与圆有关的最值问题

1、 一、到圆心距离的最值问题一、到圆心距离的最值问题; 二、到圆上一点距离的最值问题二、到圆上一点距离的最值问题; 三、与圆上一点的坐标有关的最值问题三、与圆上一点的坐标有关的最值问题; 四、与圆半径有关的最值问题四、与圆半径有关的最值问题. 一、到圆心距离的最值问题：一、到圆心距离的最值问题： 22 13480, 221 0, PxyPA PB xyxyA B CPACB 例：已知 是直线上的动点， 是圆的两条切线,是切点， 是圆心，求四边形面积的最小值。 22 111 1,1 ,1 xy Cr 解：已知圆可化为： 圆心半径 22 2 2 1 PACBPAC SSPAAC PCrrPC PAC

2、B SPC PC 求的最小值就是求的最小值， 而的最小值就是圆心到直线的距离. 22 348 3 34 9 12 2 d S 所求面积的最小值为 点评：求切线长时总是转化为 到圆心的距离和半径来求解。 二、到圆上一点距离的最值问题：二、到圆上一点距离的最值问题： 22 21 :250 PxyQ l xyPQ 例 ：已知 是圆上一点， 是直线 上一点，求的最小值。 0,01,Cr CHlH 解：圆心,半径 作与 . PQ CQCQCQ CH 求圆上一点 到 的距离可以转化为 圆心 到 的距离，而的最小 值就是圆心到直线的距离 点评：到圆上一点距离的最值问题 总是转化为到圆心距离的最值问题。 22

3、 11 005 151 12 PQCQCH PQ的最小值为 5-1 22 22 31,0 ,1,0344ABxy PPAPBP 例：已知定点和圆 上的动点 ，求使最值时点 的坐标。 2222 22 22 , 11 21 P x y PAPBxyxy xy 解：设 三、与圆上一点的坐标有关的最值问题：三、与圆上一点的坐标有关的最值问题： 22 22 344xyxy PO 上式中相当于在 上的点 到原点 的距离的平方。 22 0,0 , 3,4OP x y xy 作图不难知道，当共线时, 有最值。 22 22 9 12 , 55 21 28 , 55 Pxy Pxy 易求得时,最小为20 求得时,

4、最大为100 22 22 ,(1)1, 2 1 34 2 3 1 x yxy y xyxy x 练习1：求实数满足 求下列各式的最值： （）（ ）（ ） cos 1, 1sin 343cos44sin5sin()4 3491 x y xy xy 解：（）法一：令则 的最大值为 ，最小值为 34, 3 04 1 1,45,91 5 3491 xyt t tt xy 法二：设直线与圆相切时取最值 于是或 的最大值为 ，最小值为 2222 22 21: cos(1sin)22sin 40 xy xy 解：（ ）法一：由（）知 的最大值为 ，最小值为 22 22 ,(1)1, 2 1 34 2 3 1

5、 x yxy y xyxy x 练习1：求实数满足 求下列各式的最值： （）（ ）（ ） 22222 22 () (1)1 xyxy xy 法二：可看作圆 上的点到坐标原点距离 的平方的最值，亦可求解 y x o 1 2 31: 3sin ,sincos3 1cos 1sin()3 kkk kk 解：（ ）法一：由（）知 得 即 22 22 ,(1)1, 2 1 34 2 3 1 x yxy y xyxy x 练习1：求实数满足 求下列各式的最值： （）（ ）（ ） 22 334 sin(),1, 3 11 24 13 kk k kk y x 则 有最小值为 ，无最大值 22 2( 2) 1(

6、 1) (1)1( 1, 2) yy xx xyP 法二：可看作圆 上的点与两点的 连线的斜率最值，结合图形可求解 y xo ),(P21 1 四、与圆半径有关的最值问题：四、与圆半径有关的最值问题： 22 0 413 4312 x x yy xxy xy 例： 设，满 足求的 最 小 值 。 22 2 13 1,3. xyr Cr 解：设 则圆心,半径为 2 43120 xy rr 由图观察知，当圆与直线 相切是，半径 最小，即 最小。 O X Y Y=X 4x+3y=12 22 2 49 121 5 43 1 25 dr r 由圆心到直线的距离等于半径，得： 22 13xy 1 的 最 小

