无穷大与无穷小PPT学习教案

1、会计学1 无穷大与无穷小无穷大与无穷小 Remark:Remark: （1）无穷小是变量）无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆; （3）零是可以作为无穷小的唯一的数）零是可以作为无穷小的唯一的数. （2）无穷小是变量的一种变化趋势）无穷小是变量的一种变化趋势; 第1页/共39页 例如例如, 1 1 lim0, 1 x x x 1 1. 1 x x x 函数是当时的无穷小 , 0 1 lim x x . 1 时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数 x x , 0 )1( lim n n n . )1( 时的无穷小时的无穷小是当是当数列数列 n n n 1 0 lim0 x x e 第

2、2页/共39页 1 0 lim0. x x e 例1、证明 证证0 1 x e要使 1 ln x 只要 1 ln 取 1 0, ln x 当时 1 x e有 1 0 lim0 x x e 1 ln x 只要 第3页/共39页 2、无穷小与函数极限的关系、无穷小与函数极限的关系 : 证证 必要性必要性,)(lim 0 Axf xx 设设 ,)()(Axfx 令令 0 lim( )0, xx x 易有 ( )( ).f xAx且 充分性充分性),()(xAxf 设设 ,)( 0时 时的的无无穷穷小小是是当当其其中中xxx )(lim)(lim 00 xAxf xxxx 则则 )(lim 0 xA

3、xx .A 第4页/共39页 意义意义 将一般极限问题转化为特殊极限问题将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小无穷小); 第5页/共39页 3、无穷小的运算性质、无穷小的运算性质: 定理定理2 在同一过程中在同一过程中, 有限个无穷小的代数和仍是无穷小有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 注意注意无穷多个无穷小的代数和无穷多个无穷小的代数和未必未必是无穷小是无穷小. . 333 12 lim n n nnn 例如, 222 12 lim n n nnn 第6页/共39页 定理定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证证(不证不证) 01 ( )(,) o u xN

4、x设函数在内有界， 01 00( ).Mxxu xM则,当时,恒有 0 ( ),xxx又设是当时的无穷小 202 000( ).xxx M ,当时,恒有 ,min 21 取取 恒有恒有时时则当则当,0 0 xx ( )( )( )( )u xxu xx M M , 0 , ( )( ).xxu xx当时为无穷小 第7页/共39页 推论推论1 在同一过程中在同一过程中, 有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论推论2 常数（有界量）与无穷小的乘积是无穷常数（有界量）与无穷小的乘积是无穷 小小. 推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷

5、小. ,0 x 例如 当时都是无穷小都是无穷小 1 sinx x 2 1 ,arctanx x 第8页/共39页 如果对于任意给定的如果对于任意给定的 0M ( (不论它多么大不论它多么大),), 总存在总存在 0 , ,当当 0 0 xx时时, ,有有 Mxf )(, , 定义定义 2 2 设函数设函数)(xf在在 0 x某一去心邻域内有定义某一去心邻域内有定义 则称函数则称函数)(xf当当 0 xx 时为无穷大时为无穷大, , 记作记作 0 lim( ) xx f x 第9页/共39页 1 limtan 2 x x ， lim ln, x x 特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大

6、，负无穷大 )(lim()(lim )()( 00 xfxf x xx x xx 或或 0 1 lim x x ， lim x x e 2 lim x x 0 lim ln x x 0 lim cot, x x 1 0 lim x x e 第10页/共39页 注意注意 （1）无穷大是变量）无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆; （3）无穷大是一种特殊的无界变量）无穷大是一种特殊的无界变量, .)(lim2 0 认为极限存在认为极限存在）切勿将）切勿将（ xf xx 11 0sinxy xx 例如,当时, 是无界变量，是无界变量， 但不是无穷大量但不是无穷大量 但是无界变量未必是无

