平面解析几何

1、2021/3/111 8 平面解析几何平面解析几何 2021/3/112 8.1 内容概述内容概述 解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其 本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现了 数形结合的重要数学思想。 与课程改革前相比，中学解析几何变化不大，主 体内容仍然是：直线与方程、圆与方程、圆锥曲 线与方程。只是前两者作为必修模块，统称为平 面解析几何初步，第三者则放到选修1-1和选修 2-1中。另外，还在平面解析几何初步中增加了 一点空间直角坐标系的简单知识。 2021/3/113 在“圆锥曲线与方程”模块中，学生将学习圆锥 曲线与方程，了解圆锥曲线与二次方程的关系， 掌握圆锥曲线的基本

2、几何性质，感受圆锥曲线在 刻画现实世界和解决实际问题中的作用。结合已 学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的 对应关系，进一步体会数形结合的思想。 在“平面解析几何初步”模块中，学生将在平面 直角坐标系中建立直线和圆的代数方程，运用代 数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系， 并了解空间直角坐标系。体会数形结合的思想， 初步形成用代数方法解决几何问题的能力。 2021/3/114 在“坐标系与参数方程”专题中，学生将了解曲 线的多种表现形式，体会从实际问题中抽象出数 学问题的过程，培养探究数学问题的兴趣和能力， 体会数学在实际中的应用价值，提高应用意识和 实践能力。 还有一点值得注意的是

3、，坐标系与参数方程在多 年退出后又作为选修专题4-4重新进入了中学数 学。该专题是解析几何初步、平面向量、三角函 数等知识的综合应用和进一步深化。其中，极坐 标系和参数方程是重点内容，而对于柱坐标系、 球坐标系等则只要求学生作简单了解。 2021/3/115 在平面解析几何初步的教学中，教师应帮助学生 经历如下的过程：首先将几何问题代数化，用代 数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问 题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结 果的几何含义，最终解决几何问题。这种思想应 贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地 体会“数形结合”的思想方法。 解析几何的教学要重视使学生经历“几何问题代 数

4、化处理代数问题分析代数结果的几何 意义解决几何问题”的过程，不断体会数形 结合的思想。 2021/3/116 直线和圆是最简单的几何图形。圆锥曲线在数学 上是一个非常重要的几何模型，有很多非常好的 几何性质。这些重要的几何性质在日常生活、社 会生产及其他科学中都有着重要而广泛的应用。 在引入圆锥曲线时，应通过丰富的实例（如行星 运行轨道、抛物运动轨迹、探照灯的镜面），使 学生了解圆锥曲线的背景与应用。教师可以向学 生展现圆锥曲线在实际中的应用，例如，投掷铅 球的运行轨迹、卫星的运行轨迹。 2021/3/117 8.2 问题研究问题研究 1、如何理解解析几何的基本思想？ 解析几何的基本思想当然是

5、数形结合。但是，数 形结合思想是以两个重要的思想观念为基础的： 一是坐标观念，一是运动变化的思想。 坐标观念通过位置量化，解决了点的代数化问题， 而运动变化思想则通过引入点动成线观念，实现 了曲线的代数化。笛卡尔的重要贡献在于他把运 动与变化的思想引入数学，从动态的角度解决几 何问题，把曲线看作是运动的轨迹。 2021/3/118 具体而言，运用坐标表示，使得几何的“点”和 代数的“数”之间构成对应关系，进而根据点动 成线，把曲线上的“几何点集”，和满足方程的 “坐标数集”对应起来，并且能够相互转换。通 过坐标把曲线的性质译成了代数的语言，使许多 曲线有了一般的表示法和统一的研究手段。 总之，

6、解析几何的基本手段是用坐标表示数，用 方程表示曲线，用代数方法来研究几何图形。这 种数和形之间的转换能力，是“数学双基”的一 部分，是数学思想的华彩乐章。 2021/3/119 中学数学教学比较重视建立坐标观念，而较忽视 解析几何中运动变化思想。无论是理解解析几何 思想本质(没有点动成线，何谈曲线方程)还是理 解数学学科发展，这都是不利的。 如所知，数学进步的一次重要飞跃是从常量数学 到变量数学。而变量数学的创立有两个主要标志： 解析几何和微积分。解析几何之所以列入，很重 要的在于它奠定了从动态角度解决一系列复杂代 数和几何问题的理论基础。以运动为基础，方程 与曲线统一起来，代数学与几何学统一

