点、难点： 1. 重点： 掌握矩形、菱形、正方形的判定方法； 探索矩形、菱形、正方形的判定条件； 熟练运用这些判定方法进行论证和计算； 感受基本图形间内在的联系和相互转化 2. 难点： 探索掌握矩形、菱形、正方形的判定方法； 熟练运用这些判定方法解决问题 三. 知识梳理： 1. 矩形 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是

2、矩形； （2）性质定理 矩形的四个角都是直角； 矩形的对角线互相平分且相等 （3）判定定理 有一个角是直角的平行四边形是矩形； 对角线相等的平行四边形是矩形； 有三个角是直角的四边形是矩形 证明矩形可以先证明它是一个平行四边形，再证明它有一个角是直角或对角线相等； 也可以直接证明其中有三个角是直角 2. 菱形 （1）矩形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）性质定理 菱形四条边都相等； 菱形对角线互相平分且垂直； 每条对角线平分一组对角； （3）判定定理 有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 四条边都相等的四边形是菱形 证明菱形可以先证明它是一个平

3、行四边形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂 直；也可以直接证四条边都相等 3. 正方形 （1）正方形的定义：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形； （2）性质定理 正方形的四个角都是直角，四条边都相等 正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角 （3）判定定理 有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形； 有一个角是直角的菱形是正方形； 有一组邻边相等的矩形是正方形 4. 矩形、菱形、正方形相互间的关系及判定“梯形”图 【典型例题典型例题】 例例 1. 如图所示，延长等腰三角形 ABC 的腰 BA 至 D，使 ADBA，延长 CA 至 E，使

4、 AECA，连结 CD、DE、EB求证：四边形 BCDE 是矩形 分析：分析：矩形的判定方法有多种，要结合具体条件，选择最简单的说明方法本题可先 说明四边形BCDE是平行四边形，然后由BDCE进一步得出四边形BCDE为矩形通过对 角线相等来判定矩形，必须有一个前提，就是所判别的四边形是平行四边形 证明：证明：ADBA，AECA 四边形 BCDE 是平行四边形 ABAC ABADACAE 即BDCE 平行四边形BCDE是矩形 （对角线相等的平行四边形是矩形） ABBC 么BAG么C AGCF BAG望BCF（SA. S） B G B F ， 么 G B A 么 F B C （ 全 等 三 角 形

5、 对 应边相等，对应角相等） EB45， 么GBE么GBA么ABE么FBC 么ABE45 么GBE么FBE 在GBE和FBE中， GBFB 么GBE么FBE BEBE GBEFBE（SA. S） GEEF EFAEAGAEFC 【反思】 “割”与“补”是几何证明线段 “和” 、 “差”的常用方法，主要是把等量放人全等三角形中再去证明 例例 2. 如图ABCD 的四个内角的平分线相交于点 E、F、G、H，求证：四边形 EFGH 是 矩形 分析：分析：本题应用了矩形的判定定理有三个角是直角的四边形是矩形 证明：证明：在平行四边形 ABCD 中，ADBC， DABABC180， FAB DAB，AB

6、F ABC， 1 2 1 2 FABABF （DABABC） 1 2 1 8090 1 2 EFG90 同理可证FGHGHE90 四边形 EFGH 是矩形 （有三个角是直角的四边形是矩形） 例例 3. 现有如图所示的方角铁皮，工人师傅想用一条直线将其分割成面积相等的两部分， 请你帮助工人师傅设计三种不同的分割方案 （不写作法，保留作图痕迹或简要的文字说明） 分析：分析：把原图形分割成两个矩形的组合，分别取两矩形对角线的交点，过这两个交点 作一直线即可运用割补的方法构造规则图形是解决几何问题的常用方法 解答：解答：如图（、）中的直线 MN 即为所求作的直线 例例 4. 如图所示，已知在菱形 AB

7、CD 中，E 是 AB 的中点，且 DEAB，ABa 求： ABC 的度数； 对角线 AC 的长； 菱形 ABCD 的面积 分析：分析：DE 实际上是 AB 的中垂线，可得 DADB，由此得ABD 为正三角形，由 ABD 的性质可分别求出菱形的各角度数与对角线长，从而各个量均能求出 解答：解答：连结 BD ABCD 是菱形 ADAB（菱形的四条边都相等） E 是 AB 中点且 DEAB ADDB（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等） ADABDB 即ABD 为等边三角形 同理DBC 也为等边三角形 ABC120 四边形 ABCD 为菱形 ACBD，AOCO，BODO（菱形的对角线互相垂

