大一高等数学教材2-4

1、 2021/3/102 一、初等函数的求导问题一、初等函数的求导问题 xxx xx xx C tansec)(sec sec)(tan cos)(sin 0)( 2 1.常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式 xxx xx xx xx cotcsc)(csc csc)(cot sin)(cos )( 2 1 ax x aaa a xx ln 1 )(log ln)( x x ee xx 1 )(ln )( 2021/3/103 2 2 1 1 )(arctan 1 1 )(arcsin x x x x 2 2 1 1 )cot( 1 1 )(arccos x x x x ar

2、c 2.函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则 设设)(),(xvvxuu 可导，则可导，则 （1） vuvu )( , （ （2）uccu )( （3）vuvuuv )( , （ （4）)0()( 2 v v vuvu v u . ( ( 是常数是常数) )C 2021/3/104 3.复合函数的求导法则复合函数的求导法则 ).()()( )()(),( xufxy dx du du dy dx dy xfyxuufy 或或导数为导数为 的的则复合函数则复合函数而而设设 利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解 决决. 注意注

3、意: :初等函数的导数仍为初等函数初等函数的导数仍为初等函数. 2021/3/105 例例1 1.的的导导数数求求函函数数xxxy 解解)( 2 1 xxx xxx y )( 2 1 1( 2 1 xx xxxxx ) 2 1 1( 2 1 1( 2 1 xxx xxx . 8 124 2 2 xxxxxx xxxx 2021/3/106 例例2 2 .)(sin的的导导数数求求函函数数 nnn xfy 解解)(sin)(sin 1nnnnn xfxnfy )(sin)(sin 1nnn xxn 1 cos nn nxx ).(sin)(sin)(sin )(sincos 1 113 nnnn

4、n nnnnn xxfx xfxxn 2021/3/107 二、双曲函数与反双曲函数的导数二、双曲函数与反双曲函数的导数 xxcosh)(sinh xxsinh)(cosh x x x cosh sinh tanh x xx x 2 22 cosh sinhcosh )(tanh 即即 x x 2 cosh 1 )(tanh 2021/3/108 同理同理 ) 1 1( 1 1 22 x x xx 2 1 1 x 1 1 2 x 2 1 1 x )1ln(sinh 2 xxx ar 2 2 1 )1( )sinh( xx xx x ar ar)cosh( x ar)tanh( x 2021/3

5、/109 例例3 3.)harctan(tan的的导导数数求求函函数数xy 解解)(tanh tanh1 1 2 x x y xx 22 cosh 1 tanh1 1 x x x 2 2 2 cosh 1 cosh sinh 1 1 xx 22 sinhcosh 1 . sinh21 1 2 x 2021/3/1010 三、小结三、小结 任何初等函数的导数都可以按常数和基本初任何初等函数的导数都可以按常数和基本初 等函数的求导公式和上述求导法则求出等函数的求导公式和上述求导法则求出. 关键关键: 正确分解初等函数的复合结构正确分解初等函数的复合结构. 2021/3/1011 思考题思考题 幂函

6、数在其定义域内（幂函数在其定义域内（ ）. （1） 必可导；必可导； （2）必不可导；）必不可导； （3）不一定可导；）不一定可导； 2021/3/1012 思考题解答思考题解答 正确地选择是正确地选择是（3） 例例 3 2 )(xxf ),( x 在在 处不可导，处不可导，0 x )1( 2 )(xxf ),( x 在定义域内处处可导，在定义域内处处可导， )2( 2021/3/1013 一、一、 填空题：填空题： 1 1、 设设 n x x y ln ，则，则 y = =_._. 2 2、 设设 x y 1 cosln ，则，则 y = =_._. 3 3、 设设xxy ，则，则 y =

7、=_._. 4 4、 设设 tt tt ee ee y ，则，则 y = =_._. 5 5、 设设)999()2)(1()( xxxxxf则则 )0( f = =_._. 二二、 求求下下列列函函数数的的导导数数： 1 1、 )1tanh( 2 xy ； 2 2、 ysinhar)1( 2 x； 练练 习习 题题 2021/3/1014 3 3、 ycoshar)( 2x e； 4 4、 x xey cosh sinh ； 5 5、 2 ) 2 (arctan x y ； 6 6、 x ey 1 sin2 ； 7 7、 2 1 2 arcsin t t y . . 2021/3/1015 一、一、1 1、 1 ln1 n x xn ； 2 2、 xx 1 tan 1 2 ； 3 3、 xxx x 4 12 ； 4 4、 t 2 cosh 1 ； 5 5、-999!.-999!. 二、二、1 1、 )1(cosh 2 22 x x ； 2 2、 22 2 24 xx x ； 3 3、 1 2 4 2 x x e e ； 4 4、)sinh(cosh 2cosh xxe x ； 5