无穷小及比较PPT学习教案

1、会计学1 无穷小及比较无穷小及比较 第1页/共31页 1.定义定义1。 12: 定义定义 1 1 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 ( (不论它多么小不论它多么小),), 总存在正数总存在正数 ( (或正数或正数X),),使得对于适合不等式使得对于适合不等式 0 0 xx( (或或 xX) )的一切的一切x, ,对应的函数值对应的函数值 )(xf都满足不等式都满足不等式 )(xf, , 那末那末 称函数称函数)(xf当当 0 xx ( (或或 x) )时为无穷小时为无穷小, , 记作记作 ).0)(lim(0)(lim 0 xfxf xxx 或或 极限为零的变量称为极限为零的变量称

2、为无穷小无穷小. 第2页/共31页 例如例如, , 0sinlim 0 x x .0sin时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数xx , 0 1 lim x x . 1 时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数 x x , 0 )1( lim n n n . )1( 时的无穷小时的无穷小是当是当数列数列 n n n 注意注意 1.无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆; 2.零是可以作为无穷小的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的数. 第3页/共31页 2.无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系: 证证 必要性必要性,)(lim 0 Axf xx 设设 ,)()(Axfx

3、 令令 , 0)(lim 0 x xx 则有则有).()(xAxf 充分性充分性),()(xAxf 设设 ,)( 0时 时的的无无穷穷小小是是当当其其中中xxx )(lim)(lim 00 xAxf xxxx 则则)(lim 0 xA xx .A 定理定理 1 1。3 3 ),()()(lim 0 xAxfAxf xx 其中其中)(x 是当是当 0 xx 时的无穷小时的无穷小. 第4页/共31页 意义意义 1.将一般极限问题转化为特殊极限问题将一般极限问题转化为特殊极限问题(无无 穷小穷小); ).(,)( )(. 2 0 xAxf xxf 误差为误差为 附近的近似表达式附近的近似表达式在在给

4、出了函数给出了函数 3.无穷小的运算性质无穷小的运算性质: 性质性质1。1 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代有限个无穷小的代 数和仍是无穷小数和仍是无穷小. 证证,时的两个无穷小时的两个无穷小是当是当及及设设 x 使得使得, 0, 0, 0 21 NN 第5页/共31页 ; 2 1 时恒有时恒有当当Nx; 2 2 时恒有时恒有当当Nx ,max 21 NNN 取取恒有恒有时时当当,Nx 22 , )(0 x 注意注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. . 是无穷小，是无穷小，时时例如例如 n n 1 , .1 1 不是无穷小不是无穷小之和为之和为个

5、个但但 n n 第6页/共31页 性质性质1。2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证证内有界，内有界，在在设函数设函数),( 10 0 xUu . 0, 0, 0 101 Mu xxM 恒有恒有 时时使得当使得当则则 , 0时的无穷小 时的无穷小是当是当又设又设xx . 0, 0, 0 202 M xx 恒有恒有 时时使得当使得当 第7页/共31页 推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小积是无穷小. 推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论推论3 有限个无穷小的乘积也是

6、无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小. ,min 21 取取恒有恒有时时则当则当,0 0 xx uu M M , ., 0 为无穷小为无穷小时时当当 uxx x x x xx 1 arctan, 1 sin,0, 2 时时当当例如例如 都是无穷小都是无穷小 第8页/共31页 定义定义 1 1。1 13 3 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数M( (不论它多不论它多 么小么小),),总存在正数总存在正数 ( (或正数或正数X),),使得对于适合不等使得对于适合不等 式式 0 0 xx( (或或 xX) )的一切的一切x, ,所对应的函所对应的函 数值数值)(xf都满足不等式都满足不等式

7、Mxf )(, , 则称函数则称函数)(xf当当 0 xx ( (或或 x) )时为无穷大时为无穷大, , 记作记作 ).)(lim()(lim 0 xfxf xxx 或或 绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大. 第9页/共31页 特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大 )(lim()(lim )()( 00 xfxf x xx x xx 或或 注意注意 1.无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆; 3. 无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无但是无 界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大. .)(lim.

8、2 0 认为极限存在认为极限存在切勿将切勿将 xf xx 第10页/共31页 xx y 1 sin 1 ., 1 sin 1 ,0, 但不是无穷大但不是无穷大是一个无界变量是一个无界变量 时时当当例如例如 xx yx ), 3 , 2 , 1 , 0( 2 2 1 )1( 0 k k x取取 , 2 2)( 0 kxy .)(, 0 Mxyk 充分大时充分大时当当 ), 3 , 2 , 1 , 0( 2 1 )2( 0 k k x取取 , k xk充分大时充分大时当当 kkxy k 2sin2)(但但.0M 不是无穷大不是无穷大 无界，无界， 第11页/共31页 . 1 1 lim 1 x x

9、 证明证明例例 证证. 0 M , 1 1 M x 要使要使 , 1 1 M x 只要只要, 1 M 取取 , 1 10时时当当 M x . 1 1 M x 就有就有. 1 1 lim 1 x x . )(,)(lim: 0 0 的图形的铅直渐近线的图形的铅直渐近线 是函数是函数则直线则直线如果如果定义定义xfyxxxf xx 1 1 x y 第12页/共31页 定理定理 在同一过程中在同一过程中, ,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小; ; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. . 证证.)(lim 0 xf xx 设设 , 1 )( 0, 0, 0 0 xf

