第二节函数和、差、积、商求导法则

1、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二节函数和、差、积、商求导法 则 第二节 函数的求导法则 一一. . 和、差、积、商的求导法则和、差、积、商的求导法则 二二. .反函数的求导法则反函数的求导法则 三三. .复合函数的求导法则复合函数的求导法则 四四. 基本求导法则与导数公式基本求导法则与导数公式 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二节函数和、差、积、商求导法 则 并并且且可可导导 处处也也在在点点分分母母不不为为零零们们的的和和、差差、积积、商商 则则它它处处可可导导在在点点如如果果函函数数 , ) ( ,)(),( x xxvxu 一

2、、和、差、积、商的求导法则 【定理】【定理】 ).0)( )( )()()()( )( )( )3( );()()()( )()( )2( );()( )()( )1( 2 xv xv xvxuxvxu xv xu xvxuxvxuxvxu xvxuxvxu 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二节函数和、差、积、商求导法 则 【证】【证】( (3) ) ),0)( , )( )( )( xv xv xu xf设设 h xfhxf xf h )()( lim)( 0 hxvhxv hxvxuxvhxu h )()( )()()()( lim 0 h xv xu hxv

3、 hxu h )( )( )( )( lim 0 【证】【证】( (1) )、( (2) )略略 ( (自己证明自己证明).). 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二节函数和、差、积、商求导法 则 hxvhxv xvhxvxuxvxuhxu h )()( )()()()()()( lim 0 )()( )()( )()( )()( lim 0 xvhxv h xvhxv xuxv h xuhxu h 2 )( )()()()( xv xvxuxvxu .)(处可导处可导在在xxf 【证完】【证完】 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二节函

4、数和、差、积、商求导法 则 【推论】【推论】 ; )( )()1( 11 n i i n i i xfxf );( )()2(xfCxCf ; )()( )()()( )()()( )()3( 11 21 21 1 n i n ik k ki n n n i i xfxf xfxfxf xfxfxfxf 有限项有限项 有限项有限项 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二节函数和、差、积、商求导法 则 【例【例1】 .2lnsin2 23 的的导导数数求求 xxxy 【解】【解】 2 3xy x4 【例【例2】.ln2sin的的导导数数求求xxy 【解】【解】 xxxy

5、lncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 x xx 1 cossin2 .cos x .2sin 1 ln2cos2x x xx 注意注意)2(ln 2 1 ) 3 (sin 3 cos 例题分析例题分析 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二节函数和、差、积、商求导法 则 【例【例3】.tan的的导导数数求求xy 【解】【解】 ) cos sin ()(tan x x xy x xxxx 2 cos )(cossincos)(sin x xx 2 22 cos sincos x x 2 2 sec cos 1 .sec)(tan

6、2 xx .csc)(cot 2 xx 同理可得同理可得 即即 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二节函数和、差、积、商求导法 则 【例【例4】 .sec的导数的导数求求xy 【解】【解】)(sec xy x x 2 cos )(cos .tansecxx x x 2 cos sin .cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得 【例【例5】 .sh的的导导数数求求xy 【解】【解】 )( 2 1 )(sh xx eexy)( 2 1 xx ee .chx 同理可得同理可得 xxsh)(ch x x 2 ch 1 )(th ) cos 1 ( x .tansec

7、)(secxxx 即即 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二节函数和、差、积、商求导法 则 【例【例6】 ).(, 0),1ln( 0, )(xf xx xx xf 求求设设 【解】【解】, 1)( x f,0时时当当 x ,0时时当当 x h xhx xf h )1ln()1ln( lim)( 0 ) 1 1ln( 1 lim 0 x h h h , 1 1 x x h h h 1 1 lim 0 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二节函数和、差、积、商求导法 则 ,0时时当当 x h h f h )01ln()0( lim)0( 0

8、, 1 h h f h )01ln()0(1ln lim)0( 0 , 1 . 1)0( f . 0, 1 1 0, 1 )( x x x xf 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二节函数和、差、积、商求导法 则 dy dx dx dy yf xf I xfyyf Iyfx x y 1 . )( 1 )( , )(,0)( )( 1 1 或或 且有且有内也可导内也可导对应区间对应区间 在在那末它的反函数那末它的反函数且且 内单调、可导内单调、可导在某区间在某区间如果函数如果函数 二、反函数的求导法则 【定理】【定理】 【结论】反函数的导数等于直接函数导数的倒数【结论

