[专升本(地方)考试密押题库与答案解析]河南省专升本考试高等数学真题2004年

1、专升本(地方)考试密押题库与答案解析河南省专升本考试高等数学真题2004年专升本(地方)考试密押题库与答案解析河南省专升本考试高等数学真题2004年河南省专升本考试高等数学真题2004年一、单项选择题(在每小题的备选答案中选出一个正确答案)问题:1. 函数的定义域是_A.(-2，2)B.0，1)(1，2C.(-2，1)(1，2)D.(0，1)(1，2)答案:D解析 由得4-x20，即-2x2 ，由lnx0，得x0，x1 ，则和的交集为(0，1)(1，2)问题:2. 函数是定义域内的_A.周期函数B.单调函数C.有界函数D.无界函数答案:C解析 由于是一个正弦函数，显然在其定义域内是一个有界的函

2、数问题:3.A.xB.0C.D.1答案:A解析 要注意，变量是n则问题:4. 当x0时，x-sinx是比x2的_A.低阶无穷小B.高阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但非等价无穷小答案:B解析 所以，当x0时，x-sinx是比x2高阶的无穷小问题:5. 设则x=1是f(x)的_A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.第二类间断点答案:B解析 间断点x=1处函数f(x)的左、右极限都存在且相等，所以x=1是f(x)的可去间断点问题:6. 设f(x)在点x0的某个邻域内存在，且f(x0)为f(x)的极大值，A.0B.1C.2D.-2答案:A解析 而由题目知f(x0)存在，且f(x)在x=x0处取到极

3、大值，则x=x0是f(x)的驻点，所以f(x0)=0即题给函数的极限为0问题:7. 下列函数中，在x=1处连续但不可导的是_ A By=|x-1| Cy=cot(x-1) Dy=x2-x 答案:B解析 该题采用排除法A、C显然在x=1处不连续，B、D都在x=1处连续，但D在x=1处可导，故只有B符合要求问题:8. 下列函数中，在-1，1上满足罗尔定理条件的是_ Ay=lnx2 By=|x| Cy=cosx D 答案:C解析 罗尔定理条件有3个：f(x)在a，b上连续；f(x)在(a，b)内可导；f(a)=f(b)A不满足，lnx2在x=0处不连续B不满足，|x|在x=0处不可导C满足罗尔定理的

4、条件D不满足、和问题:9. 设f(x)在x=3的某个邻域内有定义，若则在x=3处_A.f(x)的导数存在且f(3)0B.f(x)的导数不存在C.f(x)取得极小值D.f(x)取得极大值答案:D解析 因为所以存在x=3的某个空心邻域，使得即无论x3或x3都有f(x)f(3)，又f(x)在x=3的某邻域有定义所以f(x)在x=3处取得极大值问题:10. 曲线的渐进线有_A.1条B.2条C.3条D.0条答案:B解析 ，所以y有水平渐近线y=0，所以y有垂直渐近线x=2，故y有两条渐近线问题:11. 下列函数对应的曲线在定义域内凹的是_A.y=e-xB.y=ln(1+x2)C.y=x2-x3D.y=s

5、inx答案:A解析 从A开始验证y=e-x，y=-e-x，y=e-x0，由于是单项选择，这时就可以下结论：曲线y=e-x在定义域内是凹的，直接选A即可问题:12. 下列函数中，可以作为同一个函数的原函数的是_ A Bln|lnx|和2lnx C D 答案:C解析 对于每一组答案中的两个函数分别求导，结果一样的，那组答案即为所求A显然不是，对于B，令lnx0，则令lnx0，则 C答案正确 问题:13. 下列等式正确的是_ Af(x)dx=f(x) Bdd(f(x)=f(x)+C C Ddf(x)dx=f(x) 答案:C解析 A未加常数C而B、D等号右端缺dx，所以从形式上就不对所以是对的，故选C

