4向量的坐标运算精编版.doc

1、4 向量的坐标运算一基础知识：向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、 y ，使得axiy j 。 ( x, y) 叫做向量 a 的（直角）坐标。记作a ( x, y) 。向量的坐标运算（1）若 a (x1 , y1 ) ， b(x2 , y2 ) ，则： ab； ab；a。平面上两点间距离（）设 a ( x, y) ，则 | a |。（）若向量 a 的起点坐标和终点坐标分别为( x1 , y1 ) 、 (x2 , y2 ) ，则 | a |。这就是两点间的距离公式。向量的平

2、行与垂直的坐标表示设 a( x1 , y1 ) ， b( x2 , y2 ) ，则 a b； a b； a b二、基本题型：1若 a( x, 1) ， b(log 8 3,1)， a b ，则23 x2 3 x = .2. 已知(1,sin2),( 2,sin 2 ) ，其中，若，则的值等axbxx0,a ba btanx于3.已知向量 a (m, n)，b (5, 1) ，若向量 2a+b 与向量 a2b 共线，则 m n4.(2011 广东文 3) 已知向量 a(1,2), b (1,0), c(3, 4) ，若为实数， (ab) / c ，则=5. （ 2011 重庆文5) 已知向量 a

3、(1,k ), b(2,2) ，且 ab 与 a 共线，则 ab 的值为。6.（ 2012湖北文）已知向量a(1,0) ， b(1,1)，则（）与2ab 同向的单位向量的坐标表示为；（）向量 b3a 与向量 a 夹角的余弦值为 _。7已知平面向量 a( x,1) ， b( x, x2 ) ， 则向量 ab。（填上正确序号）平行于 x 轴；平行于第一、三象限的角平分线；平行于 y 轴；平行于第二、四象限的角平分线。1已知向量 a(2,1)，a b10， | ab |5 2 则| b |=。910已知向量a(2.2), b(5, k) ，若 | ab |不超过 5，则 k 的取值范围是。11已知向

4、量 a(cos,sin) ，向量 b( 3,1) ，则 | 2ab |的最大值、最小值分别是 、 。12 若 对 n 个 向 量 a1 , a2 , an ， 存 在 n 个 不 全 为 零 的 实 数 k1 , k2 , kn ， 使 得k1 a1k 2 a2kn an0 成立，则称向量为“线性相关”。依此规定能说明a1 (1,0) ，a2(1, 1)， a3(2,2)“线性相关”的实数依次可以取。（写出一组数值即可，不必考虑所有情况）13平面内给定三个向量a(3,2) ， b(1,2) ， c(4,1) ，回答下列问题：（1）求 3ab2c ；（2）求满足 a mbnc 的实数 m 、 n

5、 ；（ 3 ）若 (akc) (2ba) ，求 实数 k ；（ 4 ）设 d(x.y) 满足 (d c) (a b) 且| dc | 1，求 d。17m(1,1)，向量n 与向量m 夹角为 3，且 m?n11已知向量。（ ）求向量 n ；4（2）若向量 n 与向量 q (1,0)的夹角为，向量 p(cos A,2 cos2C)，其中 A、C为22ABC 的内角，且A 、 B 、 C 依次成等差数列。求| np |的取值范围。24 向量的坐标运算一基础知识：向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有

6、且只有一对实数x 、 y ，使得a xi y j 。 ( x, y) 叫做向量 a 的（直角）坐标。记作a( x, y) 。向量的坐标运算（1）若 a(x1 , y1 ) ， b(x2 , y2 ) ，则： a b； ab； a。平面上两点间距离（）设 a( x, y) ，则 | a |。（）若向量 a 的起点坐标和终点坐标分别为( x1 , y1 ) 、 (x2 , y2 ) ，则 | a |。这就是两点间的距离公式。向量的平行与垂直的坐标表示设 a( x1 , y1 ) ， b( x2 , y2 ) ，则 a b； a b；a b二、基本题型：1若 a( x,1) ， b(log 8 3,

7、1) ， a b ，则 23 x2 3 x = .1032. 已知(1,sin2),( 2,sin 2 ) ，其中，若，则的值等axbxx0,a ba btanx于 13.已知向量 a (m, n)，b (5, 1) ，若向量2a+b 与向量 a2b 共线，则 m 5n4.(2011 广东文 3)已知向量 a(1,2), b(1,0), c(3, 4)，若为实数， (ab) / c ，则=12解： ab(1,2)( ,0) (1,2) ，( ab) / c(1)42301235. （ 2011 重庆文 5) 已知向量 a(1,k ), b(2,2) ，且 ab 与 a 共线，则 a b 的值为

8、。46.（ 2012湖北文）已知向量a(1,0) ， b(1,1)，则（）与 2a b 同向的单位向量的坐标表示为；（）向量 b3a 与向量 a 夹角的余弦值为 _。7已知平面向量 a ( x,1) ， b( x, x2 ) ， 则向量 ab。（填上正确序号）平行于 x 轴；平行于第一、三象限的角平分线；平行于 y 轴；平行于第二、四象限的角平分线。解： ab(0,1x2 ) ,由 1x20及向量的性质可知 ,填。已知向量 a(2,1)，ab10， | a b |52 则| b |=。59解：由 ab52 知（ a+b） 2=a2+b 2+2ab=50，得 |b|=5 。10已知向量a(2.2

9、), b(5, k) ，若 | ab |不超过5，则 k 的取值范围是。6,411已知向量 a(cos,sin) ，向量 b (3,1)，则 | 2ab |的最大值、最小值分别是、。（4,0）12 若 对 n 个 向 量 a1 , a2 , an ， 存 在 n 个 不 全 为 零 的 实 数 k1 , k2 , kn ， 使 得k1 a1k 2 a2kn an0 成立，则称向量为“线性相关”。依此规定能说明a1 (1,0) ，a2(1,1) ， a3(2,2)“线性相关”的实数依次可以取。（写出一组数值即可，不必考虑所有情况）解：由 k1 a1k2 a2k3 a3k1k 22k3 0,0 ，

10、得2k30,k2 k1 k2 k3 =4 2 1，即只需写出比值为4 2 1的一组数即可，如 4、2、1，或 4、 2、 1。13平面内给定三个向量a (3,2) ， b ( 1,2) ， c (4,1) ，回答下列问题：（1）求 3ab 2c ；（2）求满足 a mb nc 的实数 m 、 n ；（ 3 ）若 (akc) (2ba) ，求 实数 k ；（ 4 ）设 d(x.y) 满足 (d c) (ab) 且4| d c | 1，求 d。（ 1） (0,6) ；（ 2） 58 ；（3）16；（4） (205 , 52 5)或 (205 , 52 5)）9913555517已知向量 m(1,1

11、)，向量 n 与向量 m 夹角为 3，且 m ? n1 。（ 1）求向量 n ；4(cos A,2 cos2 C ) ，其中 A 、 C 为（2）若向量 n 与向量 q(1,0) 的夹角为，向量 p22ABC 的内角，且A 、 B 、 C 依次成等差数列。求| np |的取值范围。解：设 n( x, y) ，由 m ? n1，有 xy1 。向量 n 与向量 m 夹角为 3，有 m ? n| m | ?|n | ?cos 3，44| n |1 ，则 x2y21 。x1,x0,即 n(1,0) ，或 n(0,1) 。由解得y0,或y1.（2）由向量 n 与向量 q 垂直知 n(0, 1) ，由 A 、 B 、 C 依次