第7章-状态方程的列写

1、2021/3/111 1 1 基本概念基本概念 一一 割集割集 连通图连通图G G的一个割集是一个支路集合，把这些支路移去的一个割集是一个支路集合，把这些支路移去 将使将使G G分离为两部分，但若少移去其中一条支路，图仍将是分离为两部分，但若少移去其中一条支路，图仍将是 连通的。连通的。 7-9 状态方程的列写状态方程的列写 (1) (1) 定义定义 f e d c ba (a, d, e, f ) 是割集是割集 ? (a, b，c，d, e ) 是割集是割集 ? b c e f 2021/3/112 (2) 判断判断 、确定割集的方法、确定割集的方法 闭合面法闭合面法 f e d c ba

2、f e d c ba 对一个割集，其所有支路电流的代数和为零。对一个割集，其所有支路电流的代数和为零。 2021/3/113 (3) 独立割集独立割集 对应于一组线性独立的对应于一组线性独立的KCL方程的割集方程的割集 (4) 确定独立割集的方法借助于确定独立割集的方法借助于“树树”的方法的方法 1) 对连通图任选一棵树对连通图任选一棵树 2) 由一条树支和若干连支构成一个单树支割集由一条树支和若干连支构成一个单树支割集 3) 单树支割集构成一组独立割集单树支割集构成一组独立割集 4) 独立割集数树支数独立割集数树支数 f e d c ba 2021/3/114 二二. . 状态变量状态变量

3、x 状态：状态： 选定电路中一组选定电路中一组最少数量最少数量的变量的变量 X =x1, ,x2,xnT ， 如果当如果当 t = = t0 时这组变量时这组变量X( (t0) )和和 t t0 后的输入后的输入e(t)为已知，为已知， 就可以确定就可以确定t0及及t0以后任何时刻电路的响应。以后任何时刻电路的响应。 X(t0) e(t) t t0 称这一组称这一组最少数目最少数目的变量为状态变量。的变量为状态变量。 Y(t) t t0 某给定时刻电路必须具备的最少量信息，它们某给定时刻电路必须具备的最少量信息，它们 和从该时刻开始的任意输入一起就可完全确定和从该时刻开始的任意输入一起就可完全

4、确定 之后该电路在任何时刻的性状。之后该电路在任何时刻的性状。 状态变量：状态变量：电路的一组独立的动态变量，它们在任何时刻电路的一组独立的动态变量，它们在任何时刻 的值组成了该时刻的状态。的值组成了该时刻的状态。 2021/3/115 )30sin(20)( 0)0(3)0( o tte iVu LC 已知已知 输出输出: uL , iC , uR , iR 选状态变量选状态变量 uC ， ， iL 解解 由由 V10)0( 0)0( V3)0( e i u L C uL(0)=7V iC(0)= -1.5A iR(0)=1.5A uR(0)=3V 例例1 2 R uL C e(t) + -

5、 uC iL iC uR + - + - +- L iR 2021/3/116 推广至任一时刻推广至任一时刻 t1 )( )( )( 1 1 1 te ti tu L C uL(t1)=e(t1)-uC(t1) uR(t1)= uC(t1) iC(t1)= iL(t1)- uC(t1)/R iR(t1)= uC(t1)/R 可由可由 可见当可见当 t = = t1 时时 uC ， ， iL 和 和 t t1 后的输入后的输入e(t)为已为已 知，知，就可以确定就可以确定t1及及t1以后任何时刻系统的响应。以后任何时刻系统的响应。 问题问题: t1时刻的状态变量要求出来。时刻的状态变量要求出来。

6、 2021/3/117 三三. . 状态方程状态方程求解状态变量的方程，即对状态变量列出的一求解状态变量的方程，即对状态变量列出的一 阶微分方程阶微分方程 设设 uC , iL 为状态变量为状态变量 R u i t u Ci C L C C d d C L L ute t i Lu )( d d 列微分方程列微分方程 R C e(t) + - - uC iL + - - L iC + - uL 改写改写 LC C i C u RCt u11 d d )( 11 d d te L u Lt i C L 2021/3/118 矩阵形式矩阵形式 )( 1 0 0 1 11 d d d d te L

7、i u L CRC t i t u L C L C x=x1 x2 xnT T 21n xxxx 式中式中 uBxAx 一般形式一般形式 n n n r LC C i C u RCt u11 d d )( 11 d d te L u Lt i C L 特点特点 ( (1) ) 联列一阶微分方程组联列一阶微分方程组 ( (2) )左端为状态变量的一阶导数左端为状态变量的一阶导数 ( (3) )右端仅含状态变量和输入量右端仅含状态变量和输入量 n 1 r 1 2021/3/119 四四. 输出方程输出方程 )( 0 0 0 1 0/1 01 1/1 01 te i u R R i u i u L