9、】反函数的导数等于直接函数导数的倒数. . 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二节函数和、差、积、商求导法 则 【证】【证】 , x Ix 任任取取 xx 以以增增量量给给 的单调性可知的单调性可知由由)( 1 xfy , 0 y 于是有于是有, 1 y x x y ,)( 1 连连续续xfy ),0(0 xy0)( y f又又知知 x y xf x 0 1 lim )( y x y 1 lim 0 )( 1 y f . )( 1 )( 1 yf xf 即即 ), 0( x Ixxx 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二节函数和、差、积、

10、商求导法 则 【例如】【例如】 本节作业题三、本节作业题三、6 设设g是是f 的反函数，且的反函数，且f (4)= 5 , f (4)=2/3 则则g (5)=( ) (A)2/3;(B)1;(C)0;(D)3/2 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二节函数和、差、积、商求导法 则 【例【例7】 .arcsin的导数的导数求函数求函数xy 【解】【解】,) 2 , 2 (sin内内单单调调、可可导导在在 y Iyx , 0cos)(sin yy且且内内有有在在)1 , 1( x I )(sin 1 y ycos 1 y 2 sin1 1 . 1 1 2 x . 1

11、1 )(arccos 2 x x 同理可得同理可得 ; 1 1 )(arctan 2 x x )(arcsin x . 1 1 )cotarc( 2 x x 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二节函数和、差、积、商求导法 则 【例【例8】 .log的导数的导数求函数求函数xy a , 0ln)( aaa yy 且且,), 0(内内有有在在 x I )( 1 )(log y a a x aa y ln 1 . ln 1 ax 【解】【解】,),(内单调、可导内单调、可导在在 y y Iax 特别地特别地. 1 )(ln x x 即即)(log x a . ln 1 a

12、x 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二节函数和、差、积、商求导法 则 三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则 对于对于 ln，tgx 3 ， x e2 1 2 sin x x 等复合函数，等复合函数， 存在两个问题：存在两个问题： (1) 它们是否可导？它们是否可导？(2) 若可导，如何求导？若可导，如何求导？ 以下法则回答了这两个问题以下法则回答了这两个问题. . dx du du dy dx dy xguf dx dy xxgfy xguufyxxgu xx ).()( ,)(, )()(,)( 00 0 000 0 或或 且其导数为且其导数为可导可导在

13、点在点则复合函数则复合函数可导可导 在点在点而而可导可导在点在点如果函数如果函数 【定理】【定理】 即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导, ,等于因变量对中间变等于因变量对中间变 量求导量求导, ,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则) ) 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二节函数和、差、积、商求导法 则 【证】【证】,)( 0可导 可导在点在点由由uufy )(lim 0 0 uf u y u )0lim()( 0 0 u uf u y 故故 uuufy )( 0 则则 x y x 0 lim)(lim 0 0 x u

14、x u uf x x u x u uf xxx 000 0 limlimlim)( ).()( 00 xguf ), 0(否否则则上上式式无无意意义义时时 u 从而当从而当 u=0时，有时，有 y=f (u+ u) f (u)=0，上式右端也为，上式右端也为0. . 规定：当规定：当 u=0时，时， =0， 总有总有 uuufy )( 0 【证完】【证完】 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二节函数和、差、积、商求导法 则 【推广】【推广】),(),(),(xvvuufy 设设 . d d d d d d d d )( x v v u u y x y xfy 的导数

15、为的导数为则复合函数则复合函数 【例【例9】 .sinln的导数的导数求函数求函数xy 【解】【解】.sin,lnxuuy dx du du dy dx dy x u cos 1 x x sin cos xcot 【关键】【关键】 搞清复合函数结构搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导由外向内逐层求导. 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二节函数和、差、积、商求导法 则 【例【例10】.)1( 102 的的导导数数求求函函数数 xy 【解】【解】)1()1(10 292 xx dx dy xx2)1(10 92 .)1(20 92 xx 【例【例11】的的导导数数求求

16、函函数数 a xa xa x yarcsin 22 2 22 【解】【解】 )arcsin 2 () 2 ( 2 22 a xa xa x y 22 2 22 2 22 22 1 2 1 xa a xa x xa . 22 xa )0( a 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二节函数和、差、积、商求导法 则 【例【例12】.)2( 2 1 ln 3 2 的的导导数数求求函函数数 x x x y 【解】【解】 ),2ln( 3 1 )1ln( 2 1 2 xxy )2(3 1 2 1 1 2 1 2 x x x y )2(3 1 1 2 xx x 【例【例13】 .

