函数的应用(2)幻灯片

1、 指数函数、对数函数和幂函数在社会学、经济指数函数、对数函数和幂函数在社会学、经济 学和核物理学等领域中有着广泛的应用。学和核物理学等领域中有着广泛的应用。 本节的重点是理解函数应用模型，难点是数本节的重点是理解函数应用模型，难点是数 学模型的建立。学模型的建立。 例例1、 1995年我国人口总数是年我国人口总数是12亿，如果人口的自然亿，如果人口的自然 年增长率控制在年增长率控制在1.25%，问哪一年我国人口总，问哪一年我国人口总 数将超过数将超过14亿？亿？ 解：设解：设x年后我国人口总数为年后我国人口总数为14亿，由题意得亿，由题意得 12 1 0.012514 x （） 即即 147

2、1 0.0125 126 x （） 两边取对数得两边取对数得1.0125lg7lg6xlg lg7lg6 12.4 1.0125 所以x lg() 所以所以13年后，即年后，即2008年我国人口总数将超过年我国人口总数将超过14亿亿 练习练习1 某林场现有木材某林场现有木材3万立方米，如果每年平均增万立方米，如果每年平均增 长长5，问大约经过多少年该林场木材量可增加到，问大约经过多少年该林场木材量可增加到4 万立方米？万立方米？(lg2=0.3010, lg3=0.4771, lg1.05=0.02119) 万立方米。年可以增长到即经过 解得： 为底的对数两边同取以 即 ）（则 万立方米，年可

3、以增长到解：设经过 46 89429.5 4771.03010.0202119.0 3lg4lg05.1lg 3 4 lg05.1lg 10 3 4 05.1 ,4%513 4 x x x x x x x 练习练习2： 某市某市1995年底人口为年底人口为500万，人均住万，人均住 房面积为房面积为8平方米，如果该城市每年人口平均平方米，如果该城市每年人口平均 增长率为增长率为1，而每年增加的住房面积为，而每年增加的住房面积为90万万 平方米，求平方米，求2005年底该城市人均住房面积是年底该城市人均住房面积是 多少平方米？（多少平方米？（1.0110=1.1047） 平方米。 所以人均住房面

4、积为： 万 人口数为： 万平方米。 年底的住房面积为：解： 868778. 835.5524900 35.5521047. 1500%)11 (500 490010908500 2005 10 y 例例2：按复利计算的一种储蓄，本金为：按复利计算的一种储蓄，本金为a，每期利息为，每期利息为 r，设本利和为，设本利和为y，存期为，存期为x，写出本利和，写出本利和y随存期随存期x变化变化 的函数式。如果存入本金的函数式。如果存入本金1000元，每期利率元，每期利率2.25%， 试计算试计算5期后的本利和是多少？期后的本利和是多少？(1.0225 5=1.1177) 注:复利是一种计算利息的方法,即

5、把前一 期的本金和利息加在一起算做本金,再计 算下一期的利息,我国现行定期储蓄中的 自动转存业务类似复利计息的储蓄. .r)a(1y x . r)a(1rr)a(1r)a(1y3 r)a(1r)ra(1r)a(1y2 r).a(1aray:期后本利和为1 解： x 322 3 2 2 1 期后本利和为： 期后本利和为： 期后本利和为： 7 .1117225.11000 %)25. 21 (1000 5%,25. 2)(1000 5 5 y xra 代入上式得： ，元将 例例3 一种放射性元素，最初的质量是500g,按每 年10%衰减: (1)、求t年后，这种放射性元素质量w的表 达式； （2）

6、、由求出的表达式，求这种放射性元 素的半衰期。 解解(1)由由最初的质量是500g， 经过经过1年，年，w=500（1-10%）=500 0.91 经过经过2年，年，w=500（1-10%）2=500 0.92 经过经过t年，年，w=500（1-10%）t=500 0.9t (2)、解方程、解方程 500 0.9t=250 0.9t=0.5 lg0.9t=lg0.5 tlg0.9=lg0.5 t=lg0.5/lg0.96.6 所以这种放射性元素的半衰期为所以这种放射性元素的半衰期为6.6年年 练习：练习： 一辆新汽车使用一段时间后，就值不到原来的价钱了。一辆新汽车使用一段时间后，就值不到原来的

7、价钱了。 假若一辆新车价值假若一辆新车价值18万元，按下列方式贬值：每年的车价万元，按下列方式贬值：每年的车价 是原来的是原来的 。问：购买。问：购买18个月后，此车贬值多少？从购买日个月后，此车贬值多少？从购买日 起起t个月后呢？（贬值量个月后呢？（贬值量Q原价原价P汽车现在价值汽车现在价值W） 解：先建立汽车的现价解：先建立汽车的现价W与使用时间与使用时间t（t以月为单位）以月为单位） 的函数关系的函数关系Wf（t）。）。 当当t0时，即刚买来，显然时，即刚买来，显然f（0）180000； 当当t12时，即买了一年，时，即买了一年，f（12）180000 120000； 3 2 当买了两年

8、后，当买了两年后，f（24）180000 80000； 2 3 2 一般地，一般地，f（12n）180000 。 n 3 2 设设t12n，则则f（t）180000 。 12 3 2 t 3 2 18个月后，个月后，W180000 98000， 2 3 3 2 Q1800009800082000，即贬值了即贬值了82000元。元。 从购买日起从购买日起t个月后，个月后，Q180000 。 12 3 2 1 t 1某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增 加一次过滤可减少水中杂质加一次过滤可减少水中杂质20，要使水，要使水 中杂质减少到原来的中杂质减少到原来的5以

9、下，则至少需要以下，则至少需要 过滤的次数为（）过滤的次数为（） （参考数据（参考数据lg20.3010，lg30.4771） A5 B10 C14 D15 C 练习练习 2、 深圳特区深圳特区1980年生产总值为年生产总值为2.7亿元，亿元， 1999年生产总值为年生产总值为1436.51亿元，问亿元，问19 年中每年平均增长多少？年中每年平均增长多少？ 3、 已知镭经过已知镭经过100年剩余原来的年剩余原来的95.76% 计算它约经过多少年剩余一半？计算它约经过多少年剩余一半？ 附加欣赏：附加欣赏：购买一件售价为5000元的商品， 采用分期付款的办法，每期付款数相同， 购买后1个月第1次付

10、款，再过1个月第2次 付款，如此下去，共付款5次后还清，如果 按月利率0.8%，每月利息按复利计算（上 月利息要计入下月本金），那么每期应付 款多少?(精确到1元） 分析分析：本题可通过逐月计算欠款来处理， 根据题意，第5个月的欠款数为零，据此可 得等量关系。 分析分析：利用分期付款的有关规定直接列出方程 解法解法2：设每月应付款x元 ， 那么到最后1次付款时（即商品购买5个月后） 付款金额的本利和为： （x+1.008x+1.0082x+1.0083x+1.0084x）元； 另外，5000元商品在购买后5个月后的本利和为 50001.0085元。 根据题意， x+1.008x+1.0082x+1.0083x+1.0084x=50001.0085 复利计算问题的关键在于需要了解分期付款到底是复利计算问题的关键在于需要了解分期付款到底是 怎么一回事，尤其要弄清以下情况和规定怎么一回事，尤其要弄清以下情况和规定： 在分期付款中，每月的利息均按复利计算；在分期付款中，每月的利息均按复利计算； 分期付款中规定每期所付款额相同；分期付款中规定每期所付款额相同； 分期付款时，商品售价和每期所付款额在货分期付款时，商品售价和每期所付款额在货 款全部付清前会随着时间推移而不断增值；款全部付清前会随