4微分中值定理与导数的应用PPT学习教案

1、会计学1 4微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用PPT课件课件 第一节 微分中值定理 一、 罗尔定理 定理1 (罗尔(Rolle)定理) 如果函数f(x)满足： (1) 在a,b上连续, (2) 在(a,b)内可导, (3) f(a)=f(b), 则至少存在一点(a,b), 使得f()=0 在曲线上至少存在一点C,在该点曲线具有水平切线 第1页/共87页 证 因为f(x)在a,b上连续,f(x)在a,b上必取得最大值M和最小值m (1) 如果M=m, 则f(x)在a,b上恒等于常数M, 因此,对一切x(a,b),都有 f(x)=0.于是定理自然成立. (2) 若Mm,由于f(a)=

2、f(b),因此M和m中至少有一个不等于f(a).设Mf(a),则f(x)应在(a,b)内的某一点处达到最大值,即f()=M,下面证明f()=0 (a,b), f()存在, x fxf x fxf f xx )()( lim )()( lim )( 00 第2页/共87页 因f(x)在达到最大值,所以不论x是正的还是负的,只要 +x(a,b),总有 f( + x)-f()0 当x0时, 0 )()( x fxf 0 )()( lim )( 0 x fxf f x 根据极限的保号性及f()的存在知 当x0时, 0 )()( x fxf 0 )()( lim )( 0 x fxf f x 从而必须有

3、f()=0. 第3页/共87页 例 验证罗尔定理对函数f(x)= x2-2x+3在区间-1,3上的正确性 注 罗尔定理的三个条件缺少其中任何一个,定理的结论将不一定成立. 显然函数f(x)= -2x+3在-1,3上满足罗尔定理的三个条件, 解 由f(x)=2x-2=2(x-1),可知f(1)=0, 因此存在=1(-1,3),使f(1) =0 第4页/共87页 二、 拉格朗日中值定理 定理2 若函数y=f(x)满足下列条件: (1) 在闭区间a,b上连续； (2) 在开区间(a,b)内可导 则至少存在一点(a,b),使得 ab afbf f )()( )( 证 作辅助函数 x ab afbf x

4、fxF )()( )()( F(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且 第5页/共87页 a ab afbf afaF )()( )()( b ab afbf bfbF )()( )()( 0)()(, )()( aFbFaFbF F(x)满足罗尔定理的条件,故至少存在一点(a,b),使得F()=0,即 0 )()( )()( ab afbf fF ab afbf f )()( )( 因此得 第6页/共87页 拉格朗日中值定理中的公式称为拉格朗日中值公式,也可以写成 f(b)-f(a)= f()(b-a) (ab) 是(a,b)中的一个点, =a+(b-a)(0 1),拉格朗 日中值公式还

5、可写成 f(b)-f(a)=(b-a)fa+ (b-a) (01) a与b分别换成x与x+x, b-a=x,拉格朗日中值公式写成 f(x+x)-f(x)=f(x+x)x (0). 称为有限增量公式 第7页/共87页 例 )(arctanarctan 211212 xxxxxx 其其中中证证明明不不等等式式 证 )()( 1 1 arctanarctan ,.arctan)( 2112 2 12 21 xxxxxx xxxxf 有有在在设设 .arctanarctan, 1 1 1 1212 2 xxxx 所所以以 第8页/共87页 推论1 如果f(x)在开区间(a,b)内可导,且f(x)0,则

6、在(a,b)内,f(x)恒为一个常数 几何意义是斜率处处为零的曲线一定是一条平行于x轴的直线 证 在(a,b)内任取两点x1, x2, 设x1 x2 ,显然f(x)在x1,x2上满足拉格朗日中值定理的条件 211212 )( )()()(xxxxfxfxf 因为 f(x)0,所以 f()=0 . 从而 f(x2)=f(x1) . 第9页/共87页 例 ).1( 2 arccosarcsin xxx 试试证证 )1 , 1(, 0 1 1 1 1 )( ,arccosarcsin)( 22 x xx xf xxxf则则令令 证 1 , 1, 2 arccosarcsin)( , 2 )1(, 2

