空气动力学：第3章理想不可压缩流体平面位流

1、3 31 1 理想不可压缩流体平面位流的基本方程理想不可压缩流体平面位流的基本方程 3 32 2 几种简单的二维位流几种简单的二维位流 3 32 21 1 直匀流直匀流 3 32 22 2 点源点源 3 32 23 3 偶极子偶极子 3 32 24 4 点涡点涡 3 33 3 一些简单的流动迭加举例一些简单的流动迭加举例 3 33 31 1 直匀流加点源直匀流加点源 3 33 32 2 直匀流加偶极子直匀流加偶极子 3 33 33 3 直匀流加偶极子加点涡直匀流加偶极子加点涡 3 34 4 二维对称物体绕流的数值解二维对称物体绕流的数值解 在第二章中已给出这些方程的推导过程，本章在第二章中已给

2、出这些方程的推导过程，本章 应该讨论怎样求解这些方程。但是，要想得到这些偏应该讨论怎样求解这些方程。但是，要想得到这些偏 微分方程的解，并非易事。因为实际飞行器的外形都微分方程的解，并非易事。因为实际飞行器的外形都 比较复杂，要在满足这些复杂边界条件下求得基本方比较复杂，要在满足这些复杂边界条件下求得基本方 程的解，困难是相当大的。程的解，困难是相当大的。 为了简化求解问题，本章首先介绍流体力学中一为了简化求解问题，本章首先介绍流体力学中一 类简单的流动问题，理想不可压缩流体的无旋流动。类简单的流动问题，理想不可压缩流体的无旋流动。 这是早期流体力学发展的一种理想化近似模型，比求这是早期流体力

3、学发展的一种理想化近似模型，比求 解真实粘性流动问题要容易的多。在粘性作用可忽略解真实粘性流动问题要容易的多。在粘性作用可忽略 的区域，这种理想模型的解还是有相当的可信程度。的区域，这种理想模型的解还是有相当的可信程度。 对于理想不可压缩流体，流动的基本方程是连对于理想不可压缩流体，流动的基本方程是连 续方程和欧拉运动方程组。续方程和欧拉运动方程组。 1、不可压缩理想流体无旋流动的基本方程、不可压缩理想流体无旋流动的基本方程 pfVV t V z w y v x u 1 )( 0 初始条件和边界条件为初始条件和边界条件为 在在t=t0时刻，时刻， )(),(x,y,zpp zyxVV 在物体的

4、边界上在物体的边界上0 n VnV 在无穷远处在无穷远处 VV 如果没有无旋流条件进一步简化上述方程，求如果没有无旋流条件进一步简化上述方程，求 解起来也是很困难的。这是因为方程中的对流项是解起来也是很困难的。这是因为方程中的对流项是 非线性的，而且方程中的速度非线性的，而且方程中的速度V和压强和压强p相互偶合影相互偶合影 响，需要一并求出。响，需要一并求出。 对于无旋流动，问题的复杂性可进一步简化，对于无旋流动，问题的复杂性可进一步简化， 特别是可将速度和压力分开求解。这是因为，对于特别是可将速度和压力分开求解。这是因为，对于 无旋运动情况，流场的速度旋度为零，即无旋运动情况，流场的速度旋度

5、为零，即 02 VVrot z w y v x uV 此时存在速度势函数此时存在速度势函数 （位函数），满足（位函数），满足 如果将上式代入不可压缩流体的连续方程中，得到如果将上式代入不可压缩流体的连续方程中，得到 0 0 2 2 2 2 2 2 zyx 0 z w y v x u V 由此可见，利用无旋流动和连续条件所得到的由此可见，利用无旋流动和连续条件所得到的 这个方程是大家熟知的二阶线性偏微分方程，拉普这个方程是大家熟知的二阶线性偏微分方程，拉普 拉斯方程，这是一个纯运动学方程。拉斯方程，这是一个纯运动学方程。 如果对拉普拉斯方程赋予适定的定解条件，就如果对拉普拉斯方程赋予适定的定解条

6、件，就 可以单独解出速度位函数，继而求出速度值。可以单独解出速度位函数，继而求出速度值。 压强压强p没有进行耦合求解，那么如何确定压强呢？没有进行耦合求解，那么如何确定压强呢？ 在这种情况下，可将速度值作为已知量代入运动在这种情况下，可将速度值作为已知量代入运动 方程中，解出方程中，解出p值。值。 实际求解并不是直接代入运动方程中，而是利实际求解并不是直接代入运动方程中，而是利 用用Bernoulli积分得到。积分得到。 对于理想不可压缩流体，在质量力有势条件下，对于理想不可压缩流体，在质量力有势条件下， 对于无旋流动，运动方程的积分形式为对于无旋流动，运动方程的积分形式为 )( 2 2 tC

