范德蒙德行列式——简单明了

1、2021/3/111 1.6 行列式按行行列式按行(列列)展开展开 一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式 ,312213332112322311 322113312312332211 aaaaaaaaa aaaaaaaaa 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 引例引例, 考察三阶行列式考察三阶行列式 3223332211 aaaaa 3321312312 aaaaa 3122322113 aaaaa . 3331 2321 13 3331 2321 12 3332 2322 11 aa aa a aa aa a aa aa a 在在 n 阶行列式阶行列式D

2、中中, 把元素把元素 aij 所在的第所在的第 i 行和第行和第 j 列元素划去后列元素划去后, 留下来的留下来的 n1 阶行列式叫做阶行列式叫做(行列式行列式D 的关于的关于)元素元素aij 的的余子式余子式, 记作记作 Mij . 即即 2021/3/112 nnnjnjnjnn nijijijiii inijijijii nijijijiii njjj njjj aaaaaa aaaaaa aaaaaa aaaaaa aaaaaa aaaaaa D 1121 1111111211 1121 11111111211 2122122221 1111111211 nnnjnjnn nijiji

3、ii nijijiii njj njj ij aaaaa aaaaa aaaaa aaaaa aaaaa M 1121 111111211 111111211 212122221 111111211 2021/3/113 例如例如 44434241 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa aaaa D , 444241 343231 141211 23 aaa aaa aaa M 23 32 23 1MA . 23 M 记记 Aij = (1)i+j Mij, 称称 Aij 为元素为元素 aij 的的代数余子式代数余子式. , 444341 3433

4、31 242321 12 aaa aaa aaa M 12 21 12 1MA . 12 M , 333231 232221 131211 44 aaa aaa aaa M .1 4444 44 44 MMA 2021/3/114 引理引理: 如果一个阶行列式如果一个阶行列式D的第的第 i 行元素除行元素除 aij 外外 都为零都为零, 那么那么, 行列式行列式 D 等于等于 aij 与它的代数余子式与它的代数余子式 Aij 的乘积的乘积, 即即 D = aij Aij . 行列式的每一个元素都分别对应着唯一的一个余行列式的每一个元素都分别对应着唯一的一个余 子式和唯一的一个代数余子式子式和唯

5、一的一个代数余子式. nnnjnjnjnn nijijijiii ij nijijijiii njjj njjj aaaaaa aaaaaa a aaaaaa aaaaaa aaaaaa D 1121 1111111211 11111111211 2122122221 1111111211 00000 = aij Aij . 2021/3/115 证证: 当当 aij 位于第一行第一列时位于第一行第一列时, nnnn n aaa aaa a D 21 22221 11 00 又由于又由于 A11=(1)1+1M11=M11, 再证一般情形再证一般情形, 此时此时 由上节例由上节例3, 即教材中

6、的例即教材中的例10得得: D = a11M11 . 从而从而 D = a11A11, 即结论成立即结论成立. nnnjn ij nj aaa a aaa D 1 1111 00 ij a 2021/3/116 nnnjn nijii ij i aaa aaa a D 1 , 1, 11 , 1 1 00 1 把把D的第的第 i 行依次与第行依次与第 i 1行行,第第 i 2行行, , 第第1行行 交换交换, 得得 把把D的第的第 j 列依次与第列依次与第 j 1列列, 第第 j 2列列, , 第第1列列 交换交换, 得得 nnjnnj nijiji ij ji aaa aaa a D 1,

7、, 11, 1, 1 11 00 11 ij a ij a 2021/3/117 nnjnnj nijiji ij ji aaa aaa a 1, , 11, 1, 1 2 00 1 nnjnnj nijiji ij ji aaa aaa a 1, , 11, 1, 1 00 1 =(1)i+j aij M 11, 显然显然, M 11恰好是恰好是aij在在D中的余子式中的余子式Mij, 即即M 11=Mij, 因此因此, D = (1)i+j aij Mij = aij Aij, 故引理结论成立故引理结论成立. ij a ij a 2021/3/118 定理定理3: 行列式等于它的任一行行列