7、 )0( )1 , 1(,)( xxxxf ff xCxf 故故 且且又因又因 得得 第10页/共87页 推论2 若f(x)及g(x)在(a,b)内可导,且对任意x(a,b),有f(x)=g(x),则在(a,b)内,f(x)=g(x)+C(C为常数). 证 因f(x)-g(x) =f(x)-g(x)=0, 由推论1,有f(x)-g(x)=C, 即f(x)=g(x)+C,x(a,b) 第11页/共87页 三、 柯西中值定理 定理3 (柯西中值定理) 若函数f(x)和g(x)满足以下条件: (1) 在闭区间a,b上连续, (2) 在开区间(a,b)内可导,且g(x)0, 那么在(a,b)内至少存在

8、一点,使得 )( )( )()( )()( g f agbg afbf 证 若g(a)=g(b),则由罗尔定理,至少存在一点1(a,b),使g(1)=0,这与定理的假设矛盾.故g(a)g(b). 第12页/共87页 作辅助函数 )( )()( )()( )()(xg agbg afbf xfxF F(x)满足罗尔定理的三个条件,于是在(a,b)内至少存在一点,使得 0)( )()( )()( )()( g agbg afbf fF 从而有 )( )( )()( )()( g f agbg afbf 第13页/共87页 例 . )()( )(- )( ),(: ,),(,)(,0 ab bafa

9、bf ff ba babaxfba 使使得得至至少少存存在在一一点点试试证证 内内可可导导在在上上连连续续在在函函数数设设 , , 1 )(, )( )( . 11 )()( 柯西中值定理的条件柯西中值定理的条件 上满足上满足它们在它们在令令 原式右边可写成原式右边可写成 ba x xG x xf xF ab a af b bf 证 第14页/共87页 ab aafbbf aGbG aFbF G F )()( )()( )()( )( )( 且有且有 ab bafabf ff x G x xfxfx F )()( )(- )( 1 )( , )()( )( 22 代入得代入得将将 第15页/共

10、87页 第二节 洛必达法则 一、 型未定式 0 0 定理1 设f(x),g(x)满足下列条件： (1) f(x)=0, g(x)=0； (2) f(x),g(x)在 内可导,且g(x)0； (3) 存在(或为) 则 0 lim xx 0 lim xx o U )( )( lim 0 xg xf xx )( )( lim )( )( lim 00 xg xf xg xf xxxx 第16页/共87页 证 由条件(1),设f(x0)=0,g(x0)=0. 由条件(1)和(2)知f(x)与g(x)在U(x0)内连续 设x ,则f(x)与g(x)在x0,x或x, x0 上满足柯西定理的条件, )( 0

11、 o xU )( )( )( )()( )()( )( )( 0 0 0 之之间间与与在在xx g f xgxg xfxf xg xf 当xx0时,显然有x0,由条件(3)得 )( )( lim )( )( lim )( )( lim 000 xg xf g f xg xf xxxxxx 第17页/共87页 注意: (1)如果 仍为 型未定式,且f(x),g(x)满足定理条件，则可继续使用洛必达法则； (2)洛必达法则仅适用于未定式求极限,运用洛必达法则时,要验证定理的条件,当 既不存在也不为时,不能运用洛必达法则 0 0 )( )( lim 0 xg xf xx )( )( lim 0 xg

12、 xf xx 第18页/共87页 例 . cossinsin lim 4 2 0 x xxxx x 求求 解 3 1 3 sin lim 3 sincoscos lim cossin lim sin lim cossin lim cossinsin lim 0 2 0 3 0 0 3 0 4 2 0 x xx x xxxx x xxx x x x xxx x xxxx xx x xx x 第19页/共87页 例 2 3 46 6 lim 443 123 lim 842 1612 lim 2 2 2 2 23 3 2 x x xx x xxx xx x x x . 842 1612 lim 23