7、 pV t 对于定常流动，质量力只有重力，得到对于定常流动，质量力只有重力，得到 Cgz pV 2 2 C pV 2 2 用于气体，彻体力又只是重力，可以略去，有用于气体，彻体力又只是重力，可以略去，有 由此说明，只要把速度势函数解出，压强由此说明，只要把速度势函数解出，压强p可直接由可直接由 能量方程得到。能量方程得到。 0 2 2 1 ppV 通常写成：通常写成： 在这种情况下整个求解步骤概括为：在这种情况下整个求解步骤概括为： （1）根据拉普拉斯方程求出速度势函数，然后求）根据拉普拉斯方程求出速度势函数，然后求 出速度分量；出速度分量； （2）由能量方程确定流场中各点的压强。）由能量方程

8、确定流场中各点的压强。 这使得速度和压强的求解过程分开进行，从而这使得速度和压强的求解过程分开进行，从而 大大简化了问题的复杂性。大大简化了问题的复杂性。 综合起来，对于理想不可压缩流体无旋流动，综合起来，对于理想不可压缩流体无旋流动， 控制方程及其初边界条件为控制方程及其初边界条件为 )( 2 0 2 2 2 2 2 2 2 tC pV t zyx 控制方程控制方程 初始条件初始条件),( ),( 000 zyxppzyxVVtt VV n 0 边界条件边界条件 固壁面条件固壁面条件 无穷远边界条件无穷远边界条件 ds dz w ds dy v ds dx u ds sdV Vs 2、速度势

9、函数的性质、速度势函数的性质 （2）速度势函数沿着某一方向的偏导数等该方向）速度势函数沿着某一方向的偏导数等该方向 的速度分量，速度势函数沿着流线方向增加。的速度分量，速度势函数沿着流线方向增加。 （1）速度势函数值可以差任意常数而不影响流动。）速度势函数值可以差任意常数而不影响流动。 dsVsdVwdzvdyudx dz z dy y dx x d s sds dz zds dy yds dx x Vs 1 n i ii C sdV sdVd d 00 i （3）速度势函数满足拉普拉斯方程，是调和函数。）速度势函数满足拉普拉斯方程，是调和函数。 满足解的线性迭加原理。如果速度势函数满足解的线

10、性迭加原理。如果速度势函数 满足拉满足拉 普拉斯方程，则它们的线性组合也满足拉普拉斯方普拉斯方程，则它们的线性组合也满足拉普拉斯方 程。程。 （4）速度势函数相等的点连成的线称为等势线，）速度势函数相等的点连成的线称为等势线， 速度方向垂直于等势线。速度方向垂直于等势线。 0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n i iii i zyx C zyx 0 2 2 2 2 2 2 zyx iii AB B A B A B A B A ddz z dy y dx x wdzvdyudxsdV )( )( （5）连接任意两点的速度线积分等于该两点的速度）连接任意两点的速度线积分等于该

11、两点的速度 势函数之差。速度线积分与路径无关，仅决定于两点势函数之差。速度线积分与路径无关，仅决定于两点 的位置。如果是封闭曲线，速度环量为零。的位置。如果是封闭曲线，速度环量为零。 3、流函数及其性质、流函数及其性质 0 y v x u 不可压缩流体平面流动的连续方程为不可压缩流体平面流动的连续方程为 udyvdx上式是上式是 为全微分的充分必要条件为全微分的充分必要条件 ，所以，所以 存在一个函数存在一个函数 ， x v y u dy y dx x d udy vdxd 这个函数这个函数 称为流函数。称为流函数。 由此可见，对于不可压缩流体的平面流动，无由此可见，对于不可压缩流体的平面流动

12、，无 论是理想流体还是粘性流体，无论是有旋流动还是论是理想流体还是粘性流体，无论是有旋流动还是 无旋流动，均存在流函数。无旋流动，均存在流函数。 流函数的概念是流函数的概念是1781年年Lagrange首先引进的。首先引进的。 （2）等流函数线是流线。即等流函数线的切线）等流函数线是流线。即等流函数线的切线 方向与速度矢量方向重合。方向与速度矢量方向重合。 流函数具有下列性质流函数具有下列性质 （1）流函数值可以差任意常数而不影响流动。）流函数值可以差任意常数而不影响流动。 在流函数相等的线上，有在流函数相等的线上，有 v dy u dx udyvdxdy y dx x d 0 上式即为平面流

13、动的流线方程。上式即为平面流动的流线方程。 （3）理想不可压缩流体平面势流，流函数满足拉）理想不可压缩流体平面势流，流函数满足拉 普拉斯方程，是调和函数。即普拉斯方程，是调和函数。即 0 2 1 )()( 2 1 2 1 2 2 2 2 yxyy xx y u x v z （4）平面内任两点流函数的差等）平面内任两点流函数的差等 于通过此两点连线的流量（在于通过此两点连线的流量（在z方方 向是单位长度）。向是单位长度）。 x y A B ds n V o AB B A B A B A ddx x dy y )dsnV(Q 流量流量 j ds dx i ds dy n, j x i y j vi