7、 值 25 22 22 2 xayb xaybr 点评：在线性规划中，求形如的 最值问题，总是转化为求圆 半径平方的最值问题。 22 2430 1 . 2 ., Cxyxy Cxy CP x yPM MOPMPO PMP 练习2：已知圆 ： 若圆 的切线在 轴和 轴上截距相等， 求切线的方程； 从圆 外一点向圆引切线， 为切点， 为坐标原点，且， 求使最小的点 的坐标。 22 2 226 1 26 k k k yx 由点到直线的距离公式得： 切线方程为 22 122 1,2 ,2 Cxy Cr 解： 1 .圆 可化为： 圆心半径 Cxyab设圆 的切线在 轴和 轴上的截距分别为 、 0 0 a

8、bykx kxy 当时，切线方程可设为 即 22 12 2 11 13 1030 a aa xyxy 由点到直线的距离公式得： 或 切线方程为或 01 0 xy ab ab xya 当时，切线方程可设为 即 26, 1030 yx xyxy 总之，所求切线方程为 或 2 222 2 3 2 2 9 56 4 PMPOxyyy yy 222 222 ,MCPMPCMC PMPOPCMCPO 2 .连结则 22 22 122 3 2 2 k xyxy xy 即 63 105 3333 3 2, 521010 5 yPM xP 当时，最小， 22 2210 , ,2,2 . 1 . 222 2 .

9、. Cxyxy lxyA BO OAa OBb ab Cl ab AB AOB 例5：已知与曲线 ： 相切的直线 交 轴, 轴于两点， 为原点, 求证曲线 与直线 相切的条件是 ； 求线段中点的轨迹方程； 3 求的面积的最小值。 22 1,1 1 222 abab ab ab 圆心到直线的距离等于1的 充要条件是 22 1.1 0 111 xy l a b bx ay ab Cxy 证明：直线的方程为 即 曲线 的方程为 2 .,ABM x y设中点为 则由中点坐标公式得 2 2 2 2 a x ax bby y 22222 1 11 2 xy xy M 代入 1 的结论: 这便是中点 的轨迹

10、方程。 11 3 .2 2 22 AOB Saba b 1223abab 322232 2 32 2 AOB ab S 的最小值为 0,0 , 4,0 ,0,3 , ABCA BCP PA PB PC 练习3：已知三个顶点坐标 ，点 是它的内切圆上一点， 求以为直径的三个圆面积之和 的最大值和最小值。 Y X C P AB ABC ABCARt 解：的三边长分别为3,4,5 是以 为直角顶点的 22 22 1,11 111 2210 r xy xyxy 内切圆的圆心，半径 内切圆的方程为 即 ,Px y设 点坐标为 222 22 2222 4 43 4 11 2 SPAPBPC xyxyxy

11、x maxmin 02 119 02 22 x xSxS 当时，；当时， 4(1)2 (2)3:1 (1)(2) :20 y x l xy 练习 ：设圆满足： 截 轴所得弦长为 ； 被 轴分成两圆弧，其弧长比为。 在满足条件的所有圆中，求圆心到 直线的距离最小的圆的方程。 ( , ),|,|.C a brCxyba解法一：设圆心,半径 则 到 轴, 轴距离分别为 2 Cx 由已知应有圆 截 轴所得劣弧的圆心角为 2y截 轴所得弦长为 |2 | :20 5 ab Cl xyd 圆心 到直线的距离 22 2 |2 2 brbr故即 22 1ar 得 22 12ab 得 22 22 112(1)(1)2xyxy所求圆方程：或 2222 222222 5|2 |44 42()21 dabaabb ababba min 5 5 abd“”当且仅当时成立，此时 22 12ab ab 11 11 aa bb 或 2r 4(1)2 (2)3:1 (1)(2) :20 y x l xy 练习 ：设圆满足： 截 轴所得弦长为 ； 被 轴分成两圆弧，其弧长比为。 在满足条件的所有圆中，求圆心到 直线