8、式等于它的任一行(列列)的各元素与其的各元素与其 对应的代数余子式乘积之和对应的代数余子式乘积之和, 即即 D = ai1Ai1 + ai2Ai2 + + ainAin ( i =1, 2, , n); D = a1iA1i + a2iA2i + + aniAni ( i =1, 2, , n). 证证: nnnn inii n aaa aaa aaa D 21 21 11211 000000 二、行列式按行二、行列式按行(列列)展开法则展开法则 nnnn i n aaa a aaa 21 1 11211 00 nnnn i n aaa a aaa 21 2 11211 00 nnnn in

9、n aaa a aaa 21 11211 00 2021/3/119 D = ai1Ai1 + ai2Ai2 + + ainAin ( i =1, 2, , n). 由引理得由引理得: 引理的结论常用如下表达式引理的结论常用如下表达式: n k kiki n k ikik AaAaD 11 ( i =1, 2, , n) . 277 010 353 D 解解: 按第一行展开按第一行展开, 得得 27 01 3 D.27 27 00 5 77 10 3 例例1: 计算行列式计算行列式 如果按第二行展开如果按第二行展开, 得得 27 33 )1)(1( 22 D .27 2021/3/1110 .

10、 3351 1102 4315 2113 D 0355 0100 13111 1115 31 2 cc 34 cc 例例2: 计算行列式计算行列式 解解: D 055 1111 115 )1( 33 055 026 115 55 26 )1( 31 50 28 .40 12 rr 2021/3/1111 1 11 2 1 1 22 2 2 1 21 ).( 111 jin ji n n nn n n n xx xxx xxx xxx D )1( 例例3: 证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式 证证: 用数学归纳法用数学归纳法 21 2 11 xx D 12 xx ,

11、)( 12 ji ji xx 所以所以, 当当 n=2 时时, (1)式成立式成立. 假设对假设对 n-1 阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式, (1)式成立式成立. 对对 n 阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式, 作如下变换作如下变换, ri x1ri-1 ( i = n, n1, , 2, 1 ). 得得 2021/3/1112 )()()(0 )()()(0 0 1111 1 2 13 2 312 2 2 1133122 11312 xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxx D n n n nn nn n n 按第一列展开按第一列展开, 并把每列的公因子并把每列的公因子( xi

12、x1 )提出提出, 就就 有有: 22 3 2 2 32 11312 111 )()( n n nn n nn xxx xxx xxxxxxD n1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式 )()()( 2 11312j jin inn xxxxxxxxD ).( 1 j jin i xx 则根据归纳假设得证则根据归纳假设得证: 2021/3/1113 05320 04140 01320 25271 02135 D 05320 04140 01320 25271 02135 D例例4: 计算行列式计算行列式 解解: 5320 4140 1320 2135 21 52 660 270 132 10 53

13、2 414 132 52 66 27 210 .1080124220 2021/3/1114 推论推论: 行列式任一行行列式任一行(列列)的元素与另一行的元素与另一行(列列)的对的对 应元素的代数余子式乘积之和等于零应元素的代数余子式乘积之和等于零, 即即 ai1Aj1 + ai2Aj2 + + ainAjn = 0, i j ; a1iA1j + a2iA2j + + aniAnj = 0, i j . , 1 1 1 111 11 nnn jnj ini n jnjnjj aa aa aa aa AaAaD 证证: 把行列式把行列式D = det(aij) 按第按第 j 行展开行展开, 得

14、得 把把 ajk 换成换成 aik (k=1, 2, , n ), 当当 i j 时时, 可得可得 2021/3/1115 , 1 1 1 111 11 nnn ini ini n jninji aa aa aa aa AaAa 第第 j 行行 第第 i 行行 相同相同 同理同理 a1iA1j + a2iA2j + + aniAnj = 0, i j 所以所以, ai1Aj1 + ai2Aj2 + + ainAjn = 0, i j 关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质 ; 0 1 ji jiD DAa ij n k jkik 当当 当当 . 0 1 ji jiD DAa ij n k kjki 当当 当当 . 0 1 ji ji ij 当当 当当 其中其中 2021/3/1116 1. 行列式按行行列式按行(列列)展开法则是把高阶行列式的计展开法则是把高阶行列式的计 算化为低阶行列式计算的重要工具算化为低阶行列式计算的重要工具. ij n k jkik n k kjki DAaAa