14、 uV 4、平面势流流函数与速度势函数之间的关系及其、平面势流流函数与速度势函数之间的关系及其 流网的概念流网的概念 （1）理想不可压缩流体，平面势流流函数和速度）理想不可压缩流体，平面势流流函数和速度 势函数均满足拉普拉斯方程，且满足柯西势函数均满足拉普拉斯方程，且满足柯西-黎曼条件黎曼条件 。 xy v yx u （2）过同一点的等速度势函数线与等流函数线正）过同一点的等速度势函数线与等流函数线正 交（等势线与流线正交）。交（等势线与流线正交）。 xy v yx u u v dx dy udyvdxd 1 K 0 等流函数线是流线，有等流函数线是流线，有 另一方面，过该点的等势函数线方程为

15、另一方面，过该点的等势函数线方程为 v u dx dy K vdyudxdy y dx x d 2 0 在同一点处，流线与等势线的斜率乘积为在同一点处，流线与等势线的斜率乘积为 1K 21 v u u v K 说明流线与等势线在同一点正交。说明流线与等势线在同一点正交。 （3）流网及其特征）流网及其特征 在理想不可压缩流体定常平面势流中，每一点均存在速度势函数和流在理想不可压缩流体定常平面势流中，每一点均存在速度势函数和流 函数值。这样在流场中，存在两族曲线，一族为流线，另一族为等势线，函数值。这样在流场中，存在两族曲线，一族为流线，另一族为等势线， 且彼此相互正交。把由这种正交曲线构成的网格

16、叫做流网。且彼此相互正交。把由这种正交曲线构成的网格叫做流网。 在流网中，每一个网格的边长之比等于势函数和流函数的增值之比。在流网中，每一个网格的边长之比等于势函数和流函数的增值之比。 5、理想不可压缩流体平面定常无旋流动数学问题的、理想不可压缩流体平面定常无旋流动数学问题的 提法提法 对于理想不可压缩平面定常无旋流动问题的数学对于理想不可压缩平面定常无旋流动问题的数学 提法共有三种。提法共有三种。 设给定一平面物体设给定一平面物体C，无穷远为直匀流，求这个，无穷远为直匀流，求这个 绕流问题。绕流问题。 （1）以速度势函数为未知函数的提法）以速度势函数为未知函数的提法 v y u x n yx

17、 C 00 2 2 2 2 izw)( （3）以复位势）以复位势w(z)为未知函数提法为未知函数提法 需要求解满足一定定解条件的在需要求解满足一定定解条件的在C外区域内的解析外区域内的解析 函数。函数。 u y v x yx C 00 2 2 2 2 （2）以流函数为未知函数的提法）以流函数为未知函数的提法 ； bvau b y va x u bdyadxdy y dx x d 3.2.1 直匀流直匀流 直匀流是一种速度不变的最简单的平行流动。直匀流是一种速度不变的最简单的平行流动。 其流速为其流速为 位函数为位函数为 因为因为 cbyax cyV udyvdxdy y dx x d V 常用

18、平行于常用平行于x轴的直匀流，从左面远方流来，流轴的直匀流，从左面远方流来，流 速为速为 。 相应的势函数和流函数为相应的势函数和流函数为 cxV 3.2.2 点源点源 源可以有正负。正源是从流场上某一点有一定源可以有正负。正源是从流场上某一点有一定 的流量向四面八方流开去的一种流动。负源（又名的流量向四面八方流开去的一种流动。负源（又名 汇）是一种与正源流向相反的向心流动。汇）是一种与正源流向相反的向心流动。 如果把源放在坐标如果把源放在坐标 原点上，那末这流动便原点上，那末这流动便 只有只有 ，而没有，而没有 。 V r V r rVQ2 r Q Vr 1 2 流量是常数，故流速流量是常数

19、，故流速 与半与半 径成反比。径成反比。 r V 点源（位于原点）点源（位于原点） 在极坐标系中，速度分量与在极坐标系中，速度分量与 流函数和势函数偏导数关系式为流函数和势函数偏导数关系式为 rr Vr 1 V rr Vr V 1 r Q ln 2 22 yxr 2 Q x y arctg Q 2 积分得流函数的表达式为积分得流函数的表达式为 r Q V r r 1 2 因为因为 积分得位函数的表达式为积分得位函数的表达式为 又因为又因为 或或 Q r Q V r r 2 , 1 2 1 22 )()(ln 2 yx Q x y arctg Q 2 如果点源的位置不在坐标原点，而在如果点源的位

20、置不在坐标原点，而在A（,）处）处 22 22 )()( )( 2 )()( )( 2 yx y Q y v yx x Q x u 3.2.3 偶极子偶极子 等强度的一个源和一个汇，放在等强度的一个源和一个汇，放在x轴线上，源放轴线上，源放 在（在（-h，0）处，汇放在（）处，汇放在（0，0）处。从源出来的流）处。从源出来的流 量都进入汇。量都进入汇。 ln)(ln 2 2222 yxyhx Q 21 2 Q hx y arctg 1 x y arctg 2 应用叠加原理，位函数和流函数如下应用叠加原理，位函数和流函数如下 其中其中 表示流场点表示流场点P（x，y）分）分 别与源和汇连线与别与