7、起来，运 动也由此顺理成章地进入了代数学，产生了函数。 2021/3/1110 从某种程度上讲，解析几何对变量数学的意义较 之微积分更为基本，它奠定了微积分研究的基础。 解析几何的历史贡献就在于它将坐标观念与运动 变化思想结合到一起。在解析几何创立之前，方 程是静态的，人们只关注如何求出方程的根。几 何研究虽然把曲线看作动点运动的轨迹，但是曲 线不能计算。只当解析几何把动点形成的曲线看 作是“坐标(数)”变化的结果，变数才破土而出。 2021/3/1111 牛顿在这基础上，将曲线看作是动点的路径，把 物体运动的轨迹表示为参数方程x=x(t), y=y(t). 然 后研究流数x(t)和y(t)；

8、莱布尼茨则从曲线的切 线入手研究曲线性质，在坐标系上观察曲线在一 点的切线斜率的变化。由此，诞生了微积分. 而追溯函数的来源，它正是对各种特殊的曲线的 概括，从而最终成为描述运动的工具. “数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数， 运动进入了数学.有了变数，辩证法进入了数学. 有了变数，微分和积分立刻成为必要的了.” （恩格斯自然辩证法 ） 2021/3/1112 2、曲线的方程为什么要满足纯粹性与完备性？ 曲线的方程和方程的曲线是解析几何的基本概念 和理论基石，它反映了曲线和方程之间的统一。 曲线可以看作适合某种条件的点的集合或轨迹， 曲线的方程则是平面上具有某种几何性质的点的 坐标之间关系

9、的反映，这样几何中的形和代数中 的数就统一起来，研究曲线的几何问题可以转化 为研究方程的代数问题；反过来，代数问题也可 以转化为几何问题来研究。 2021/3/1113 中学课本通常这样定义曲线的方程： 在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某 种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f (x, y)=0的实 数解建立了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的 曲线。 通常称条件(1)为方程的完备性(或曲线的纯粹性)， 称条件(2)为方程的纯粹性(或曲线的完备性)。但 曲线方程

10、为什么要满足纯粹性与完备性？ 2021/3/1114 对这个问题的解释一般是这样的： 如果缺少方程的完备性这个条件，就会使曲线上 有些点的坐标不满足方程，存在漏网之鱼；如果 缺少方程的纯粹性这个条件，就会使坐标满足方 程的有些点不在曲线上，造成鱼目混珠 现在问题是：漏网之鱼或鱼目混珠有何不好？或 者说，不满足纯粹性与完备性就不行吗？ 其实，如果联系解析几何的思想，这两个要求是 非常自然的。 2021/3/1115 解析几何的基本想法是用代数法研究几何问题。 能这样做的一个基本前提就是要给出几何对象的 代数表示。解析几何给出的方案是用坐标表示点， 用坐标集或方程表示曲线。 代数表示的一个基本要求

11、是应不多不少地表示相 应几何对象。多了少了都不是这个几何对象，而 只能是其他几何对象。 问题：解析法如何求两线交点？由此思考要求曲 线方程具有纯粹性与完备性的必要性。 2021/3/1116 3、何谓标准方程？ 解析几何是用代数的方法研究几何。具体地说， 是通过方程研究曲线。同样的曲线，对应的方程 可以不止一个。为了便于研究，我们当然应该优 先选择形式简单一些或者几何特征明显一些的方 程，这样的方程常称作标准方程。 以二次曲线为例。二次曲线的方程之所以复杂， 是由于坐标系的任意选取所产生的。如果选取适 当的坐标系，那么曲线方程就可以大为简化，这 也就是通常所说的标准方程。我们就是通过标准 方程

12、来研究相应曲线的性质的。 2021/3/1117 4、如何理解圆锥曲线的统一性 圆锥曲线是解析几何的核心内容，是解析几何基 本思想和基本方法的具体运用。高中学习三种圆 锥曲线是单独展开的，对它们统一性的揭示不够 充分。理解圆锥曲线的统一性至少有三个角度： 统一的来源、统一的定义、统一的方程。 2021/3/1118 统一的来源(圆锥截线的观点) 设圆锥面母线、截平面与轴线的夹角分别为, 截面不过圆锥顶点(非退化圆锥曲线) =/2时，曲线是圆； /2时，曲线是椭圆； =时，曲线是抛物线； 0时，曲线是双曲线 上述曲线离心率均为cos/cos 截面过圆锥顶点(退化圆锥曲线) /2时，曲线是一点；

