课件版本二几何与代数13

1、一、行列式的基本性质一、行列式的基本性质 1.3 行列式的性质行列式的性质 考虑考虑n 阶行列式阶行列式 行列式一般不直接用定义计算，而是利用行行列式一般不直接用定义计算，而是利用行 列式性质，化简行列式后再进行计算。列式性质，化简行列式后再进行计算。 nnnn n n aaa aaa aaa D 21 22221 11211 由于关于行成立的性质，关于列也同样成立，由于关于行成立的性质，关于列也同样成立， 下面只讨论行列式关于行的性质。下面只讨论行列式关于行的性质。 性质性质1.2：互换行列式的两行，行列式变号。：互换行列式的两行，行列式变号。 设行列式设行列式 是由行列式是由行列式 D 交

2、换第交换第i 和第和第j 两行得到的两行得到的 （不妨假设（不妨假设i j ） nnnn n n bbb bbb bbb D 21 22221 11211 1 即当即当 时时, jik, kpkp ab 当当 时时,jik, ipjpjpip abab, 于是于是 1 11 1 ijn pipjpnp Dbbbb 1 1 1 ijn pjpipnp aaaa 1 1 1 jin pipjpnp aaaa ,1为自然排列其中nji 1ijn pppp排列的逆序 11jin pppp排列的逆序 则后一个排列是由前者对则后一个排列是由前者对pi 和和pj 进行一次对进行一次对 换得到的，它们奇偶性不

3、同，于是换得到的，它们奇偶性不同，于是 1 11 例如例如 推论推论. 如果行列式有两行完全相同，则此行列式如果行列式有两行完全相同，则此行列式 为零。为零。 故故 1 1 11 1 jin pipjpnp DaaaaD , 571571 266 853 . 8 2 5 8 2 5 3 6 1 5 6 7 5 6 7 3 6 1 266 853 性质性质1.3：用数：用数k 乘以行列式的某一行，相当于乘以行列式的某一行，相当于 用数用数k 乘以该行列式。乘以该行列式。 （证明类似性质（证明类似性质1.2，略），略） nnnn inii n aaa kakaka aaa 21 21 11211

4、nnnn inii n aaa aaa aaa k 21 21 11211 性质性质1.4：行列式中如果有两行元素成比例，则：行列式中如果有两行元素成比例，则 该行列式为零。该行列式为零。 （由性质（由性质1.2和性质和性质1.3的推论可证）的推论可证） nnnn inii inii n aaa kakaka aaa aaa 21 21 21 11211 nnnn inii inii n aaa aaa aaa aaa k 21 21 21 11211 . 0 性质性质1.5：如果行列式某行元素是两组数之和，：如果行列式某行元素是两组数之和， 则该行列式可以写成两个行列式之和。则该行列式可以写

5、成两个行列式之和。 （证明类似性质（证明类似性质1.2，略），略） nnnn ininiiii n aaa bababa aaa 21 2211 11211 nnnn inii n nnnn inii n aaa bbb aaa aaa aaa aaa 21 21 11211 21 21 11211 性质性质1.6：将行列式某一行的各元素乘以常数，：将行列式某一行的各元素乘以常数， 加到另一行的对应元素上去，则行列式值不变。加到另一行的对应元素上去，则行列式值不变。 D aaa aaa kaakaakaa aaa nnnn jnjj jninjiji n 21 21 2211 11211 （由

6、性质（由性质1.4和性质和性质1.5可证）可证） 例例1. 计算行列式计算行列式 6532 4210 4321 1021 D 下面通过例子，介绍怎样应用行列式性质计算下面通过例子，介绍怎样应用行列式性质计算 行列式。行列式。 基本方法一（化为三角形）：应用行列式性质，基本方法一（化为三角形）：应用行列式性质， 将行列式化为上（下）三角形行列式，再求行列将行列式化为上（下）三角形行列式，再求行列 式值。式值。 解：解： 6532 4210 4321 1021 D 4510 4210 3300 1021 12 rr 14 2rr 32 rr 4510 3300 4210 1021 8700 330