21、源和汇连线与x轴之轴之 间的夹角。间的夹角。 现在我们考虑一种极限情况，当现在我们考虑一种极限情况，当h0，但同时，但同时 Q增大，使增大，使 保持不变的极限情况。保持不变的极限情况。M Qh 2 这种极限情况下的流动称为偶极子流，这种极限情况下的流动称为偶极子流，M称为偶极称为偶极 子强度。子强度。 222 22 0 2222 0 2 ( , )lim ln 4 2 lim 4 h h Qxyxhh x y xy Qhxx M xyxy ln)(ln 2 2222 yxyhx Q 这时位函数变成这时位函数变成 偶极子的等位线是一些圆心在偶极子的等位线是一些圆心在 x轴上的圆，且都过原点。轴上

22、的圆，且都过原点。 222 22 )(cyx-c C yx x 22 y M xy 222 22 )(cy-cx C yx y 流函数的式子，取流函数的式子，取h0而而Qh/2=M保持不变的极限保持不变的极限 结果，是结果，是 流线也是一些圆心都在流线也是一些圆心都在y轴上的轴上的 圆，且都过原点。圆，且都过原点。 21 2 Q hx y arctg 1 x y arctg 2 两个分速的表达式是两个分速的表达式是: 2222 22 2cos )( )( r M yx xyM x u 合速度为合速度为 2 22 r M vuV 2222 2sin )( 2 r M yx xyM y v sin

23、cos 22 yx yx M )sincos( 22 xy yx M 要注意，偶极子是源汇无限靠近的极限情况，它要注意，偶极子是源汇无限靠近的极限情况，它 是有轴线方向的，原来的源和汇放在哪条直线上，那是有轴线方向的，原来的源和汇放在哪条直线上，那 条直线就是它的轴线。前面表示的偶极子是以条直线就是它的轴线。前面表示的偶极子是以x轴为轴为 轴线的，其正向为轴线上的流线方向，前面的偶极子轴线的，其正向为轴线上的流线方向，前面的偶极子 是指向负是指向负x方向的。方向的。 如果偶极子轴线和如果偶极子轴线和x轴成轴成角，正向指向第三象角，正向指向第三象 限，则势函数为限，则势函数为 相应的流函数为相应

24、的流函数为 22 ()cos()sin ()() xy M xy 22 ()cos()sin ()() yx M xy 如果偶极子位于（如果偶极子位于（，），轴线和），轴线和x轴成轴成角，角， 正向指向第三象限，则势函数和流函数分别为正向指向第三象限，则势函数和流函数分别为 3.2.4 点涡点涡 点涡是位于原点的一个点涡的流动，流线是一点涡是位于原点的一个点涡的流动，流线是一 些同心圆。流速只有些同心圆。流速只有 ，而没有，而没有 。 V r V 2 r V 式中的式中的 是个常数是个常数 ，称为点涡的强度，逆时，称为点涡的强度，逆时 针方向为正。针方向为正。 rV )2( 2 ln 2 r

25、速度速度 和离中心点的距离和离中心点的距离r成反比，指向是逆成反比，指向是逆 时针方向的。其位函数和流函数分别为（等势线是时针方向的。其位函数和流函数分别为（等势线是 射线，流线是圆）射线，流线是圆） V 如果点涡的位置不在原点，而在（如果点涡的位置不在原点，而在（，），则点涡），则点涡 的位函数和流函数分别是的位函数和流函数分别是 2 y arctg x 22 ln 2 xy 沿任意形状的围线计算环量，值都是沿任意形状的围线计算环量，值都是 ，只要，只要 这个围线把点涡包围在内这个围线把点涡包围在内 ，但不包含点涡在内的围，但不包含点涡在内的围 线，其环量线，其环量 等于零。等于零。 这种点

26、涡其实应该看作是一根在这种点涡其实应该看作是一根在z方向无限长的方向无限长的 直涡线。直涡线。 涡本来是有旋流动，但像这样一根单独的涡线涡本来是有旋流动，但像这样一根单独的涡线 所产生的流场，除真正的涡心那一条线（在平面里所产生的流场，除真正的涡心那一条线（在平面里 就是一点）之外，其余的地方仍是无旋流动。就是一点）之外，其余的地方仍是无旋流动。 ，当，当r0时，速度趋近于无穷大，相应的时，速度趋近于无穷大，相应的 压强也趋于负无限大，这是不现实的。按这个速度分压强也趋于负无限大，这是不现实的。按这个速度分 布规律，速度在半径方向的变化率是布规律，速度在半径方向的变化率是 r V 2 2 0

