矩阵论9[教育知识]

1、兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论-第九讲 兰州大学信息科学与工程学院 2004年 矩阵理论第9讲-1 兰州大学信息科学与工程学院 上节内容回顾 矩阵的条件数 定义矩阵条件数的工程背景 矩阵的奇异值 矩阵序列 矩阵序列收敛的充分必要条件 收敛矩阵 矩阵级数 矩阵级数的绝对收敛的充要条件 绝对收敛 收敛 ( ) :,0,1, km n AACk ( ) lim0 k k AA ( ) lim k k AA : m n CR ( ) 0 k k A lim k k A 0 n n AC ( ) 0 k k A 矩阵理论第9讲-2 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵的幂级数 矩阵幂级数 设 ， ，称

2、矩阵级数 为矩阵A的幂级数 方阵幂级数收敛的判别定理 若复变数幂级数 的收敛半径为r，而矩阵 的谱半径 为 ，则 1. 当 时，方阵幂级数 绝对收敛 2. 当 时，方阵幂级数 发散 证明： 1. ，取 ，使得 (0,1,) k aCk n n AC 0 k k k a A 0 k k k a A 0 k k k a A 0 k k k a z n n AC ( )A ( )Ar ( )Ar ( )Ar0( )rA0 ( )Ar: n n m CR ( ) m AAr 矩阵理论第9讲-3 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵的幂级数 由于幂级数 收敛，根据正项级数的比较审敛法知矩阵幂级数 绝对收敛

3、2. 由于 ，设 ，则 当 时， 由Jordan定理， ，使得 ( ( ) k kkk kkkk m mm a AaAaAaA 0 ( ( )k k k aA 0 k k k a A ( )max j j Amax lj j ( ) l A ( )Ar l r 11 21 1 (10) i n n P APJor n n n PC 矩阵理论第9讲-4 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵的幂级数 矩阵幂级数 的对角线元素为 由于 发散，从而矩阵幂级数 发散 由于矩阵幂级数 与 具有相同的敛散性，可知 也发散。 推论 设幂级数 的收敛半径为r， 。若 使得 ，则矩阵幂级数 绝对收敛 0 k k k

4、a J 0 (1, ) k kj k ajn 0 k kl k a 0 k k k a J ( ) 0 k k A ( ) 0 k k PA Q 0 k k k a A 0 k k k a z : n n CR n n AC Ar 0 k k k a A ( )AA : n n CR 矩阵理论第9讲-5 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵的幂级数 举例 判断矩阵幂级数 的敛散性 解：令 eig(A) ans = 0.8333 -0.5000 由于幂级数 的收敛半径为r = 1 绝对收敛 0 18 216 k k k k 18 1 216 A ( )0.83331A 0 k k kz 0 18 2

5、16 k k k k 矩阵理论第9讲-6 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵的幂级数 Neumann级数收敛充要条件 设 ，称矩阵幂级数 为Neumann级数 收敛 并且在此级数收敛时，其和为 证明： 充分性： 幂级数 的收敛半径为1 必要性：若矩阵幂级数 收敛，记 ， ，则 n n AC 0 k k A 0 k k A ( )1A ( )1A 0 k k kz 0 k k A 收敛 0 k k SA ( ) 0 n nk k SA ( ) lim n n SS 0 k k A ( )(1)( )(1) limlim()limlim nnnnn nnnn ASSSS 0( )1A 1 ()IA

6、收敛矩阵的充要条件 矩阵理论第9讲-7 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵的幂级数 当 收敛时， 取 可逆 由于 0 k k A ( )1A01( )A 0 ( )1A: n n CR ( )1AA IA ( )2 () nn SIAIAAA 21nn AAAA 1n IA ( )111 ()() nn SIAAIA ( )1 lim() n n SSIA A是收敛矩阵lim n n A 0 矩阵理论第9讲-8 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵的幂级数 举例 设 判断矩阵幂级数 的敛散性，若收敛，求其和 解：norm(A,1) ans = 0.9000 即 ，所以 绝对收敛 inv(eye(si