13、 3 2 xxx xx x 求求 解 第20页/共87页 推论1 设f(x)与g(x)满足 (1) f(x)=0, g(x)=0; (2) 存在X0,当xX时,f(x)和g(x)可导,且g(x)0; (3) 存在(或为) 则 x lim x lim )( )( lim xg xf x )( )( lim )( )( lim xg xf xg xf xx 证 令x=1/t,则x时,t0 )( )( lim 1)1 ( 1)1 ( lim )1 ( )1 ( lim )( )( lim 2 2 00 xg xf ttg ttf tg tf xg xf xttx 第21页/共87页 例 . 1 )1

14、ln( lim x x a x 求求 解 a x a a x x a x a x x a x xx 1 lim 1 )()1( lim 1 )1ln( lim 2 1 第22页/共87页 二、 型未定式 定理2 设f(x),g(x)满足下列条件： (1) f(x)=, g(x)=； (2) f(x)和g(x)在 内可导,且g(x)0； (3) 存在(或为) 则 0 lim xx 0 lim xx )( 0 o xU )( )( lim 0 xg xf xx )( )( lim )( )( lim 00 xg xf xg xf xxxx 第23页/共87页 推论2 设f(x)与g(x)满足 (1

15、) f(x)=, g(x)=; (2) 存在X0,当xX时,f(x)和g(x)可导,且g(x)0; (3) 存在(或为) 则 x lim x lim )( )( lim xg xf x )( )( lim )( )( lim xg xf xg xf xx 第24页/共87页 例 0 1 lim 1 lim ln lim 1 a x a x a x ax ax x x x .0 ln lim a x x a x 求求 解 第25页/共87页 3 2 6 2cos2 6cos6 lim sincos6 3sin3cos6 lim cos3 3cos lim 3cos 3 cos 1 lim 3ta

16、n tan lim 2 2 2 2 2 2 2 22 x x xx xx x x x x x x x x xxx . 3tan tan lim 2 x x x 解 例 第26页/共87页 三、 其它未定式 若对某极限过程有f(x)0且g(x),则称limf(x)g(x)为0型未定式 若对某极限过程有f(x)且g(x),则称limf(x)-g(x)为-型未定式 若对某极限过程有f(x)且g(x),则称limf(x)g(x)为00型未定式 若对某极限过程有f(x)1且g(x),则称limf(x)g(x)为1型未定式 若对某极限过程有f(x)且g(x)0,则称limf(x)g(x)为0型未定式 第2

17、7页/共87页 例 0lim 2 1 2 1 lim ln limlnlim 2 0 3 0 2 0 2 0 x x x x x xx x xxx .lnlim 2 0 xx x 求求 解 第28页/共87页 例 解 xxyxy x lnsinln sin 则则设设 .lim sin 0 x x x 求求 0 sin lim cos 1 lim sin cos 1 lim sin 1 ln lim)ln(sinlimlnlim 2 00 2 0000 x x x x x x x x xxy xx xxxx 1elim ,eelimlim 0sin 0 lnlim ln 00 ln 0 x x

18、y y xx y x yey x 所以所以 有有由由 第29页/共87页 例 解 3 1tan lim 3 1 tan lim cos 1 lim 3 1 6 tansec2 lim 3 sec1 lim tan lim sin tan lim ),0(sin , 0 0 2 0 2 0 2 2 0 3 0 2 0 x x x x xx xx x x x xx xx xx xxx x xxx xxx 则有则有由由 换换先进行等价无穷小的代先进行等价无穷小的代 . sin tan lim 2 0 xx xx x 求求 第30页/共87页 第三节 泰勒公式 一、 泰勒公式 将一个复杂函数f(x)用

19、一个多项式Pn(x)a0a1x+ a1xn来近似表示 当x很小时,有ex1+x,sinxx, x n x n 1 11 两点不足： (1)精度不高,误差仅为x的高阶无穷小o(x); (2)没有准确好用的误差估计式 第31页/共87页 设f(x)在U(x0)内有直到n+1阶导数 (1) 试求一个关于x的n次多项式 使得在x0附近,有f(x)pn(x),换言之,要求 即f(x)和pn (x)在xx0处的函数值及k阶(kn)导数值相等. n nn xxaxxaxxaaxp)()()()( 0 2 02010 )()(,),()(),()( 0 )( 0 )( 0000 xpxfxpxfxpxf n