13、=时，曲线是两条重合直线； 0时，曲线是两条相交直线 2021/3/1119 统一的定义(轨迹的观点) 平面上一个动点到一个定点和一条定直线的距离之比是 一个常数e，动点的轨迹叫做圆锥曲线这个定点叫做 焦点，定直线叫做准线常数e叫做离心率 当e1时是双曲线； 当e=1时是抛物线 2021/3/1120 统一的方程 极坐标方程 以焦点为极点，过焦点作准线的垂线，取焦点与垂足连 线的反向延长线为极轴，建立极坐标系 1cos ep e 直角坐标方程 圆锥曲线的直角坐标方程都是二次方程，因此，圆锥曲 线又称二次曲线。如果以焦点为原点，过焦点作准线的 垂线，取焦点与垂足连线的反向延长线为x轴，建立直 角

14、坐标系，则圆锥曲线的直角坐标方程为 其中p为焦点到准线的距离，e为离心率.下同 222222 (1)20exye pxe p 2021/3/1121 以上三种统一性都是根本的，它们导致圆锥曲线 有很多类似性质，这些类似性质又使得它们能作 为一个整体广泛应用于共同领域，尤其是推动了 天文学、力学和光学等学科的发展。因此圆锥曲 线的统一性还应理解为统一的性质、统一的应用。 例如，光学反射定律 如果光源放在抛物镜面的焦点上，则其光线经过抛 物面反射后，都平行于抛物面的轴射出；反之，亦然。 如果光源放在椭圆(双曲)镜面的一个焦点上，则其 光线经过镜面反射后，都汇聚于另一个焦点(就像是从 另一个焦点射出

15、一样)；反之，亦然。 2021/3/1122 光学反射定律其实反映的就是三种圆锥曲线的一 些类似性质。 抛物线上一点的焦半径与过该点平行于对称轴的直 线之间的夹角被抛物线在该点的法线所平分； 椭圆(双曲线)上一点的两条焦半径的夹角被椭圆(双 曲线)在该点的法线(切线)所平分. 2021/3/1123 又如，18世纪力学研究得出：凡是万有引力场中 运动的物体，其轨迹都是圆锥曲线；由于运动体 的初始条件不同，它们取相应不同的圆锥曲线的 轨迹。特别地，人造卫星运行的轨道的形状与水 平方向发射火箭的初速度的关系如下 2021/3/1124 5、如何定义圆锥曲线的切线 高中并没有定义圆锥曲线的切线，学生

16、理解圆锥 曲线的切线大多是类比圆的切线。 这样获得的认识未必都是正确的。如， 抛物线的对称轴与其只有一个交点，但它是抛物 线的切线吗？ 对圆而言，其切线就是与其只有一个交点的直线。 但其实，这一性质并不是切线的本质属性，它既 不充分也不必要。 2021/3/1125 从本质上讲，切线应一般理解为割线的极限位置， 这也是切线一词的直觉意义。 但这样的认识涉及到极限，对中学生不太适用。 一个现实可行的选择方案是推广与圆切线判定相 关的结论。 椭圆是圆的仿射图形，而双曲线和抛物线又是前 两者的射影图形。直线与圆之间的切线关系又是 一个仿射性质。因此，推广圆切线命题到圆锥曲 线涉及图形的度量性质、仿射

17、性质、射影性质以 及三者之间的关系。 2021/3/1126 判断直线是否为圆的切线一般有两种办法：一是 与过切点的半径垂直；二是与圆只有一个交点。 前者涉及到角度，是一个度量性质，只为圆所独 有，这种切线判定方法不能推广到圆的仿射图 形椭圆。 后者涉及到点与线之间的连结关系，是一个仿射 性质，因此自然可以推广到圆的仿射图形椭 圆。但它是否可推广到双曲线和抛物线的情形呢？ 2021/3/1127 双曲线和抛物线是圆和椭圆的射影图形，而点与 线的连结又是一个射影不变量，因此采用交点个 数判断直线是否为切线，总体思路是可行的。 但问题在于，射影平面包含有无穷远点。这样就 可能出现如下情形：直线与圆

18、锥曲线在欧氏平面 内有一个交点，在射影平面内却可能有两个交点 (另一个交点是无穷远点)。 怎样避免这种情况发生呢？解决办法是加上“重 合”两字。即，圆的切线是与圆有两个重合交点 的直线。这个定义可以推广到一般圆锥曲线。 2021/3/1128 6、如何看待解析几何成为教学难点？ 数学教育近些年的一个重要变化是，解析几何成 为了高中数学教学的一个难点。如何看待这一变 化？ 其实，不管是从研究内容还是研究方法来看，解 析几何都不应该成为教学难点。 2021/3/1129 从研究内容看，解析几何中的几何结论不超过平 面几何的范围。 高中生学习解析几何的主要任务就是学会代数语 言与几何语言之间的转换，