7、ze(A)-A) ans = 2.0000 1.0000 1.0000 3.1429 4.4286 3.0000 1.4286 1.7857 2.5000 0.20.10.2 0.50.50.4 0.10.30.2 A 0 k k A 1 0.91A 0 k k A 0 k k A 矩阵理论第9讲-9 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵函数 定义： 矩阵函数的定义基于收敛的矩阵幂级数 。 收敛于一个唯一的矩阵，即此矩阵幂级数的和S。这样，矩 阵幂级数在矩阵 与 之间建立了一个映射： 称此映射为矩阵函数，它是以矩阵为变量（更为确切地，以方阵为变 量）且取值为矩阵（方阵）的一类函数。 称S为A在映射

8、f下的象，记作： : n nn n f CC 0 k k k a A 0 k k k a A ( )Sf A n n C n n C 0 () ! k z k z er k 21 0 ( 1) sin() (21)! k k k zzr k 2 0 ( 1) cos() (2 )! k k k zzr k 1 0 (1)(1) k k zzr 1 0 ( 1) ln(1)(1) 1 k k k zzr k 矩阵理论第9讲-10 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵函数 相应地，根据矩阵幂级数的收敛准则，将矩阵幂级数 的和分别记为下列矩阵函数 0 () ! k n n k A AC k 21 0 (

9、 1) () (21)! k kn n k AAC k 2 0 ( 1) () (2 )! k kn n k AAC k 0 ( ( )1) k k AA 1 0 ( 1) ( ( )1) 1 k k k AA k 1 ,sin,cos ,() ,ln() A eAAIAIA 矩阵理论第9讲-11 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵函数在矩阵分析中的应用 许多工程问题，常常化为求解一阶常系数微分方程组的问题 由线性元件构成的网络状态方程组及输出方程组 其它动态系统或受控系统 L C R2 R1 u(t) iL iC xAxBu yCxDu m y(t) F(t) xAxBu 矩阵理论第9讲-12

10、 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵函数在矩阵分析中的应用 离散时间系统 假设上述方程组的初始条件为 或 先考察u(t) = 0时， 的解，这时状态方程组简化为 这相当于求系统的零输入响应 当矩阵A为数a时，其解为 可以设想，当 而 时， 的解含有 ，可以证明 都是收敛的，因而其和是有意义的 离散时间系统 x(n)y(n) ( )(1)( )m nGm nHx n ( )( )( )y nCm nDx n xAxBu xAx 00 ( )x tx 0 (0)xx 0 () 0 ( ) a t t x tex At e n n AC n xCxAxBu tR 0 1 () ! k k At k 0

11、 () ! k An n k A eAC k 矩阵理论第9讲-13 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵函数在矩阵分析中的应用 矩阵函数 、 及 满足代数三角函数的性质Euler公式 sin Acos A A e sin()sinAA cos()cosAA cossin A eAiA cos 2 iAiA ee A sin 2 iAiA ee A i 0 ! k iAk k i eA k 221 00 ( 1)( 1) (2 )!(21)! cossin kk kk kk AiA kk AiA cos()sin() iA eAiA cossinAiA cos 2 iAiA ee A sin 2 i

12、AiA ee A i A e 矩阵理论第9讲-14 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵函数在矩阵分析中的应用 常用矩阵函数的性质 设 ，且 ()A BABBA ee ee e sin()sincoscossinABABAB cos()coscossinsinABABAB , n n A BC ABBA sin22sincosAAA 22 cos2cossinAAA 00 11 ()() ! ABkk kk e eAB kk 0 1 () ! A Bk k eAB k 22 1 ()() 2! IABAABBAB 322223 1 () 3! AABABAB AA BABBABB 22 1 ()(

13、2) 2! IABAABB 3223 1 (33) 3! AA BABB 充要条件 矩阵理论第9讲-15 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵函数在矩阵分析中的应用 常用矩阵函数的性质 设 若 ， 是A的特征值，则矩阵函数 的特 征值为 由Jordan定理， ，使得 eI 0 n n AC tr det AA ee 1 () AA ee n n AC 12 , n ( )f A 12 (),(),() n fff 11 21 1 (10) i n n P APJor n n n PC 矩阵理论第9讲-16 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵函数在矩阵分析中的应用 再设 ，可得如下矩阵幂级数 收敛。由