27、1 2rr V r V r r0 p r V 2 当当r很小之后，这个变化率极大，这时粘性力必很小之后，这个变化率极大，这时粘性力必 然要起作用（粘性力与速度的法向变化率成正比）。然要起作用（粘性力与速度的法向变化率成正比）。 结果，实际涡总是结果，实际涡总是 有一个直径较小的有一个直径较小的流体流体 象刚体一样旋转象刚体一样旋转强迫涡强迫涡 涡核，涡核内流体的周涡核，涡核内流体的周 向速度的不是与向速度的不是与r成反成反 比，而是与比，而是与r成正比。成正比。 但涡核外的周向速度是但涡核外的周向速度是 与与r成反比的，如图所成反比的，如图所 示。示。 可以证明涡核外流动是无旋的，或流体微团的

28、可以证明涡核外流动是无旋的，或流体微团的 旋转角速度为零。旋转角速度为零。 一般地说，这个尺寸不大，我们作外部流场的一般地说，这个尺寸不大，我们作外部流场的 计算时，可以不管它，把它看作很微小就行了。计算时，可以不管它，把它看作很微小就行了。 这里要说明的一个事实是，涡对于外部流场是这里要说明的一个事实是，涡对于外部流场是 产生诱导速度的（即扰动），其值与至中心的距离产生诱导速度的（即扰动），其值与至中心的距离 成反比，但对它自己的核心是没有诱导速度的。成反比，但对它自己的核心是没有诱导速度的。 涡核的尺寸究竟有多大？它是因流体的粘性大涡核的尺寸究竟有多大？它是因流体的粘性大 小及涡强大小而不

29、同的。小及涡强大小而不同的。 22 ln 4 ln 2 ),(yx Q xVr Q xVyx 22 2yx xQ V x u 22 2yx yQ y v 3.3.1 直匀流加点源直匀流加点源 在一个平行于在一个平行于x轴由左向右流去的直匀流里，加一轴由左向右流去的直匀流里，加一 个强度为个强度为Q的源，把坐标原点放在源所在的地方，迭的源，把坐标原点放在源所在的地方，迭 加得到的位函数是加得到的位函数是 两个分速是两个分速是 0 A y 0 0 AA vu V Q xA 2 在在x轴线上有一个合速为零的点，即驻点轴线上有一个合速为零的点，即驻点A。 令令 即得驻点即得驻点xA坐标为坐标为 流动的

30、流函数是流动的流函数是 x y arctg Q yVyx 2 ),( 过驻点的流线方程为：过驻点的流线方程为： 2 Q 2 y 2 y A A A x y arctg Q V x y arctg Q V 即即 )( 2x y arctg V Q y 全部流线谱中，经过驻点全部流线谱中，经过驻点A的流线的流线BAB是一条是一条 特殊的流线。它像一道围墙一样，把流场划分成为特殊的流线。它像一道围墙一样，把流场划分成为 两部分。外面的是直匀流绕此围墙的流动，里面的两部分。外面的是直匀流绕此围墙的流动，里面的 是源流在此围墙限制之内的流动。是源流在此围墙限制之内的流动。 V Q D 流线是气流不可逾流

31、线是气流不可逾 越的线。一个物体放在越的线。一个物体放在 气流里，它的边界也是气流里，它的边界也是 气流不可逾越的界线，气流不可逾越的界线， 气流只能与物体边界相气流只能与物体边界相 切着流过去。切着流过去。 所以，我们可以把外部流动看作是在直匀流中所以，我们可以把外部流动看作是在直匀流中 放了一个放了一个BAB那样形状的物体所造成的流动。不过那样形状的物体所造成的流动。不过 这个物体后面是不封口的，称半无限体。这个物体后面是不封口的，称半无限体。 这个半无限体在这个半无限体在+x无限远处，其宽度（无限远处，其宽度（y向尺寸向尺寸 ）趋向一个渐近值）趋向一个渐近值D为为 ) 2 ( 2 22

32、VpVp 2 2 1 V pp Cp 2 22 2 2 )( 11 V vu V V C p p C 通常将压强表为无量纲的压强系数通常将压强表为无量纲的压强系数 ，其定义，其定义 是当地静压减去来流静压再除以来流的动压头。是当地静压减去来流静压再除以来流的动压头。 由由Bernoulli方程方程 求得求得 2 sin2sin p C 把把u，v代入上式，可以得到沿这个半无限体的代入上式，可以得到沿这个半无限体的 外表面的压强系数分布为外表面的压强系数分布为 首先，首先，A点是驻点，这点是驻点，这 一点的一点的Cp一定等于一定等于+1。 从驻点往后，从驻点往后，Cp迅速迅速 下降，在距下降，在