7、穷大但是无界变量未必是无穷大(思考思考) 第11页/共39页 xx y 1 sin 1 11 ,0,sinxy xx 分析 当时 1 (1)0() 2 2 k xk k 取 , 2 2)( kxy k .)(,Mxyk k 充分大时充分大时当当 1 (2)0() 2 k xk k 取 kkxy k 2sin2)(但但.0M 不是无穷大不是无穷大 无界，无界， 第12页/共39页 0 lim ln. x x 例2、证明 证证 0Mln xM 要使 M xe只要 M e 若取 0 M xe 当时ln xM 有 0 lim ln. x x 第13页/共39页 1 0 lim. x x e 例3、证明

8、 证证 1M 1 , x eM要使 1 ln,M x 只要 1 , lnM 取 1 0, ln x M 当时 1 x eM有 1 0 lim. x x e 1 ln x M 只要 第14页/共39页 lim( ) xa f x 若 lim( ) x f xA 若 lim( ) xa f x 或 ( )xayf x称直线为曲线的垂直渐近线 ,lim( ), xa f x 或 ,lim( ) xa f x 或 ,lim( ) x f xA 或 ( )yAyf x称直线为曲线的水平渐近线 2.渐近线 第15页/共39页 定理定理4 4 在同一过程中在同一过程中, ,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为

9、无穷小 ; ; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. . 证（证（不证不证 ） .)(lim 0 xf xx 设设 0 0,0,0 xx 使得当时 . )( 1 xf 即即 . )( 1 , 0 为无穷小为无穷小时时当当 xf xx 1 ( )f x 恒有 第16页/共39页 . 0)(, 0)(lim, 0 xfxf xx 且且设设反之反之 , 1 )( 0, 0, 0 0 M xf xxM 恒有恒有 时时使得当使得当 . )( 1 M xf 从而从而 . )( 1 , 0 为无穷大为无穷大时时当当 xf xx , 0)( xf由由于于 意义意义 关于无穷大的讨论关

10、于无穷大的讨论, 都可归结为关于无穷小的讨论都可归结为关于无穷小的讨论. 第17页/共39页 例如例如, x x x 3 lim 2 0 x x x sin lim 0 2 0 lim x x x . 1 sin,sin,0 22 都是无穷小都是无穷小时时当当 x xxxxx 极限不同极限不同, 反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不程度不 同同. ;3 2 要快得多要快得多比比 xx ;sin大致相同大致相同与与xx , 0 , 1 观察各极限观察各极限 型）型）（0 0 第18页/共39页 ( ) (1)lim0 ( ) x x 如果， 定义定义: :( ), ( ),( )0

11、.xxx设是中的两个无穷小且同一过程 ( ) (2)lim0 ( ) x C x 如果 1,( )( )Cxx如果称与是等价无穷小； ( )( )xx低称是的阶无穷小； ( )( )xx高称是的阶无穷小； ( )( ( )xox记作：； ( )( )xx同称与是阶无穷小； ( )( ( )xOx记作： ( ) ( )xx记作：； 第19页/共39页 ( ) (3)lim0,0, ( )k x Ck x 如果 (0)xxx通常，当时，取为标准无穷小； (.)xkx的阶是无穷小称 ( )()xxaxa当时，取为标准无穷小； 1 ( )xx x 当时，取为标准无穷小； ( )( )xxk若是标准无穷

12、小的 阶无穷小， ( )xkx在自变量 的这种趋势下阶称：，是无穷小。 第20页/共39页 ，0 3 lim 2 0 x x x ，1 sin lim 0 x x x 2 03;xxx当时，是的高阶的无穷小 ).0()3( 2 xxox即即 是等价无穷小是等价无穷小与与时，时，当当xxxsin0 ).0(sinxxx即即 例如，例如， 0sin1xx也称：当时，是 阶无穷小。 2 0;xx明显，当时，是两阶的无穷小 第21页/共39页 例例4 4.sintan,0:的三阶无穷小的三阶无穷小为为时时当当证明证明xxxx 解解 3 0 sintan lim x xx x ) cos1sin cos