14、于 即矩阵幂级数 收敛，由于 的对角线元素为 所以，这些复数项幂级数收敛，且 0 (1, ) k kj k ajn 11 00 ()() kk kk kk Pa APaP A P 0 ( ) k k k f Aa A 1 0 () k k k Pa AP 1 0 0 ()k k k k k k aP AP a J 0 k k k a J 0 ()(1, ) k kji k afjn 0 k k k a J 1 000 det()()() kkk kkkn kkk Ia Jaa 12 () ()() n fff 11 0 ()( ) k k k Pa APPf A P 矩阵理论第9讲-17 兰州

15、大学信息科学与工程学院 矩阵函数在矩阵分析中的应用 由于相似矩阵具有相同的特征值，所以 的特征值为 由此， 的特征值为 0 ( ) k k k f Aa J 12 (),(),() n fff ( )f A A e 12 , n eee 12 det n A 112212 tr nnn Aaaa 12 det n A eeee 12 tr n A e e 0 A e 可逆 AA e eeI 01 () AA ee 矩阵理论第9讲-18 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵函数在矩阵分析中的应用 需要注意的几点 除非A为对角矩阵 111 1 n nnn aa A aa 111 1 n nnn aa

16、A aa ee e ee 111 1 sinsin sin sinsin n nnn aa A aa 矩阵理论第9讲-19 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵函数在矩阵分析中的应用 的求法举例 利用Hamilton-Cayley定理 已知 求 解： 由Hamilton-Cayley定理 0 0 A At e At e 22 ( )det()IA ( )A 0 22 AI 0 222 ()( 1) kkkk AII 21221 ()( 1) kkkk A AIA (1,2,)k 2435 0 ()()()()() (1)(1) !2!4!3!5! k At k AtttttA eI k cossi

17、n cossin sincos tt A t It tt 矩阵理论第9讲-20 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵函数在矩阵分析中的应用 的求法举例 利用相似对角化 若 同理 At e 1 12 (,) n P APdiag 1 00 ( )() kk kk kk f Aa AaP P 1 12 000 1 12 diag(,) diag( (),(),() kkk kkkn kkk n PaaaP PfffP 1 12 ()diag( (),(),() n f AtPftftft P 460 350 361 A 矩阵理论第9讲-21 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵函数在矩阵分析中的应用 的求

18、法举例 利用Jordan标准形 Jordan块的幂 At e 1 1 ii i ir r i i JC n n AC n n n PC 1 21 s J J P APJ J (1) ()()() 1!2!(1)! () 1! () 2! () 1! i i rkkk k i k k k k i k k k r J 矩阵理论第9讲-22 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵函数在矩阵分析中的应用 1(1)2 2 00 ()()() 1!2!(1)! () 1! () () 2! () 1! ii i rrkkk k i k k k k k ikik kkk k k t ttt r t f J ta

19、J ta t t 矩阵理论第9讲-23 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵函数在矩阵分析中的应用 1(1)2 0000 00 2 00 0 0 ()()() 1!2!(1)! () 1! () () 2! () 1! ii i rrkkk k kkkk kkkk i k k kk kk k k i kk kk k k k k k k t ttt aaaa r t aa t f J t aa t a a 矩阵理论第9讲-24 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵函数在矩阵分析中的应用 1(1)2 2 ( )( )( ) ( ) 1!2!(1)! ( ) ( ) 1! () ( ) ( ) 2! ( )

20、 1! ( ) ii i rr i i t tft ftf f r tf f f J t t f f tf f 矩阵理论第9讲-25 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵函数在矩阵分析中的应用 1 00 ()() k kkk kk kk f Ata A taPJPt 1 0 1 0 12 0 0 1 1 () () () k k k k k k k k k k k k k k ks k s Pa J tP a J t a J t PP a J t f J t PP f J t 矩阵理论第9讲-26 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵函数在矩阵分析中的应用 已知 求 101 120 403 A A e 1 2 1 tt JJtt t t t ee eee e 11 1 2 J 矩阵理论第9讲-27 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵函数在矩阵分析中的应用 的求法举例 利用矩阵多项式 为计算 利用多项式的带余除法，将 表示为如下形式： 由Hamilton-Cayley定理 令 因为 所以 At e 0 () k k k k f Ata A t ()ft ()( , ) ( )( , )deg ( , )ftgtrtrtn ( )A 0 ()( , )f Atr A t 1 110 ( , )( )( )( ) n n rtbtb