19、包括：如何将几何对 象代数化、如何将几何概念代数化、如何赋予代 数结论以几何意义。即，学习解析几何就是学习 用另一种方法研究已熟知的几何知识。 解析几何没有新的知识内容，只有新的思想观念 和方法。 2021/3/1130 从研究方法看，解析几何是用解析法研究几何。 解析法求解几何问题主要有四个步骤：第一步， 建立恰当坐标系。第二步，确定有关点的坐标和 曲线的方程。第三步，利用有关几何概念的意义、 解析几何公式进行计算。第四步，推断相应几何 结论。 解析法整体思路上可以算法化，是一个半算法化 的代数方法，易于学习。 2021/3/1131 我们认为，解析几何成为教学难点原因主要有二： 代数基本计

20、算技能和技巧训练不够。 几何基本概念的理解和直觉形成有所欠缺。 这些恐怕都要归因于初中教学要求的降低。 数学中很多知识和方法(如因式分解)，由于它的 基本重要性，不是想删除就可以删除，想降低要 求就是可以降低要求，想减少训练就可以减少训 练的。数学教学内容的改革应追求：“删繁就简 三秋树，领异标新二月花”(郑板桥) 2021/3/1132 8.3 错例辨析错例辨析 1.已知mR, 直线 l1: mx-y=0, l2: x+my-2m-1=0的 交点为 P, 求P点的轨迹方程. 辨析辨析：直线l1, l2不能相交于点B(0 ,2),因为此时 l1为直线 x=0, l2为直线 y=2, 这是不可能

21、 的.因此 P点的轨迹方程为 x2+y2-x-2y=0(除去点(0,2) . 解：很显然，两直线相互垂直。又因为直线l1过 定点O(0,0), 直线l2过定点A(1,2), 所以点P的轨迹 是以OA为直径的圆。由圆的直径式方程知，点P 的轨迹方程为x(x-1)+y(y-2)=0, 即x2+y2 -x-2y=0. 2021/3/1133 解：设两圆的交点为A, B, 它们的坐标均满 足方程 (x-2)2+y2=1, (x+2)2+y2=1.两式相减得, x=0.从而A, B两点均满足直线方程x=0.因 为两点决定一条直线，所以所求公共弦的 方程就是x=0. 辨析：辨析：两圆相离，所求公共弦并不存

22、在两圆相离，所求公共弦并不存在。 2. 求两圆C1: (x-2)2+y2=1与C2: (x+2)2+y2=1的 公共弦的方程。 2021/3/1134 3.已知椭圆的两焦点为F1(-1,0), F2 (1,0), P是椭圆 上一点, 且PF1PF2, |PF1|PF2| =8, 求椭圆的标准 方程。 解：由P是椭圆上一点，知|PF1|+|PF2| =2a 两边平方，得 |PF1|2+|PF2|2 +2|PF1|PF2|=4a2 又由PF1PF2, 知 |PF1|2+|PF2|2 =|F1F2|2=4c2 两式相减，得b2=4 又c2=|F1F2|2/4=1, 所以a2=b2+c2=5. 故所求

23、椭圆标准方程为x2/5+y2/4=1或x2/4+y2/5=1. 辨析：辨析：题设条件自相矛盾。事实上，方程组题设条件自相矛盾。事实上，方程组|PF1|PF2| =8, |PF1|+|PF2| =2 无无 解。考虑如何修改？解。考虑如何修改？ 5 2021/3/1135 4. 求以P(1,1)为中点的双曲线x2-y2/2=1的弦 所在的直线方程。 解法一：设直线与曲线的交点为A1(a,b), A2(c,d), 则有 a+c=2, b+d=2 a2-b2/2=1, c2-d2/2=1 后两式相减，得 a2-c2-(b2-d2)/2=0 从而 (b-d)/(a-c)=2(a+c)/(b+d)=2 故