7、0 4210 1021 24 rr 8700 1100 4210 1021 3 34 7rr 3 1000 1100 4210 1021 3 r3提公因子提公因子3 例例2. 计算计算n 阶行列式阶行列式 abbb babb bbab bbba D 解解: abbbna babbna bbabna bbbbna 1 1 1 1 D 将第将第 都加到第一列，得都加到第一列，得n, 3 , 2 abb bab bba bbb bna 1 1 1 1 ) 1( 1 )() 1( n babna ba ba ba bbb bna 1 ) 1( 提出第提出第1列公因子列公因子 各行减去第各行减去第1行行

8、 例例3. nnn n nkn k kkk k bb bb cc cc aa aa D 1 111 1 111 1 111 0 设 ,)det( 1 111 1 kkk k ij aa aa aD ,)det( 1 111 2 nnn n ij bb bb bD . 21D DD 证明证明: 证明证明: ; 0 11 1 11 1kk kkk pp pp p D 设为 化为下三角形行列式，把作运算对 11 DkrrD ji 化为下三角形行列式把作运算对 22 ,DkccD ji . 0 11 1 11 2nn nnn qq qq q D 设为 , 0 1 11 1 111 1 11 nnnnk

9、n k kkk qq q cc cc pp p D 化为下三角形行列式把算 列作运，再对后行作运算的前对 Dkcc nkrrkD ji ji , 211111 DDqqppD nnkk 故 本题结论可以本题结论可以 直接应用直接应用 练习：已知练习：已知abcd = 1，计算，计算4阶行列式阶行列式 1 11 1 11 1 11 1 11 2 2 2 2 2 2 2 2 d d d d c c c c b b b b a a a a D 说明：将行列式化为三角形，再进行计算的方说明：将行列式化为三角形，再进行计算的方 法，只对某些特殊的行列式有效；更多时候非常法，只对某些特殊的行列式有效；更多

10、时候非常 麻烦、甚至难以化为三角形行列式。麻烦、甚至难以化为三角形行列式。 提示：提示： 1 11 1 11 1 11 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 d d d c c c b b b a a a d dd c cc b bb a aa D 前一个行列式提出因子前一个行列式提出因子abcd。 二、行列式按行（列）展开二、行列式按行（列）展开 aaa aaa aaa 111213 212223 313233 aa a aa 21231 2 12 3133 ( 1) aa a aa 21221 3 13 3132 ( 1) aa a aa 22231 1

11、 11 3233 ( 1) aij 的余子式的余子式 Mij ： a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann D = 划去划去aij 所在行、列得到的所在行、列得到的n-1阶行列式阶行列式 比如比如M22 ： aij 的代数余子式的代数余子式 ij ijij AM 1 a Aa Aa A 111112121313 nn a Aa Aa A 1111121211 1. 余子式与代数余子式余子式与代数余子式 例如例如 44434241 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa aaaa D 444241 343231 14121

12、1 23 aaa aaa aaa M 23 32 23 1MA . 23 M 行列式中的每个元素都可以分别对应一个余子行列式中的每个元素都可以分别对应一个余子 式和一个代数余子式。式和一个代数余子式。 2. 行列式展开定理行列式展开定理 定理定理1.2：n阶行列式阶行列式D = det (aij) 等于它任意行（列）等于它任意行（列） 的各元素与其相应的代数余子式的乘积之和，即的各元素与其相应的代数余子式的乘积之和，即 ), 2 , 1( 2211 niAaAaAaD ininiiii ), 2 , 1( 2211 njAaAaAaD njnjjjjj 或或 证：证： nnnn inii n

13、aaa aaa aaa D 21 21 11211 000000 nnnn i n aaa a aaa 21 1 11211 00 nnnn i n aaa a aaa 21 2 11211 00 nnnn in n aaa a aaa 21 11211 00 将行列式第将行列式第i 行的每个元素写成行的每个元素写成n个数之和，则个数之和，则 行列式行列式D拆成拆成n个个 行列式之和行列式之和 inii DDD 21 其中其中aij 非零的那个行列式记为：非零的那个行列式记为： 将将Dij的第的第i行依次与第行依次与第i-1行、第行、第i-2行，行，第，第1 行交换，这时元素行交换，这时元素

