人教A版（2019）高中数学必修第一册5.4.2正弦函数、余弦函数的性质 课件

1、5.4.2 正弦函数、余弦函数 的性质 【提问提问1 1】根据以前研究函数的经验，根据以前研究函数的经验，都有哪些性质可以研究？ 定义域、值域、单调性、奇偶性、最值(极值)等等 另外，三角函数是刻画“周而复始”现角的 数模型，所以三角函数还要研究周期性 定义域都是R，值域都是-1，1 【提问提问2 2】正弦函数 和余弦函数 的定义域和值域是什么？ 一、周期性 在图像上，横坐标每隔2个单位长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函 数值具有的“周而复始”的变化规律. xkxsin)2sin(由诱导公式可得， 即自变量 的值加上2的整数倍时所对应的函数值，与 所对应的函数值相等. 数学上用周期性来

2、定量地刻画这种“周而复始”的规律. ，都有，使得对每一个存在一个非零常数定义域为一般地，设函数D,)(TxDxTDxf ),()(xfTxf且 叫做这个函数的周期常数就叫做周期函数，非零那么函数Txf)( 都是正弦函数的周期。 ，以及，个，例如周期函数的周期不止一6-4-2-642 都是它的周期常数且事实上，kkzk2, 0 的最小正期就叫做 小正数小的正数，那么这个最所有周期中存在一个最如果在周期函数 )( )( xf xf 2)0(2周期为都是它的周期，最小正且正弦函数是周期函数，kzkk 2)0(2周期为都是它的周期，最小正且余弦函数是周期函数，kzkk 附：今后本书中所涉及的周期，如果

3、不加特别说明，都是指最小正周期 xysin31 2 ）（ 、求下列函数的周期例 xxRxsin3)2sin(3,1有）解：（ 2，原函数的周期为由周期函数的定义可知 2cos,22的周期为且得由）令（zyRzRxxz xxzz2cos)22cos(,cos)2cos(即Rxxx,2cos)(2cos所以， ，原函数的周期为由周期函数的定义可知 xy2cos)2() 62 1 sin(2)3( xy 2sin2, 6 - 2 1 3的周期为且得由）令（zyRzRxxzzzsin)2sin(即 ), 6 - 2 1 sin(2)2 6 - 2 1 sin(2 xx于是), 6 - 2 1 sin(

4、2 6 -)4( 2 1 sin2 xx所以， 4，原函数的周期为由周期函数的定义可知 思考：回顾例2的解答过程中，你能发现这些函数的周期与解析 式中哪些量有关吗？ 前的系数有关与自变量x 2 )cos()()cos()(TxAxfxAxf的周期为也成立，即同理，对于 2 )sin()(TxAxf的周期为即函数 3 8 4 3 2 , 4 3 1 T）解：（ 24 2 , 42 T）（ 2 2 , 23T）（ 6 3 1 2 , 3 1 4T）（ 2 T 二、奇偶性 正弦函数的图象关于原点对称 )(sin)sin()(xfxxxf 是奇函数xxfsin)( 余弦函数的图象关于y轴对称 )(co

5、s)cos()(xfxxxf 是偶函数xxfcos)( 0) 11 () 1 ()21 ()3( 2 fff解： 4 1 ) 1 2 3 () 2 3 ()2 2 3 () 2 7 ( 2 fff 由于正弦函数是周期函数，我们可以先在它的一个 周期的区间里如 讨论它的单调性，再利用它的 周期性，将单调性扩展到整个定义域. 三、单调性 可以看到：当 由 增大到 时，曲线逐渐上升， 的值由-1增大到1. 当 由 增大到 时，曲线逐渐下降， 的值由1减小到-1. 上单调递减，上单调递增，在区间，在区间正弦函数 2 3 22 - 2 -sin xy 由正弦函数的周期性可得 正弦函数的增区间： 正弦函数

6、的减区间： )(2 2 ,2 2 zkkk 其值从-1增大到1 )(2 2 3 ,2 2 zkkk 其值从1减少到-1 三、单调性 上单调递减，上单调递增，在区间，在区间余弦函数00-cos xy 由于余弦函数是周期函数，我们可以先在它的一个 周期的区间里如 讨论它的单调性，再利用它 的周期性，将单调性扩展到整个定义域. , 可以看到：当 由 增大到 时，曲线逐渐上升， 的值由-1增大到1. 0 xcos 当 由 增大到 时，曲线逐渐下降， 的值由1减小到-1. 0 xcos 由余弦函数的周期性可得 余弦函数的增区间： 余弦函数的减区间： )(2 ,2zkkk 其值从-1增大到1 )(2,2z

7、kkk其值从1减小到-1 四、最大值和最小值 2 3 , 2 ,sin xxy 1 2 有最大值时，当yx 1- 2 -有最小值时，当yx 由正弦函数的周期性可得 1)2 2 ,sin时，取得最大值（当且仅当正弦函数zkkxxy 1)2 2 -,sin时，取得最小值（当且仅当正弦函数zkkxxy 四、最大值和最小值 10有最大值时，当yx 1-有最小值时，当yx 由正弦函数的周期性可得 1)2,cos时，取得最大值（当且仅当余弦函数zkkxxy ,cosxxy 1-)2,cos时，取得最小值（当且仅当余弦函数zkkxxy 例3、下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值，最小 值时自变

8、量x的集合，并求最大值，最小值 Rxxy, 1cos1）、（ ，有最大值时，（解：当1cos)2xzkkx21cos有最大值此时，xy ，有最小值时，1cos)(2-xzkkx01cos有最小值此时，xy 21cos,2|有最大值所以，当xyzkkxxx 01cos,2|有最小值当xyzkkxxx Rxxy,2sin32）、（ ，有最大值时，（即解：当12sin) 4 ,2 2 2xzkkxkx 32sin3有最大值此时，xy 3-2sin3有最小值此时，xy 3-2sin3-, 4 |有最小值所以，当xyzkkxxx 32sin3-,2 4 -|有最大值当xyzkkxxx ，有最小值时，（即

9、当12sin) 4 ,2 2 2xzkkxkx 分析：1、同一函数可以利用单调比较大小。2、必须化在同一单调区间比较 0 18102 -1 ）解：（ 是单调递增在区间又 0 , 2 -sin xy ) 10 sin() 18 in( s 5 3 cos) 5 3 4cos( 5 23 cos 5 23 cos2 ）解：（ 4 cos) 4 4cos( 4 17 cos 4 17 cos 5 3 4 0上单调递减，在区间又0cosxy ) 4 17 cos() 5 23 cos( 5 3 cos 4 cos 即 递增在相应区间上一定单调则 在某区间上递增，的值也增大。函数增大时，当自变量分析：令 ) 32 1 sin( sin 32 1 xy zyzxxz 3 , 3 5 2 ,2), 32 1 sin()( 的单调递增区间xxxf 3 4 , 3 2 2 ,2. 32 1 zxxz解：令 2 , 2 3 4 , 3 2 ,sin 的单调递增区间因为zzy 232 1 2 x由 33 5 x得 递增在相应区间上一定单调则 在某区间上递减，的减小。函数增大时，当自变量分析：令 ) 32 1 -sin( sin 32 1 - xy zyzxxz 3 4 , 3 2 2 ,2. 32