24、所求直线方程为y-1=2(x-1), 即y =2x-1. 2021/3/1136 解法二：显然，所求直线不可能平行y轴。 因此，设直线方程为y-1=k(x-1), 将之代入 x2-y2/2=1中，消去y得 (2-k2)x2-(2k-2k2)x-k2+2k-3=0 根据韦达定理，有 (2k-2k2)/(2-k2)=2 从而 k=2 故所求直线方程为y-1=2(x-1), 即y =2x-1. 辨析：辨析：所求直线其实并不存在所求直线其实并不存在。事实上，将。事实上，将k=2代入代入(2-k2)x2-(2k-2k2)x- k2+2k-3=0得得-2x2+4x-3=0，该方程无解。，该方程无解。 20

25、21/3/1137 解：如图，设双曲线的左焦点为F1, 连接MO, 则|MN|= |MF2|-|NF2|=1/2|PF2|-4.又根据中位线定理知, |MO|=1/2|PF1|. 所以|MN|-|MO|=1/2|PF2|-4-1/2|PF1| =1/2( |PF2|- |PF1|)-4=1. 5.设双曲线 的左焦点为F2, 点P是双曲线右支上 的一点. O为坐标原点，圆O与双曲线相切，与PF2相切 于点N，M为线段PF2的中点，求|MN|-|MO|的值。 22 1 2516 xy 辨析：辨析：图不正确，点图不正确，点M应在点应在点N的左边。若不然，上述解答成立，其结果表的左边。若不然，上述解答

26、成立，其结果表 明明|MN|MO|. 而由图知而由图知|MN|MO|, 从而出现矛盾。另外，为保证点从而出现矛盾。另外，为保证点P存在，存在， 还需要验证直线还需要验证直线NF2的斜率的绝对值比双曲线渐近性小，本题不满足，因此题的斜率的绝对值比双曲线渐近性小，本题不满足，因此题 设其实是不成立的。考虑如何修改？设其实是不成立的。考虑如何修改？ 2021/3/1138 辨析：辨析：O不一定是直角顶点。试构造一个反例。不一定是直角顶点。试构造一个反例。 6.等腰直角三角形AOB内接于抛物线 , O为抛物线的顶点，求三角形AOB的面积。 2 2(0)ypxp 解：根据抛物线的对称性，知O为三角形AO

27、B的 直角顶点。联立y=x与 ，得A(2p, 2p).联立 y=-x与 ，得B(2p, -2p).所以三角形AOB的面 积为2p*4p/2=4p2 2 2ypx 2 2ypx 2021/3/1139 8.4 知识扩充：极坐标系介绍知识扩充：极坐标系介绍 点和坐标的对应关系是解析几何的基本观念之一。 坐标系是建立这种对应关系的工具，是解析几何 借以展现的舞台。 坐标系的多样性是一个值得注意的问题。在具体 数学问题中，如何架设比较合适的坐标系，使得 表示简洁，计算简便，是一个十分重要的问题。 坐标系的选择既包括选择不同的参照系，也包括 选择不同的坐标系类型。 2021/3/1140 用“距离和方向

28、”表示点的位置的坐标系称为极 坐标系。 在平面上取一定点O，由O出发的一条射线Ox， 一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时 针方向) 合称极坐标平面，定点O叫做极(点)，射 线Ox叫做极轴 极坐标系极坐标系 2021/3/1141 平面上任意一点P，用表示线段OP的长度，叫 做点P的极径，表示从Ox到OP的角度，0, 2)，叫做点 P的极角或幅角有序数对(, )叫 做点P的极坐标。极点的极径为零，极角不定， 这样建立的坐标系叫做狭义平面极坐标系 如果点P(0,0)(狭义平面极坐标系下)的极坐标也 表示成(-1)n0, 0+n)(n为整数)，这样建立的坐 标系叫做广义平面极坐标系。在广义平

29、面极坐标 系下，,(-,+)，即对,没有限制。 2021/3/1142 极坐标和直角坐标的一个很大的区别是：平面上 的点和它的直角坐标是一一对应的，但是在极坐 标系中，平面上的点和它的极坐标不是一一对应。 给定了和，在平面上可以确定唯一点，反过 来，给定平面上一点，它的极坐标可以有多种表 示法：(-1)n, +n)(n为整数)。 为了使点的极坐标能够确定，狭义平面极坐标系 对极径和极角作出限制，限定0，0 2(或-1时，方程=ep/(1-ecos)只表示双曲线的 右支。如果允许0, 所以此时，圆锥曲线的极坐标方程为： 0 1cos ep e 1cos ep e 当e1时， 圆锥曲线右支的极坐标方程为： 圆锥曲线左支的极坐标方程为： 1cos ep e 1cos ep e 2021/3/1149 任取圆锥曲线上点，设其极坐标为(,) 若点(,)落