6、问题:14. 设f(x)为连续函数，则 A B2f(1)-f(0) C D 答案:A解析问题:15. 下列广义积分收敛的是_ A B C D 答案:D解析问题:16. 若z=exy，则dz|(1，2)=_A.exy(ydx+xdy)B.3e2C.2e2dx+e2dyD.0答案:C解析问题:17. 设f(x，y)=(x-4)2+y2，则点(4，0)_A.不是驻点B.是驻点但非极值点C.极大值点D.极小值点答案:D解析 fx=2(x-4)，fy=2y，令两式等于零，解得x=4，y=0，A=fxx=2，B=fxy=0，C=fyy=2，B2-AC=-40，A=20，所以点(4，0)为f(x，y)的极小

7、值点问题:18. 设区域D由y轴及直线y=x，y=1所围成，则 A1 B C D 答案:D解析 作出积分区域D的图形，如图 问题:19. 直线和直线的关系是_A.平行但不重合B.重合C.垂直不相交D.垂直相交答案:A解析 两直线方向数成比例，所以两直线平行或重合，将第一条直线上的点(1，3，1)代入第二条直线方程显然不满足，所以两直线平行但不重合问题:20. 方程2x2-y2=1表示的二次曲面是_A.球面B.旋转抛物面C.柱面D.圆锥面答案:C解析 方程2x2-y2=1缺一个变量z，因此表示一个母线平行于z轴的柱面，由于它在xOy坐标平面中表示双曲线，所以更具体地说，它表示的是双曲柱面问题:2

8、1. 下列级数中，绝对收敛的是_ A B C D 答案:C解析 即A不绝对收敛，这是公比q1的等比级数，所以发散即B不绝对收敛，的p-级数，所以收敛，即C绝对收敛，不满足级数收敛的必要条件，所以发散，即D不绝对收敛问题:22. 下列级数中，发散的是_ A B C D 答案:A解析 (不存在)A不满足级数收敛的必要条件，所以发散，交错级数故B收敛，的等比级数，所以C收敛，是p=31的p-级数所以D收敛问题:23. 级数的和为_A.0B.eC.e2D.不存在答案:C解析 因为幂级数问题:24. 用待定系数法求方程y-2y+y=xex的特解y*时，下列特解设法正确的是_A.y*=(ax2+bx+c)

9、exB.y*=x(ax2+bx+c)exC.y*=x2(ax+b)exD.y*=x2(ax2+bx+c)ex答案:C解析 先求方程y-2y+y=xex对应的齐次方程y-2y+y=0的特征方程r2-2r+1=0得一二重特征根r=1 这里f(x)是一多项式与一指数函数的乘积，若单看指数函数ex，且r=1为重根，特解应具有Ax2ex之形式，若单看多项式函数x，且原方程不缺y项，特解应具有Cx+D之形式，注意到f(x)是两者乘积，于是特解应具有Ax2ex(Cx+D)之形式，即x2(ax+b)ex的形式 问题:25. 设L为从点A(1，0)沿x轴到点B(-1，0)的直线段，则Ly2dx=_A.0B.1C

10、.2D.3答案:A解析二、填空题问题:1. 设答案:x(x-1)解析 得u(u-1)，原式变为f(u)=u(u-1)， 即f(x)=x(x-1) 问题:2.答案:1解析 数列xn，xn+2，xn-2的区别只是相对多或少了有限项，由数列收敛性质，它们之中若有一个收敛于A，则全都收敛于A所以，问题:3. 设在x=0处连续，则k=_答案:解析 f(x)在x=0处连续，应有问题:4. 设y=x3+5x2+e2x，则y(10)=_答案:210e2x解析 一般求某函数的高阶导数，需先求前几阶导数，以发现规律，得出结论通过此方法，求得(e2x)(10)=210e2x问题:5.答案:解析问题:6.答案:1解析

11、问题:7. y=x3-27x+2在0，1上的最大值为_答案:2解析 y=x3-27x+2，y=3x2-27=3(x2-9)，因为x0，1，所以y0，即y单调递减，这样y在0，1上的最大值应在左端点x=0处，即最大值为f(0)=2问题:8.答案:-1解析问题:9.答案:1解析 利用分部积分法问题:10. 设ex2为f(x)的一个原函数，则e-x2f(x)dx=_答案:x2+C解析 利用分部积分法，因为f(x)的一个原函数为ex2，则 问题:11. 广义积分当_时收敛答案:q0解析 显然，第二式中当q0时，极限为无穷大，而当q0时极限为故q0时，广义积分收敛 问题:12. 过原点且与直线垂直的平面