33、距A不很远的地不很远的地 方，方，Cp降到零，该点流速降到零，该点流速 已达远前方的来流速度。已达远前方的来流速度。 A 半无限体表面压强分布半无限体表面压强分布 半无限体表面压强分布半无限体表面压强分布 过了最大速度点之后，气流过了最大速度点之后，气流 开始减速，到无限远的右方，流开始减速，到无限远的右方，流 速减到和远前方来流一样大速减到和远前方来流一样大 ， 此时对应的压强系数恢复为零。此时对应的压强系数恢复为零。 这是大多钝头物体低速流动的特这是大多钝头物体低速流动的特 点。头部附近形成一个低速高压区，点。头部附近形成一个低速高压区， 随后速度迅速上升，压强急剧下降。随后速度迅速上升，

34、压强急剧下降。 此后气流继沿物面加速，走此后气流继沿物面加速，走 了一段之后，流速达最大值了一段之后，流速达最大值 ，Cp达最小值。这一点称最达最小值。这一点称最 大速度点，或最低压强点大速度点，或最低压强点 。 直匀流加点源的流动显示直匀流加点源的流动显示 22 yx ),( x MxVyx 3.3.2 直匀流加偶极子（无环量的圆柱绕流）直匀流加偶极子（无环量的圆柱绕流） 只有当正源和负源的总强度等于零时，物形才只有当正源和负源的总强度等于零时，物形才 是封闭的。设直匀流是封闭的。设直匀流 平行于平行于x轴，由左向右流。再轴，由左向右流。再 把一个轴线指向负把一个轴线指向负x的偶极子放在坐标

35、原点处。这时的偶极子放在坐标原点处。这时 ，流动的位函数是，流动的位函数是 22 yx y y),( MVyx VMa / 2 令令 ，则有，则有 cos),( 2 r a rVyx sin),( 2 r a rVyx 0 零流线（零流线（ ）是一条特殊的流线。容易证明）是一条特殊的流线。容易证明 该流线通过驻点的该流线通过驻点的x轴线；另外还有轴线；另外还有 0 2 r a r 这是一个半径为这是一个半径为a，圆心在原点处的圆。所以，圆心在原点处的圆。所以直匀流直匀流 加偶极子的流动可以看作直匀流绕加偶极子的流动可以看作直匀流绕半径为半径为a的的圆柱体圆柱体 的流动。的流动。 r a V y

36、 v r a V x u 2sin )2cos1 ( 2 2 2 2 两个分速的式子是：两个分速的式子是： 用在用在 的圆上时，得：的圆上时，得：ar Vv )(Vu 2sin 2cos1 绕圆柱的无环量流动绕圆柱的无环量流动 sin2 22 VvuV 2 2 2 sin411 V V C p 在圆的表面上只有周向速度而没有径向速度，所以在圆的表面上只有周向速度而没有径向速度，所以 相应的压强系数为相应的压强系数为 在圆周前后驻点，在圆周前后驻点， =0， =，压强系数等于，压强系数等于1.0 。从前驻点。从前驻点A往后流，在往后流，在=150处流速加快到和来流的处流速加快到和来流的 流速一样

37、大了。以后继续加速，在流速一样大了。以后继续加速，在=/2的的C处达最大速处达最大速 度，其值二倍于来流的速度，度，其值二倍于来流的速度，Cp是（是（3.0）。过了最大速）。过了最大速 度点以后，气流减速，在度点以后，气流减速，在=0的的B点处降为零，这一点点处降为零，这一点 称为后驻点。称为后驻点。 这个流动不仅上下是对称的，而且左右也是对称的这个流动不仅上下是对称的，而且左右也是对称的 ，物面上的压强分布也是对称的，结果哪个方向的合力，物面上的压强分布也是对称的，结果哪个方向的合力 也没有。也没有。 不过实际流动左右是不对称的，由于实际流体是有粘不过实际流动左右是不对称的，由于实际流体是有

38、粘 性的缘故，气流过了最大速度点以后，不可能始终贴着性的缘故，气流过了最大速度点以后，不可能始终贴着 物体流下去，不可能进行完全的减速，结果水平方向是物体流下去，不可能进行完全的减速，结果水平方向是 有一个阻力的有一个阻力的 。 达朗培尔（达朗培尔（DAlembert）是）是18世纪法国著名数学世纪法国著名数学 家，家，1744年他提出，在理想不可压流中，任何一个封年他提出，在理想不可压流中，任何一个封 闭物体的绕流，其阻力都是零。这个结论不符合事实闭物体的绕流，其阻力都是零。这个结论不符合事实 。这个矛盾多少耽误了一点流体力学的发展，那时人。这个矛盾多少耽误了一点流体力学的发展，那时人 们以