8、直平分） ABD 为等边三角形 ABa OB a 2 1 在 RtABO 中，OAa （勾股定理） 2 3 AC2AOa； 3 四边形 ABCD 面积 ACBD 1 2 aa 1 2 3 a2 2 3 例例 5. 如图，等宽的两张纸条重叠，猜想重叠部分是什么图形，为什么？ 分析：分析：纸条交叉重叠在一起易得：ABCD，ADBC 只要找到一组邻边相等即 可 解答：解答：因为纸条等宽，所以ABC 以 BC 为底的高和以 AB 为底的高相等，所以 ABBC 纸条交叉重叠在一起可得：ABCD，ADBC 所以四边形 ABCD 是平行四边形 因此可得重合的四边形 ABCD 是一个菱形 例例 6. 如图，已

9、知在ABC 中，AD 是角平分线，AD 的垂直平分线分别交 AB、AC 于点 E、F 求证：四边形 AEDF 是菱形 分析：分析：由 EF 垂直平分 AD 可得 AFFD，即有一组邻边相等，这样只需证明四边形 AEDF 是平行四边形即可此题也可通过证明四边都相等得证 证明：证明：EF、垂直平分 AD AFFD DAFADF EADDAF EADADF AEDF 同理 DEAF 四边形 AEDF 是平行四边形 又AFFD 四边形 AEDF 是菱形 例例 7. 如图，已知四边形 ABCD 是正方形，分别过 A、C 两点作，作 BM于 1 l 2 l 1 l M， DN于 N，直线 MB、ND 分别

10、交于 Q、P求证：四边形 PQMN 是正方形 1 l 2 l 分析：分析：已知条件中的平行和垂直条件可直接得到 PQMN 是矩形，这里只要证明 MNPN 即可正方形的证明一般情况下可先证明它是矩形（或菱形）再证明它满足菱形 （或矩形）的一个特殊条件即可 证明：证明：PN，QM 1 l 1 l PNQM，PNM90 PQ/MN PQMN 是矩形（有一个角是 90的平行四边形为矩形） ABCD 是正方形 BADADC90，ABADDC NADBAM90，而NADNDA90 BAMNDA（同角的余角相等） 在 RtABM 与 RtDAN 中 BMAAND，BAMNDA，ABAD ABMDAN（A.A

11、.S） AMDN（全等三角形对应边相等） 同理可证 ANDP AMANDNDP，即 MNPN PQMN 是正方形 例例 8. 如图，在正方形 ABCD 的 BC、CD 边上取 E、F 两点，使EAF45，AGEF 于 G 求证：AGAB 分析：分析：欲证 AGAB，就图形直观来看，应证 RtABE 与 RtAGE 全等，但条件不 够EAF45怎么用呢？显然1245，若把它们拼在一起，问题就解决了 证明：证明：把 AFD 绕 A 点旋转 90至AHB EAF45，1245 23，1345 又由旋转所得 AHAF，AEAE AEFAEH（S.A.S） AGAB 例例 9. 画一个正方形，使它的对角

12、线长为 30cm，并说明画法的依据 分析：分析：因为要求画出的正方形的对角线长为 30cm，所以应从对角线的角度判定四边形 是正方形，再画出图形 画法画法：1、画线段 AC30cm，取 AC 的中点 O 2、过点 O 画 AC 的垂线，并分别在 AC 的两侧取 OBOD15cm 3、连结 ABBCCDDA 则四边形 ABCD 就是所要画的正方形 证明：证明：AOCO，BODO 四边形 ABCD 是平行四边形 又ACBD 平行四边形 ABCD 是矩形 ACBD 平行四边形 ABCD 是菱形 四边形 ABCD 是正方形（对角线互相垂直的矩形是正方形） 【模拟试题模拟试题】 （答题时间：45 分钟）