8、C R R C L 特点特点 (1) 代数方程代数方程 (2) 用状态变量和输入量表示输出量用状态变量和输入量表示输出量 一般形式一般形式y=Cx+Du R uL C e(t) + - uC iL iC uR + - + - + - L uL=e(t)-uC(t) uR(t)= uC(t) iC(t)= iL(t)- uC(t)/R iR(t)= uC(t)/R 2021/3/1110 五五. 小结小结 (1) 状态变量和储能元件有联系，状态变量的个数等于状态变量和储能元件有联系，状态变量的个数等于 独立的储能元件个数独立的储能元件个数 (2)一般选择一般选择uC和和 iL为状态变量为状态变量

9、 (3)对单电容结点（割集）列写对单电容结点（割集）列写KCL方程方程 (4)对单电感回路列写对单电感回路列写KVL方程方程 (5)消去中间变量，并将方程整理为标准形式消去中间变量，并将方程整理为标准形式 注意：注意：状态变量的选择不唯一状态变量的选择不唯一 2021/3/1111 令令 x1 =uC , x2 =duC /dt 即即 )( 1 0 11 10 2 1 2 1 te LC x x RCLC x x 则则 )( 11 d d1 d d d d 2 2 2 21 te LC u LCt u RCt u x x t u x C CC C x1 x2 R C e(t) + - uC i

10、L + - L )( d d d d 2 2 teu t u R L t u LC C CC 2021/3/1112 2 状态方程的列写状态方程的列写 一一. 直观法直观法 选选 uC , i1 , i2为状态变量为状态变量 21 C d d ii t u C SC uRiiu t i L 121 1 1 )( d d R1 - + uS C uC iS iR R2 i2 L2 L1 - + i1 22121 2 2 )()( d d RiiuRiiu t i L SSC 含含duC/dt 电容节点列电容节点列KCL 含含diL/dt电感回路列电感回路列KVL 例例3 2021/3/1113

11、S S C C i u L R L L i i u L RR L R L L R L R L CC t i t i t u 2 1 2 1 2 1 2 21 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 0 1 00 1 1 11 0 d d d d d d 21 C d d ii t u C SC uRiiu t i L 121 1 1 )( d d 22121 2 2 )()( d d RiiuRiiu t i L SSC 2021/3/1114 例例4 L3 i3 uSR6 R5 C2 C1 L4 + - i5 i6 i4 + - + - u1 u2 2021/3/1115 例例4 L3

12、i3 uSR6 R5 C2 C1 L4 + - i5 i6 i4 + - + - u1 u2 选选 u1 , u2 , i3 , i4为状态变量为状态变量 45 1 1 d d ii t u C 56 2 2 d d ii t u C S uRiu t i L 662 3 3 d d 1266 4 4 d d uuRiu t i L S 消去非状态量消去非状态量 i5 , i6 i5= (u2-u1)/R5 i6 = i4 -i3 代入上式，整理代入上式，整理 2021/3/1116 S u L L i i u u L R L R LL L R L R L CCCRCR CCRCR i i u

13、 u 4 3 4 3 2 1 4 6 4 6 44 3 6 3 6 3 222525 11515 4 3 2 1 1 1 0 0 11 1 0 1111 1 0 11 2021/3/1117 例例5 + - e(t) 2F +- uC 3 2 4H 3H iL2 iL1 uR1 uR2 + + - - 2021/3/1118 1) 电容节点列电容节点列KCL , 电感回路列电感回路列KVL 3d d 2 1 1 R L C u i t u 1 1 d d 3 R L u t i 2 2 d d 4 R L u t i 2) 消去非状态量消去非状态量uR1， ， uR2 例例5 + - e(t)

14、 2F +- uC 3 2 4H 3H iL2 iL1 uR1 uR2 + + - - 12 21 21 43 LL RR RRC ii uu euuu 2021/3/1119 )( 1 . 0 2 . 0 1 . 0 3 . 03 . 01 . 0 4 . 04 . 02 . 0 2 . 03 . 01 . 0 2 1 2 1 te i i u i i u L L C L L C uR1= - -0.6 uC -1.2 iL1 +1.2 iL2 +0.6 e(t) uR2= -0.4 uC +1.2 iL1 -1.2 iL2 +0.4 e(t) 3d d 2 1 1 R L C u i t

15、u 1 1 d d 3 R L u t i 2 2 d d 4 R L u t i = - -0.2 uC +0.6 iL1 +0.4 iL2 +0.2 e(t) . 3iL1= - -0.6 uC - -1.2 iL1 +1.2 iL2 +0.6 e(t) 2uC= iL1 -0.2 uC - -0.4 iL1 +0.4 iL2 +0.2 e(t) . 4iL2= - -0.4 uC +1.2 iL1 - -1.2 iL2 +0.4 e(t) . 2021/3/1120 二二. 列写状态方程的一般方法列写状态方程的一般方法 1）选电感电流、电容电压为状态变量）选电感电流、电容电压为状态变量 2）选一棵特有树，）选一棵特有树， 其特点：其特点： 所有电容支路和电压源支路皆为树支所有电容支路和电压源支路皆为树支 所有电感支路和电流源支路皆为连支所有电感支路和电流源支路皆为连支 3）对单电容树支割集列写）对单电容树支割集列写KCL方程方