39、为用无粘的位流去处理实际流动是没有什么价值们以为用无粘的位流去处理实际流动是没有什么价值 的。的。 后来才知道，这样撇开粘性来处理问题，是一种后来才知道，这样撇开粘性来处理问题，是一种 很有价值的合乎逻辑的抽象，它能使我们把影响流动很有价值的合乎逻辑的抽象，它能使我们把影响流动 的各种因素分开来看清楚。譬如，早期由经验得出来的各种因素分开来看清楚。譬如，早期由经验得出来 的良好翼型，最大的升力对阻力的比不过是几十比一的良好翼型，最大的升力对阻力的比不过是几十比一 ，后来在位流理论指导下，设计出来的翼型的最大升，后来在位流理论指导下，设计出来的翼型的最大升 阻比竟达三百比一。这就是无粘抽象的指导

40、意义阻比竟达三百比一。这就是无粘抽象的指导意义 。 3.3.3 直匀流加偶极子加点涡（有环量的圆柱绕流）直匀流加偶极子加点涡（有环量的圆柱绕流） 2 cos),( 2 r a rVyx r r a rVyxln 2 sin),( 2 在直匀流加偶极子的流动之上，再在圆心处加在直匀流加偶极子的流动之上，再在圆心处加 一个强度为（一个强度为（ ）的点涡（顺时针转为负）。）的点涡（顺时针转为负）。 这时的位函数和流函数为这时的位函数和流函数为 1、绕圆柱的有环量流动、绕圆柱的有环量流动 cos1 2 2 r a V r Vr rr a V r V 2 sin1 1 2 2 a VV 2 sin2 在

41、极坐标下，两个分速度为在极坐标下，两个分速度为 0 , 驻点现在不在驻点现在不在 仍是一条流线。在这个圆上仍是一条流线。在这个圆上 ，圆周速度为，圆周速度为ar 0 r V 求出求出 aV 4 sin 0 0 2 sin2 0 a VV 假设驻点位置在假设驻点位置在 处，由处，由 0 在第三和第四象限内，前后驻点对在第三和第四象限内，前后驻点对y轴是对称轴是对称 的。它决定于环量对速度乘半径的。它决定于环量对速度乘半径a之比值；比值越大之比值；比值越大 ，驻点越往下移。，驻点越往下移。 0 aV4 aV4 aV4 0 在有环量圆柱绕流的图画中，左右仍是对称的，在有环量圆柱绕流的图画中，左右仍是

42、对称的， 但上下却不再对称了。但上下却不再对称了。 于是计算于是计算y向合力时结果就不等于零。因此，在向合力时结果就不等于零。因此，在 垂直于远方来流速度方向应该有作用力存在。这个垂直于远方来流速度方向应该有作用力存在。这个 垂直于来流速度方向的空气动力的分力称为升力。垂直于来流速度方向的空气动力的分力称为升力。 求这个升力，一个方法可以先求出圆柱表面的速求这个升力，一个方法可以先求出圆柱表面的速 度分布，再按伯努利公式求出圆柱面上的压强，最后度分布，再按伯努利公式求出圆柱面上的压强，最后 通过积分去求得通过积分去求得y向上下面的合压力，这个合力就是向上下面的合压力，这个合力就是 升力。升力。

43、 R dspL 2 )sin( 2、库塔、库塔-儒可夫斯基升力定理儒可夫斯基升力定理 以原点为中心，画一个半径为以原点为中心，画一个半径为r1很大的控制面很大的控制面 S，整个的控制面还包括圆的表面，整个的控制面还包括圆的表面S1以及连接以及连接S和和 S1的两条割线。的两条割线。 现在我们从动量定理出发，确定绕圆柱体有环量现在我们从动量定理出发，确定绕圆柱体有环量 时的流动的升力。时的流动的升力。 受力情况左右对称，不会有受力情况左右对称，不会有X合力。我们只计合力。我们只计 算算y方向合力就行了。彻体力略去不计；流动是定方向合力就行了。彻体力略去不计；流动是定 常的。常的。 这两条割线上的

44、压力和动量的贡献都相互抵消这两条割线上的压力和动量的贡献都相互抵消 了，因此对整个结果没有影响。了，因此对整个结果没有影响。 S n S vdsVdsynpL),cos( d yn 1 rds sin),cos( 2/ 2/ 1 2/ 2/ 1 2sin2 vdVrdprL r 在在y方向应用积分形式的动量方程，方向应用积分形式的动量方程， 在在r=r1的大圆上的大圆上 因此可得因此可得 )( 2 1 22 VVpp sin1 4 sin1cos1 2 2 22 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 222 r a r V rr a V r a V VVV r 利用伯努利方程求出上式中的利

45、用伯努利方程求出上式中的p 2/ 2/ 1 2/ 2/ 1 2sin2 vdVrdprL r 在右侧第一个积分中，所有奇函数的积分为零在右侧第一个积分中，所有奇函数的积分为零 ，只需求偶函数的积分。所以，只需求偶函数的积分。所以 2/ 2/ 1 sin2 dprL p rr a V r V 2 sin1 1 2 2 cos1 2 2 r a V r Vr 对于单位时间动量的净流出量计算如下：对于单位时间动量的净流出量计算如下： )1( 2 sin)1( 2 2 1 2 2/ 2/ 2 2 1 2 1 1 r aV d r a r V r2 cos 2 cossin)1 (sincos)1 (