14、到第到第1行，其余行之间的相行，其余行之间的相 对位置，则没有发生改变。再将它的第对位置，则没有发生改变。再将它的第j列依次与列依次与 第第j-1列、第列、第j-2列，列，第，第1列交换，这时元素列交换，这时元素 到了第到了第1行、第行、第1列。列。 ij a ij a nnnjn ij nj ij aaa a aaa D 1 1111 00 ij a nnjnnj nijiji ij ji ij aaa aaa a D 1, , 11, 1, 1 11 00 11 ij a nnjnnj nijiji ij ji aaa aaa a 1, , 11, 1, 1 00 1 中的余子式中的余子式

15、. ij M 在余子式仍然是 中的在行列式元素 ij nnjnnj nijiji ij ij a aaa aaa a a 1, , 11, 1, 1 00 ij a nnnjn ij nj ij aaa a aaa D 1 1111 00 ij a 故得故得 ijij ji Ma 1 于是有于是有 nnjnnj nijiji ij aaa aaa a 1, , 11, 1, 1 00 , ijijM a ij a nnjnnj nijiji ij ji ij aaa aaa a D 1, , 11, 1, 1 00 1 ij a ijijA a 由分块下三角由分块下三角 形行列式形行列式 3.

16、 推论推论1.3：n阶行列式的任一行（列）的元素，阶行列式的任一行（列）的元素， 与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之 和为零，即当和为零，即当i j 时，时， 说明：定理说明：定理1.2表明表明n阶行列式可以化为阶行列式可以化为n-1阶行阶行 列式进行计算，所以定理列式进行计算，所以定理1.2被称为行列式展开定被称为行列式展开定 理。理。 ininiiii AaAaAaD 2211 ni, 2 , 1 0 2211 jninjiji AaAaAa 0 2211 njnijiji AaAaAa 基本方法二（逐次降阶法）：先利用行列式性基本方法二（

17、逐次降阶法）：先利用行列式性 质，将某行（列）化简至只有个别非零元素，然质，将某行（列）化简至只有个别非零元素，然 后将行列式按该行（列）展开并降阶，后将行列式按该行（列）展开并降阶，直，直 到到2、3阶行列式进行直接计算。阶行列式进行直接计算。 3351 1102 4315 2113 D 0355 0100 13111 1115 31 2 cc 34 cc 按第按第3行展开行展开 055 1111 115 )1( 33 055 026 115 55 26 )1( 31 50 28 .40 12 rr 按第按第3列展开列展开 24232221 MMMM计算 证：证：用数学归纳法用数学归纳法 2

18、1 2 11 xx D 12 xx , )( 12 ji ji xx ）式成立）式成立时（时（当当12 n 例例5.证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式 1 11 2 1 1 22 2 2 1 21 ).( 111 jin ji n n nn n n n xx xxx xxx xxx D )1( 范德蒙德行列式的结果范德蒙德行列式的结果 可以作为公式使用可以作为公式使用 ，阶范德蒙德行列式成立）对于假设（11n )()()(0 )()()(0 0 1111 1 2 13 2 312 2 2 1133122 11312 xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxx

19、x D n n n nn nn n n 就有 提出，因子列展开，并把每列的公按第)(1 1 xxi rn-x1rn-1， rn-1-x1rn-2， r2- x1r1 )()()( 2 11312j jin inn xxxxxxxxD ).( 1 j jin i xx 22 3 2 2 32 11312 111 )()( n n nn n n xxx xxx xxxxxx n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式 说明：（说明：（1）数学归纳法证明；）数学归纳法证明； （2）逐行相减法化简行列式）逐行相减法化简行列式 练习：计算行列式练习：计算行列式 nnnnn nnnnn nn nn nn D