13、 1 (lim 2 0 x x x x x x , 2 1 .sintan的三阶无穷小的三阶无穷小为为xxx 2 000 cos1 lim sin lim cos 1 lim x x x x x xxx 第22页/共39页 23 0sinxxx练习：1.当时，试确定的阶. 01-cosxx2.当时，试确定的阶. 22 01 n xxxnZ 3.当时，比较-1与 的阶 (). ？是不是任意两个无穷小都可以是不是任意两个无穷小都可以 进行阶的比较进行阶的比较 , 1 )( x xf x x xg sin )( )( )( lim xf xg x x x sinlim 不存在且不为无穷大不存在且不为

14、无穷大 x 时的无穷小 第23页/共39页 (. 2 )o 与是等价无穷小的充要条件为 定理 证证必要性必要性，设设 1limlim ，0 ，即，即)()( oo 充分性充分性设设)( o )( limlim o ）（ )( lim o ，1 称是的主要部分 第24页/共39页 意义意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式：用等价无穷小可给出函数的近似表达式 例如例如, ),(sinxoxx ).( 2 1 cos1 22 xoxx ,0时时当当 x xycos1 2 2 1 yx sin ,xx 2 1 2 1 cos xx 第25页/共39页 常用等价无穷小常用等价无穷小: : ,0时时当

15、当 x sin tanxxx arcsin arctanxx ln(1) 1 x xe (1)1 a x a 2 1 1 cos 2 xx 第26页/共39页 例例5 5 解解 sin1 1 2cos x x 1 tan1 sin0 xx x求无穷小量的阶 1tan1 sin 1tan1 sin 1tan1 sin xx xx xx tansin 2 xx sin x x 1无穷小量为 阶无穷小量。 第27页/共39页 定理定理3 3( (等价无穷小代换定理等价无穷小代换定理) ) .limlim,lim, 则则存在存在且且设设 证证 lim)lim( limlimlim.lim 第28页/共

16、39页 lim( ) ( )( ) ( ),x f xxx.若存在推，论1 ( ) ( ),( ) ( ),xxxx.若推论2 lim( ) ( )x f x则也存在， lim( ) ( )lim( ) ( )x f xx f x且 ( ) lim( ) ( ) x f x x 且存在， ( ) lim( ) ( ) x f x x 则也存在， ( )( ) lim( )lim( ) ( )( ) xx f xf x xx 且 第29页/共39页 例例6 6. cos1 2tan lim 2 0 x x x 求求 解解.22tan, 2 1 cos1,0 2 xxxxx 时时当当 2 2 0

17、2 1 )2( lim x x x 原式原式. 8 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则 可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无 穷小代换，而不会改变原式的极限穷小代换，而不会改变原式的极限 第30页/共39页 0 1cos lim 1 cos x x x 练习： 1 cos 1cos,0 1cos x xx x 解：当时： 2 11 1 cos,1 cos 22 xxxx 0 1cos lim 1 cos x x x 2 0 1 2 lim 1 (1cos ) 2 x x xx 0 1 cos li

18、m (1cos )(1 cos) x x xx 0 lim0 1cos x x x 第31页/共39页 不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换. 只可对函数的因子作等价无穷小代换，只可对函数的因子作等价无穷小代换， 对对于代数和中各无穷小一般不能分别代换于代数和中各无穷小一般不能分别代换. . 注意注意 第32页/共39页 例例7 7 3 0 tansin lim. sin x xx x 求 解解 ,0时时当当 x )cos1(tansintanxxxx , 2 1 3 x sin ,xx 3 3 0 1 2 lim ( ) x x x 原式 1 . 2 加减法中一般不用等价无穷小代换 第33页/共39页 第34页/共39页 1、主要内容、主要内容 : 定义定义;关系关系;运算性质运算性质 . 2、几点注意、几点注意: 无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的. （1） 无穷小（大）是变量无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆不能与很小（大）的数混淆 ， 零是唯一的无穷小的数；零是唯一的无穷小的数； （2 2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小 ； （3） 无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大. 第35页/共39页 3、无穷小的比较、无穷小的比较 反映了同一过程中反映了同一过程中, 两无穷小