46、cossin 2 2 2 2 rr a V r a V VVv r 在在y方向的速度分量是方向的速度分量是 cos1 2 2 r a V r Vr 同样，在右侧第二个积分中，所有奇函数的积同样，在右侧第二个积分中，所有奇函数的积 分为零，只需求偶函数的积分。所以分为零，只需求偶函数的积分。所以 2/ 2/ 1 2/ 2/ 1 2sin2 vdVrdprL r 2/ 2/ 1 2 vdVrL rv )1 ( 2 cos)1 ( cos 2 )1 (2 2 1 2 2/ 2/ 2 2 1 2 2/ 2/ 2 1 2 1 2 1 r aV d r aV d rr a Vr 所以单位长度圆柱所受的总升

47、力为所以单位长度圆柱所受的总升力为 V r a V r a VLLL vp 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 这就说明了物形对升力没有直接的关系，关键这就说明了物形对升力没有直接的关系，关键 的问题在于必须有一个绕物体的环量存在。有了环的问题在于必须有一个绕物体的环量存在。有了环 量又有一个直匀流，便有一个升力。量又有一个直匀流，便有一个升力。 VL 只要是一个封闭物体，代表这个物体作用的正只要是一个封闭物体，代表这个物体作用的正 负源的强度总和必须等于零。负源的强度总和必须等于零。 这种正负源放在一起的情况，在远离物体的地这种正负源放在一起的情况，在远离物体的地 方（我们可以取

48、方（我们可以取r1很大），其作用和一个偶极子的很大），其作用和一个偶极子的 作用基本相似。作用基本相似。 一个封闭物体所受升力一个封闭物体所受升力L L等于来流的密度乘速等于来流的密度乘速 度再乘以环量。升力的指向等于把直匀流的指向逆度再乘以环量。升力的指向等于把直匀流的指向逆 着环流转着环流转/2/2。 VL 库塔库塔- -儒可夫斯基升力定理：儒可夫斯基升力定理： 库塔库塔(MW.Kutta,1867-1944)， 德国数学家德国数学家 1906年儒可夫斯基引入年儒可夫斯基引入 了环量的概念，发表了著名了环量的概念，发表了著名 的升力定理，奠定了二维机的升力定理，奠定了二维机 翼理论的基础。

49、翼理论的基础。 儒可夫斯基（儒可夫斯基（Joukowski， 18471921），俄国数学家），俄国数学家 和空气动力学家。和空气动力学家。 环量之所以能产生一个环量之所以能产生一个Y向的合力，也可以从向的合力，也可以从 圆柱体上的压力分布直接看到。圆柱体上的压力分布直接看到。 右图给出右图给出 了有环量和无了有环量和无 环量绕流情况环量绕流情况 下的圆柱表面下的圆柱表面 压力分布的比压力分布的比 较。较。 无环量时，上半圆（无环量时，上半圆（由由至至0）上的压力分布）上的压力分布 和下半圆（和下半圆（由由至至2）上的压力分布对称，结果是）上的压力分布对称，结果是 合力为零。合力为零。 有环量

50、时，上有环量时，上 半圆上的负压远远半圆上的负压远远 超过下半圆上的负超过下半圆上的负 压，所以有一个向压，所以有一个向 上的合力，即升力上的合力，即升力 。这个力的来源主。这个力的来源主 要靠上半圆上的吸要靠上半圆上的吸 力力 。 2 2 yx ydm d b a d yx ym yV 2 2 把直匀流和分布的偶极子（或总强度为零的分布点源和点汇）叠加把直匀流和分布的偶极子（或总强度为零的分布点源和点汇）叠加 起来，所得到的组合流动为对称封闭物体绕流。起来，所得到的组合流动为对称封闭物体绕流。 设来流速度为设来流速度为 ，在弦线上连续，在弦线上连续 分布一系列的偶极子，单位长度内偶极分布一系

51、列的偶极子，单位长度内偶极 子的强度设为子的强度设为m（偶极子密度）。（偶极子密度）。 V 如果偶极子密度的分布形式已知，则离原点距离为如果偶极子密度的分布形式已知，则离原点距离为 的小区间的小区间 内由偶极子产生的流函数为内由偶极子产生的流函数为 总流函数为总流函数为 d 物体的外形可以用零流线来表示。改变不同的偶极子密度分布，可物体的外形可以用零流线来表示。改变不同的偶极子密度分布，可 以获得不同形状的封闭物体。由流函数，可以求出流场中各点的速度分以获得不同形状的封闭物体。由流函数，可以求出流场中各点的速度分 布，然后由伯努利方程确定流场中各点及物体表面的压强分布。布，然后由伯努利方程确定流场中各点及物体表面的压强分布。 对于实际问题，往往是给定物体的外形来确定其流动的特性。在对于实际问题，往往是给定物体的外形来确