17、1 sin 的的导导数数求求函函数数 x ey 【解】【解】 ) 1 (sin 1 sin x ey x ) 1 ( 1 cos 1 sin xx e x . 1 cos 1 1 sin 2 x e x x 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二节函数和、差、积、商求导法 则 【例【例14】 0 ，设设 x 证明幂函数的导数公式证明幂函数的导数公式 1 )( xx 【证】【证】 因为因为 )( ln x ex x e ln 所以所以)()( ln x ex )ln( ln xe x 1 x x 1 x 证完证完 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结

18、束 第二节函数和、差、积、商求导法 则 【思考题】【思考题】 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二节函数和、差、积、商求导法 则 【思考题解答】【思考题解答】 正确地选择是正确地选择是（3） 例例|)(uuf 在在 处不可导处不可导 0 u 取取 xxgusin)( 在在 处可导，处可导， 0 x |sin|)(xxgf 在在 处不可导，处不可导， 0 x )1( 取取 4 )(xxgu 在在 处可导，处可导， 0 x 44 |)(xxxgf 在在 处可导，处可导，0 x )2( （角点）（角点） xysin x y o 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回

19、返回 结束结束 第二节函数和、差、积、商求导法 则 四、基本求导法则与导数公式 xxx xx xx C tansec)(sec sec)(tan cos)(sin 0)( 2 1. .【常数和基本初等函数的导数公式】【常数和基本初等函数的导数公式】 xxx xx xx xx cotcsc)(csc csc)(cot sin)(cos )( 2 1 ax x aaa a xx ln 1 )(log ln)( x x ee xx 1 )(ln )( 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二节函数和、差、积、商求导法 则 2 2 1 1 )(arctan 1 1 )(arcs

20、in x x x x 2 2 1 1 )cot( 1 1 )(arccos x x x x arc 2.【函数的和、差、积、商的求导法则】【函数的和、差、积、商的求导法则】 设设)(),(xvvxuu 可导，则可导，则 （1） vuvu )(, （2）uccu )( （3）vuvuuv )(, （4） )0()( 2 v v vuvu v u . ( ( 是常数是常数) )C 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二节函数和、差、积、商求导法 则 3.【反函数的求导法则】【反函数的求导法则】 dy dx dx dy yf xf I xfyyf Iyfx x y 1 .

21、)( 1 )( , )(,0)( )( 1 1 或或 且有且有内也可导内也可导 在对应区间在对应区间那末它的反函数那末它的反函数且且 内单调、可导内单调、可导在某区间在某区间如果函数如果函数 4.【复合函数的求导法则】【复合函数的求导法则】 ).()()( )()(),( xgufxy dx du du dy dx dy xgfyxguufy 或或导导数数为为 的的则则复复合合函函数数而而设设 利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决. . 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二节函数和、差、积、商求导法 则 【例【例1

22、5】 .的导数的导数求函数求函数xxxy 【解】【解】)( 2 1 xxx xxx y )( 2 1 1( 2 1 xx xxxxx ) 2 1 1( 2 1 1( 2 1 xxx xxx . 8 124 2 2 xxxxxx xxxx 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二节函数和、差、积、商求导法 则 【例【例16】 .)(sin的导数的导数求函数求函数 nnn xfy 【解】【解】)(sin)(sin 1nnnnn xfxnfy )(sin)(sin 1nnn xxn 1 cos nn nxx )(sin)(sin)(sin )(sincos 1 113 nnnnn nnnnn xxfx xfxxn 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二节函数和、差、积、商求导法 则 xxch)(sh xxsh