10、 xx 恒有恒有 时时使得当使得当 . )( 1 xf 即即 . )( 1 , 0 为无穷小为无穷小时时当当 xf xx 第13页/共31页 . 0)(, 0)(lim, 0 xfxf xx 且且设设反之反之 , 1 )( 0, 0, 0 0 M xf xxM 恒有恒有 时时使得当使得当 . )( 1 M xf 从而从而 . )( 1 , 0 为无穷大为无穷大时时当当 xf xx , 0)( xf由由于于 意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷都可归结为关于无穷 小的讨论小的讨论. 第14页/共31页 1、主要内容、主要内容 : 两个定义两个定义;四个定理四个定理;三个

11、推论三个推论. 2、几点注意、几点注意: 无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的. （1） 无穷小（无穷小（ 大）是变量大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数； （2 2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小. . （3） 无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大. 第15页/共31页 思考思考 题题 若若0)( xf，且且Axf x )(lim， 问问：能能否否保保证证有有0 A的的结结论论？试试举举例例说说明明. 第16页/共31页 思考题解答思考题

12、解答 不能保证不能保证. 例例 x xf 1 )( , 0 x有有0 1 )( x xf )(limxf x . 0 1 lim A x x 第17页/共31页 第18页/共31页 第一章函数极限连续第一章函数极限连续 1。6无穷小量的比较无穷小量的比较 定义定义1。14设设 ( x ) 和和 ( ( x ) 为为( ( x x0 或或 x ) ) 两个无穷小量两个无穷小量. 若它们的比有非零极限若它们的比有非零极限， c x x )( )( lim ， )0( c 若若 c = 1 ，则称则称 ( x ) 和和 ( (x ) 为等价无穷小量为等价无穷小量， 则称则称 (x ) 和和 ( (x

13、 ) 为同阶无穷小为同阶无穷小. 并记为并记为 ( x ) ( ( x )，( ( x x0 或或 x ) ) . 即即 第19页/共31页 例如，在例如，在 x 0 时时 sin x 和和 5 x 都是无穷小量都是无穷小量 ， 且且 . 5 1 5 sin lim 0 x x x 所以当所以当 x 0 时，时，sin x 和和 5 x 是同阶无穷小是同阶无穷小 量量. 又如，因为在又如，因为在 x 0 时时 ， x ，sin x，tan x， 1 - - cos x，ln(1 + + x) 等都是无穷小量等都是无穷小量. 第20页/共31页 , 1 sin lim 0 x x x , 1 t

14、an lim 0 x x x , 1 2 1 cos1 lim 2 0 x x x . 1 )1ln( lim 0 x x x 所以，当所以，当 x 0 时，时， x 与与 sin x， x 与与 tan x ， 都是等价无穷小量都是等价无穷小量 ， ),cos1( 2 1 2 xx 与与 x sin x， x tan x，ln(1 + x) x., 2 cos1 2 x x 即即 x 与与 ln(1 + x ) 并且并且 第21页/共31页 定义定义1。15设设 ( x ) 和和 ( (x ) 为为 x x0 ( (或或 x ) ) 时的无穷小量时的无穷小量， 0 )( )( lim x x

15、 则称当则称当 x x0 ( (或或 x ) )时时， ( x ) 是是 ( ( x ) 的的 高阶无穷小量高阶无穷小量， 例如，例如， x2, sin x 都是都是 x 0 时的无穷小量时的无穷小量, 且且 ， 0 sin lim 2 0 x x x 所以，当所以，当 x 0 时，时， x2 是是 sin x 的高阶无穷小量的高阶无穷小量 ，即，即 x2 = o(sin x). 或称或称 ( ( x ) 是是 ( x ) 的的低阶无穷低阶无穷 小量小量，记为记为 ( x ) = o ( ( ( x ) . 若它们的比的极限为零若它们的比的极限为零，即即 第22页/共31页 定理定理 1。4设

16、设 ( x ) 1 1( ( x )， ( x ) 1 1( ( x ) ， )( )( lim )( )( lim 1 1 x x x x . )( )( lim x x 或或 )( )( lim 1 1 x x 且且存在存在( (或无穷大量或无穷大量) )， )( )( lim x x 则则 也存在或也存在或( (无穷大量无穷大量) )，并且并且 第23页/共31页 ，和和1 )( )( lim 1 )( )( lim 11 x x x x 证证 由定理条件可知由定理条件可知 因此因此 有有 )( )( )( )( )( )( lim )( )( lim 1 1 1 1 x x x x x

17、 x x x )( )( lim )( )( lim )( )( lim 1 1 1 1 x x x x x x . )( )( lim 1 1 x x ，那么考虑，那么考虑若若0 )( )( lim )( )( lim 1 1 1 1 x x x x 即可仿上面的证法即可仿上面的证法 . 第24页/共31页 . 1e )1ln( lim 0 x x x 计算计算例例 1 解解因为因为 x 0 时时 ， ln (1 + x) x， ex - - 1 x， 所以所以 .1lim 1e )1ln( lim 00 x xx x x x 【见上次讲稿 例10 】 第25页/共31页 . 3 5tan

18、lim 0 x x x 计算计算例例 2 解解因为因为 x 0 时时 ， tan 5x 5x， 所以所以 . 3 5 3 5 lim 3 5tan lim 00 x x x x xx 第26页/共31页 例例3 3. cos1 2tan lim 2 0 x x x 求求 解解.22tan, 2 1 cos1,0 2 xxxxx 时时当当 2 2 0 2 1 )2( lim x x x 原式原式. 8 不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换. 对于代数和中各无穷小不能分别替换对于代数和中各无穷小不能分别替换. . 注意注意 第27页/共31页 . sin sintan lim 3 0 x xx x 计算计算 例例 4 解解. sin cos cos1 sin lim sin sintan lim 3 0 3 0 x x x