20、1111 1333 1322 1321 提示：利用逐行相减技术提示：利用逐行相减技术 （1）：）： nn nn nn nnnn D 12 12 12 3333 2222 1111 提示：利用范德蒙德行列式进行计算。提示：利用范德蒙德行列式进行计算。 （2）：）： 三、行列式的计算三、行列式的计算 计算行列式时，需要根据行列式的特点，选择计算行列式时，需要根据行列式的特点，选择 适合的方法，逐步化简，最终求出结果。适合的方法，逐步化简，最终求出结果。 计算计算n+1阶行列式阶行列式(爪形爪形) 其中其中 例例6. nn n db db db aaaa D 22 11 210 nidi, 2 ,

21、10 当当 全不为零时全不为零时 n ddd, 21 1. 化为三角形行列式计算化为三角形行列式计算 n n n k k kk d d aa d ba a 0 0 0 1 1 1 0 11 j j j c d b c nj, 2 , 1 n n k k kk ddd d ba a 21 1 0 注：例注：例6爪形行列式的结论，在计算行列式时可以直接爪形行列式的结论，在计算行列式时可以直接 使用。使用。 计算计算n+1阶行列式阶行列式例例7. xaaa axaa aaxa aaax D n n n n 321 21 21 21 1 解解: 将第将第 都加到第一列，得：都加到第一列，得：n, 3

22、, 2 行列式的每一行都是由同样的行列式的每一行都是由同样的x, a1, , an 构成，即它们的行和是相同的。构成，即它们的行和是相同的。 xaaax axaax aaxax aaaax D n i i n n i i n n i i n n i i n 32 1 2 1 2 1 21 1 1 提取行列式第一列的公因子，得提取行列式第一列的公因子，得 xaa axa aax aaa axD n n n n i in 32 2 2 21 1 1 1 1 1 1 11ii ca c 1,in n n i i axaaaa axaa ax ax 2312 212 1 1 1 01 001 0001

23、 )( 11 j n j n i i axax 练习：计算行列式练习：计算行列式 提示：分析行列式的每行元素提示：分析行列式的每行元素 maaaa amaaa aamaa aaama D n n n n n 321 321 321 321 2. 化为低阶行列式计算化为低阶行列式计算 计算行列式计算行列式例例8. abcd badc cdab dcba D 4 4321 rrrr abcd badc cdab dcba 1111 )( 提出提出r1公因子公因子 1 cci dadbdcd cbcacdc bcbdbab dcba 0001 )( 4 , 3 , 2i 按第按第1行展开行展开 da

24、dbdc cbcacd bcbdba dcba )( 21 rr 提出提出r1公因子公因子 dadbdc cbcacddcbadcba 011 )( 12 cc dacbdc cbdacddcbadcba 001 )( 按第按第1行展开行展开 dacb cbda dcbadcba )( )()()(dcbadcbadcbadcba 计算计算n阶阶3对角行列式对角行列式例例9. ba abba abba abba Dn 1 1 1 解解: 本题有本题有5种解法，包括两种递推方法、方程组种解法，包括两种递推方法、方程组 方法、完全拆项法和归纳证明法方法、完全拆项法和归纳证明法 解法一（递推法解法一

25、（递推法1）：）： 先将先将Dn按第按第1行展开行展开 ba ab ba abba ab abDbaD nn 1 1 0 1 )( 1 按第按第1列展开列展开 21 )( nn abDDba 由此构造递推式由此构造递推式 )( 211 nnnn aDDbaDD )( )( 12 2 32 2 aDDb aDDb n nn babaD 1 22 2 1 baba ba abba D nn nn baDDbaDD )( 12 2 1 求解递推式求解递推式 n nn baDD 1 1 21 n nn baDD 2 12 baDD （1） （a） （an-2） 相加后得到相加后得到 221 1 1 baabbDaD nnnn n nnnnn n ababaabbD 1221 解法二（递推法解法二（递推法2）：）：先将 先将Dn第第1列拆成列拆成2列之和列之和 )2()1( 100 100 01 nnn DD ba abba abba abab D ii acc 1 1, 1ni )1( n D n b b b b 1 1 0 1 )2( nn aDD n nn baDD 1 （递推式同解法一，以下过程略）（递推式同解法一，以下过程略） 解法三（方程