13、 一、选择题 1.下列说法中错误的是 （ ） A. 两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 B. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 C. 四个角都相等的四边形是矩形 D. 邻边相等的四边形是正方形 2. 用两块大小形状完全相同的含 30角的三角板拼成下列图形矩形，正方形，平 行四边形，菱形一定能拼成的个数有 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 如果一个四边形的两条对角线互相平分，互相垂直且相等，那么这个四边形是 （ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 菱形、矩形或正方形 4. 如图，在平行四边形 ABCD 中，ABAD，BEAD，BFCD， E、F 分别为垂

14、足，且 E 是 AD 的中点，则EBF 为 （ ） A. 45 B. 50 C. 60 D. 75 5. 下列条件不能判定四边形是正方形的是（ ） A. 有一组邻边相等的矩形 B. 对角线相等的菱形 C. 对角线互相垂直且相等的平行四边形 D. 有一个角是直角的平行四边形 6. 如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为矩形，则 四边形ABCD应具备的条件是（ ） A. 一组对边平形而另一组对边不平行 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分 7. 将一张矩形纸对折再对折（如图） ，然后沿着图中的虚线剪下，得到、两部分， 将展开后得到的平面图

15、形是（ ） A. 矩形 B. 三角形 C. 梯形 D. 菱形 8. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则在下列条件中 ABBCCDDAOAOBOCOD；ACBD，能说明四边形ABCD是正方形 的有几个？ （ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 9. 如图，以等边三角形ABC的边BC向外作正方形BCDE，则ABD105 ACD150DAE30，DAC15其中正确的结论是多少个？ （ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题 1. 正方形的识别方法有：（1） 的菱形是正方形； （2） 的矩形是正方形 2. 要说明一个四边形是菱形，可以先说明

16、这个四边形是 ，再说明这个图形 （只需填一种方法） 3. 工人师傅做销合金窗框分下面三个步骤进行： （1）先截出两对符合规格的铝合金窗料， （如图） ，使ABCD，EFGH； （2）摆放成如图的四边形，则这时窗框的形状是 形，根据的数学道理是 ；（3）将直角尺靠紧窗框的一个角（如图） ，说明窗框合格，这时窗框是 形，根据 的数学道理是： . 4. 如图，等边ABC 中，D、E、F 分别是 AB、BC、CA 边上的中点，那么图中有 个等边三角形（不包括ABC） ，有 个菱形 5. 菱形 ABCD 中，BAD2B，对角线 AC4cm，则这个菱形的周长是 6. 如图，在矩形ABCD中，AB6，BC8

17、，若将矩形折叠，使B点与D点重合，则折痕 EF分矩形面积的比是 7. 如图，在正方形 ABCD 中 P 为 CD 上任意一点，且 PEDB 于 E，PFAC 于 F，若 AD10，则 PEPF 三、解答题 1. 如图，BO是RtABC斜边上的中线，延长BO至点D，使DOBO，连结AD，CD，则 四边形ABCD是矩形吗？请说明理由 2. 已知：如图所示，在ABC 中 BD 是ABC 的角平分线，EF 是 BD 的垂直平分线， 且交 AB 于点 E，交 BC 于点 F，求证：四边形 BFDE 是菱形 3. 如图，在ABC中，ACB90，CD平分ACB，DEBC于E，DFAC于F， （1）判断四边形

18、CFDE的形状（2）说明你的理由 4. 如图，在ABC 中，P 是 AC 上的一个动点，PEBC 交 AB 于点 E，PF/AB 交 BC 于 F. （1）四边形 BFPE 一定是什么四边形？说明理由 （2）ABC 满足什么条件时，四边形 BFPE 一定是矩形？说明理由 （3）若ABC 是正三角形，则 P 在 AC 的什么位置时，四边形 BFPE 是菱形？（只 需判断点 P 的位置即可） 【试题答案试题答案】 一.选择题 1. D；2. B；3. C；4. C；5. D；6. C；7. D；8. A；9. D. 二. 填空题 1. 有一个角是直角；有一组邻边相等 2. 平行四边形；对角线互相垂直 3. 平行四边；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；矩；有一个角是直角的平行四 边形是矩形 4. 四；三 5. 16cm 6. 1：1 7. 5 2 三. 解答题 1. 是矩形理由提示：先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得四边形 AB