金融数学课件--(4)收益率

1、2021/6/71 收益率收益率 Yield Rate 孟生旺 中国人民大学统计学院 2021/6/72 问题：问题：已知一个项目的现金流，如何评价其收益的好坏？ 方法一：净现值法方法一：净现值法（net present value，NPV） 净现值大于零，表示项目有利可图。 净现值越大，表示项目的收益越好。 0 ( ) n t t t NPV iv R 资金流入的现值资金流出的现值 1. 现金流分析现金流分析 2021/6/73 方法二：收益率法方法二：收益率法 当资金流入的现值与资金流出的现值相等时，所对应 的利率 i 称为收益率收益率（yield rate）或 内部报酬率内部报酬率 （i

2、nternal rate of return，IRR） 资金流入的现值与资金流出的现值之差就是净现值， 所以收益率也是使得净现值为零的利率： 收益率越大，表示项目的收益越高。 0 ( )0 n t t t NPV iv R 2021/6/74 例例: 如果期初投资20万元，可以在今后的5年内每年末获得 5万元的收入。假设投资者A所要求的年收益率为7%，投 资者B所要求的年收益率为8%，试通过净现值法和收益率 法分别分析投资者A和投资者B的投资决策。 解：解：（1）该项目的净现值为 按A所要求的收益率7%计算，净现值为0.5万元，大于 零，可投资。 按B所要求的收益率8%计算，净现值为 0.03

3、6万元， 小于零，不可投资。 5| 205 a 2021/6/75 （2）如果令净现值等于零，即 可以计算出该项目的收益率为7.93%， 大于A所要求的收益率（7%），可行 小于B所要求的收益率（8%），不可行 5| 2050a 2021/6/76 例：例：下面的投资项目哪个更加有利： A）投资5年，每年的收益率为9 B）投资10年，每年的收益率为8 解：解：无法比较。项目A结束后，可以再投资5年，这时需要 考虑再投资的收益率。 结论：结论：使用收益率来比较各种投资方案只有当所有方案的 的投资期限都相同时才有效。 2021/6/77 收益率的唯一性收益率的唯一性 l思考：思考：对于一组确定的现

4、金流，它的收益率是否总是存在 且唯一？ l答案：答案：由于收益率是高次方程的解，所以有可能不存在， 也可能存在但不唯一。 2021/6/78 例（不存在）：例（不存在）： ，求收益率。 解解: 净现值净现值为 由于 ，因此该方程无实数解，不存 在收益率。 012 100,230,133RRR 2 ( )100230133NPV ivv 2 (1)2.3(1) 1.330ii 2 2.34 1.330.03 2021/6/79 收益率唯一性的条件收益率唯一性的条件 准则一准则一：计算资金净流入，如果资金净流入只改变过一次 符号，收益率将是唯一的。 准则二准则二：用收益率计算资金净流入的累积值 ，

5、如果始终 为负，直至在最后一年末才为零，那么这个收益率就是唯 一的。 （见下页例，收益率为9.98396% ） 2021/6/710 年度资金流出资金流入 资金净流入R t 资金净流 入的累积 值 0101010.00 11110.91 21438.43 31436.17 41434.12 51432.26 6440 合计15205 投资项目的资金流出和资金流入投资项目的资金流出和资金流入 5 6 2 10340 t t vvv 2021/6/711 多重收益率情况下的净现值多重收益率情况下的净现值 思考：思考：当收益率不唯一时，无法用收益率比较投资项目的 优劣。那么，是否可以用净现值比较呢？

6、 回答：回答：不行。当收益率不唯一时，净现值不再是利率的单 调递减函数。 例：例：某人在第一年初向一基金投资1000元，在第一年末， 他抽走年初投资的1000元本金，并从该基金中借出1150元， 在第二年末，他向该基金偿还了1155元清帐。试计算该项 投资的收益率。 2021/6/712 解：解：该题的资金净流入可列示如下： 时间： 0 1 2 净流入： 1000 2150 1155 假设收益率为i，则根据题意可建立下述方程： 1000+ 2150(1 + i)1 1155(1 + i)2 = 0 上述方程两边同时乘以(1 + i)2，并变形可得： 011)1 (1021)1 (20 5ii

7、2021/6/713 l所以 20(1 + i) 21 = 0 10(1 + i) 11 = 0 l从此可以求得两个不同的收益率：5%和10%。 l项目的净现值如下页图示。 2021/6/714 l如果投资者要求5%以下的收益率，净现值小于零，项目不可行。 l如果投资者要求5%10%的收益率，净现值大于零，项目又是可行的！ l如果要求10%以上的收益率，净现值小于零，项目又不可行。 2021/6/715 2. 再投资收益率再投资收益率 再投资：投资收入按新的利率进行投资。 例：例：考虑两种可选的投资项目 A）投资5年，每年的利率为9 B）投资10年，每年的利率为8 如果两种投资在10年期间的收

8、益无差异，计算项目A在 5年后的再投资收益率应为多少？ 5510 (10.09) (1)(10.08) 7.0 % 1 ii 2021/6/716 例：例：有一笔1000万元的贷款，期限为10年，年实际利率为 9%， 有下面三种还款方式： 本金和利息在第10年末一次还清； 每年末偿还当年的利息，本金在第10年末归还。 在10年内每年末偿还相同的金额。 假设偿还给银行的款项可按7的利率再投资，试比较在这 三种还款方式下银行的年收益率。 2021/6/717 解解: （1）贷款在10年末的累积值为 价值方程： i9 10 1000 1.092367.36 10 1000 (1)2367.36i 2