12、方程为_答案:2x+y-3z=0解析 该平面的法向量可取直线的方向向量2，1，-3，又平面过点(0，0，0)，故平面的点法式方程为：2x+y-3z=0问题:13. 设答案:解析问题:14.答案:0解析 在极坐标系下，区域D可表示为 所以， 问题:15.答案:解析 因为(1，0)是f(x，y)定义域内的点，所以f(x，y)在(1，0)连续，故 三、判断是非题问题:1. 若f(x)在x=x0处连续，则ff(x)在点x=x0处一定连续答案:B解析 反例：设f(x)=lnx，它在处连续，而ff(x)=ln(lnx)在处无定义，所以ff(x)在处不连续问题:2. 若数列xn有界，则xn必收敛答案:B解析

13、 反例：数列1，0，1，0，有界，但它不收敛问题:3. 方程在1，e-1上无实根答案:A解析 显然在1，e-1上无实根 考察ln(x+1)=0，令f(x)=ln(x+1)， 由于x1，e-1，所以f0，故f(x)在1，e-1上单调递增，而f(1)=ln(1+1)=ln20，因此，在1，e-1上f(x)0，故ln(x+1)=0在1，e-1上无实根，综上所述，方程在1，e-1上无实根 问题:4.答案:B解析 从y=cosx的图像上可以看出分别计算“”两边的定积分，也可得到和以上相同的结论问题:5. 若二元函数z=f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数都存在，则z=f(x，y)在点(x0，y0

14、)处可微答案:B解析 考察函数他在点(0，0)处两个偏导数都存在(都等于0)，而z=f(x，y)在点(0，0)处不连续，而有定理：“若z=f(x，y)在点(x，y)处可微，则他在该点一定连续”所以z=f(x，y)在点(0，0)处不可微四、计算题(每小题5分，共40分)问题:1. 计算答案:解析问题:2. 设y=y(x)是由方程x2ey+y2=1所确定的函数，求答案:解析 令F(x，y)=x2ey+y2-1 Fx=2xey，Fy=x2ey+2y， 另外，也可以注意y是x的函数，方程x2ey+y2=1两边对x求导2xey+x2eyy+2yy=0，解得所以， 问题:3. 计算x3cosx2dx答案:

15、解析问题:4. 计算答案:解析问题:5. 设z=f(x+y，xy)可微，求全微分dz答案:解析 令u=x+y，v=xy，z=f(u，v)，du=dx+dy，dv=ydx+xdy， dz=fudu+fvdv=fu(dx+dy)+fv(ydx+xdy) =(fu+yfv)dx+(fu+xfv)dy 问题:6. 计算答案:解析 先做出积分区域图，在极坐标系下进行计算 问题:7. 求幂级数的收敛区间(不考虑端点的情况)答案:解析 方法一 由于缺项，令(x+1)2=t， 所以-2t2，即(x+1)22级数收敛，解得 收敛区间为(不包括端点) 方法二 令 得收敛区间为(不包括端点) 问题:8. 求方程y-

16、y=0的积分曲线，使其在点(0，0)处与直线y=x相切答案:解析 y-y=0的特征方程为r2-1=0，得特征根r=1所以通解为y=C1ex+C2e-x由已知条件0=C1e0+C2e0，C1+C2=0， 解得于是所求积分曲线方程为 五、应用题(每小题7分，共14分)问题:1. 某地域人口总数为50万，为在此地域推广某项新技术，先对其中1万人进行了培训，使其掌握此项新技术，并开始在此地域推广设经过时间t，已掌握此新技术的人数为x(t)(将x(t)视为连续可微变量)，其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，且比例常数为k(k0)，求x(t)答案:解析 令y=x(t)由题意可知y=ky(50-y)， y(0)=1， 当t=0时，C=-ln49， 特解为 解得 问题:2. 过点P(1，0)作抛物线的切线，该切线与上述抛物线及x轴围成一平面图形，求此图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积答案:解析 方法一 做出示意图， 设切线斜率为k，则切线方程为y=k(x-1)， 联立得k2x2-(2k2+1)x+k2+2=0， 由于直线和抛物线相切，所以b2-4ac=0， 即 (2k2+1)2-4k2(k2+2