9、021/6/718 （2）所有付款在第10年末的累积值为 价值方程： i=8.42% 10 1000(1)2243.48i 10|0.07 100090100090(13.8164)2243.48s 2021/6/719 （3）所有付款在第10年末的累积值为 价值方程： i=7.97% 10 1000(1)2152.85i 10|0.07 10|0.09 1000 (155.82)(13.8164)2152.88s a 2021/6/720 基金的利息度量：基金的利息度量： 币值加权收益率币值加权收益率(dollar-weighted yield rate ) 基金的利息度量基金的利息度量(I

10、nterest measurement of a fund) ： 币值加权收益率(dollar-weighted yield rate )：投资者 时间加权收益率(time-weighted yield rate )：经理人 2021/6/721 币值加权收益率：简单近似币值加权收益率：简单近似 假设假设：本金在当期的变化是平稳的。 符号符号（仅考虑一个时期） 期初的本金余额：A0 期末累积值：A1 当期产生的利息： I 期末的本金余额：(A1 I) 当期的平均本金余额：(A0 + A1 I )/2 当期的收益率可近似表示为 0101 2 ()/2 II i AAIAAI 2021/6/722

11、 币值加权收益率：精确计算币值加权收益率：精确计算 假设：期初的本金为A0，在时刻t的新增投资为Ct，投资收 益率为i，在期末的累积值可表示为（仅考虑一个时期） (1) 0(1 )(1) t t t AiCi 注注：时刻t的新增投资额Ct 产生收益的时间长度为(1 t) 用A1表示期末的累积值，则有 (1) 01 (1)(1) t t t AiCiA 注：注：Ct 0表示增加投资； Ct 0表示减少投资。 解此方程即可求得收益率 i 2021/6/723 币值加权收益率：近似计算币值加权收益率：近似计算 对于不足一个时期的新增投资，用单利代替复利，即令 iti t )1 (1)1 ( )1(

12、(1) 0 0 (1)(1) (1)1(1) t t t t t AiCi AiCt i 则期末累积值可表示为 10 00 () (1)(1) t t tt tt AAC I i ACtACt 001 (1)() tt tt i ACtACA 2021/6/724 0 (1) t t I i ACt 对近似公式的解释：对近似公式的解释： （1）分母是加权平均本金余额，以本金产生利息的时间长度 为权数。 （2）如果进一步假设新增投资发生在期中，即t = 0.5，则 0 0.5 t t I i AC 这就是前述最简单的一个近似公式。 0 2 2 t t I AC 00 2 () t t I AAC

13、 01 2 () I AAI 2021/6/725 投资期限超过投资期限超过1年的情形年的情形 已知投资期是从0到n，第n期末的累积值为An 。第j期的新 增投资为Cj ，在复利方式下，第n期末的累积值为 通过数值方法可以解出币值加权收益率 i。 注：注：当 时，不能使用单利假设来近似计算。 0(1 )(1) nnj nj j AAiCi 1nj 2021/6/726 如果假设新增投资是连续的，即如果假设新增投资是连续的，即Ct 是是 t 的连续函数。的连续函数。用At 表示时刻t的累积值，则 解释解释：在时刻t的累积值等于初始本金积累t个时期，加上 新增投资Cs积累到时刻t。 0 0 (1)

14、(1) t tt s ts AAiCids 2021/6/727 4. 基金的利息度量：基金的利息度量： 时间加权收益率时间加权收益率（time-weighted rates of interest） 币值加权收益率： 受本金增减变化的影响。而本金的增减变化由投资者 决定。 可以衡量投资者的收益，但不能衡量经理人的经营业 绩。 时间加权收益率：扣除了本金增减变化的影响后所计算的 一种收益率。 衡量经理人的业绩。 2021/6/728 时间加权收益率（时间加权收益率（i）的一般公式）的一般公式 12 121 01111 (1)(1)(1)(1) T nT n nnnn AAAA ijjj AAC

15、ACAC 期初的本金为A0。在第 k 个时间区间末的累积值为Ak，新增投资为Ck（k = 1, 2, , n）。在期末T 的累积值为AT 2021/6/729 5. 收益分配收益分配 问题：问题： 基金是由不同的个体投资者组成。 在每个年度末，如何把基金的利息收入分配给每个投 资者？ 分配方法：分配方法： 投资组合法 投资年度法 2021/6/730 投资组合法投资组合法(portfolio methods) 适用情况适用情况：基金的收益率水平一直保持恒定 方法方法：按照基金的平均收益率，以及每个投资者的投资额 和投资时间，向每个投资者分配利息收入。 例：例：如果基金的收益率一直保持在6%的水平，某个投资 者的投资额是10000元，存入基金的时间是9个月，那么 应该分配给他的利息收入应该是 10000(1 + 0.06)0.75 10000 = 446.71（元） 2021/6/731 存在的问题存在的问题：在短期内，简单易行。如果投资期限较长， 收益率波动较大，可能不公平。 例：例： 假设假设：基金在最近3年的平均年收益率为8， 当年的收益率达到了10， 如果对新投资者仍然以8分配收益， 结果结果：可能会使其放弃对该基金的投资，或者不能吸