20、n n nn (2) 给出误差f(x)- pn(x)的表达式 将x=x0代入pn (x)的表达式,得到 )(),()( 00000 xfaxfxpa n 即即 第32页/共87页 对pn (x)求导,再将x=x0代入,得到 )(),()( 01001 xfaxfxpa n 即即 对pn (x)求导,再将x=x0代入,得到 ! 2 )( ),()(! 2 0 2002 xf axfxpa n 即即 , 2 , 1 , 0 ! )( 0 )( k k xf a k k n n n xx n xf xx xf xx xf xfxp )( ! )( )( ! 2 )( )( ! 1 )( )()( 0

21、 0 )( 2 0 0 0 0 0 第33页/共87页 定理(泰勒中值定理) 设函数f(x)在(a,b)内具有直到n+1阶导数,x0(a,b),则对于任意x(a,b),有 其中 (介于与x之间) )()( ! )( )( ! 2 )( )()()( 0 0 )( 2 0 0 000 xRxx n xf xx xf xxxfxfxf n n n 1 0 )1( )( )!1( )( )( n n n xx n f xR 证 令G(x)= (x=x0)n+1 函数f(x)在x= x0点的n阶泰勒展开式. 第34页/共87页 n n n xx n xf xx xf xxxfxfxfxR )( ! )

22、( )( ! 2 )( )()()()( 0 0 )( 2 0 0 000 在(a,b)内具有直到n+1阶的导数,且易求出 0)()()( 0 )( 00 xRxRxR n nnn )()( )1( 0 )1( xfxR nn n 0)()()( 0 )( 00 xGxGxG n nnn )!1()( )1( nxG n 第35页/共87页 ),( )( )( )()( )()( ),( )( )( )()( )()( ),( )( )( )()( )()( )( )( 10 )( )( 02 02 102 2 2 01 01 01 1 1 0 0 之之间间介介于于 之之间间介介于于 之之间间

23、介介于于 nn n n n n n nn nnn nnnn x G R xGG xRR x G R xGG xRR xx G R xGxG xRxR xG xR 对Rn(x)与G(x)在相应区间上使用柯西定理n+1次, 有 第36页/共87页 ),( )!1( )( )( )( )()( )()( 00 )1( )1( )1( 0 )()( 0 )()( 之之间间因因而而也也在在之之间间介介于于xxx n f G R xGG xRR n n n n n n n n n nn n n ),()( )!1( )( )( 0 1 0 )1( 之之间间介介于于于于是是xxxx n f xR n n n

24、 拉格朗日型余项 第37页/共87页 拉格朗日中值定理可看作是零阶(n=1)拉格朗日型余项的泰勒公式 )()()( 00 xxfxfxf 对于多项式pn(x)近似表达函数f(x),对于某个固定的n,当x在开区间(a,b)内变动时有 M(M为常数),则其误差有估计式 .而且 =0.从而当x x0时,Rn(x)是关于 的高阶无穷小,即余项又可以表示为 称这种形式的余项为皮亚诺(Peano)余项 )( )1( xf n 1 0 )!1( )( n n xx n M xR n n xx xx xR )( )( lim 0 0 n xx)( 0 )()( 0 n n xxoxR 第38页/共87页 当x

25、0 0时的泰勒公式,又称为马克劳林公式 1 )1()( 2 )!1( )( ! )0( ! 2 )0( )0()0()( n n n n x n f x n f x f xffxf 具有拉格朗日型余项的马克劳林公式也可写成 )10( )!1( )( ! )0( ! 2 )0( )0()0()( 1 )1( )( 2 n n n n x n xf x n f x f xffxf 第39页/共87页 二、 函数的泰勒展开式举例 例 求f(x)=ex的n阶麦克劳林公式. ).1 , 0(, )!1( )( )( ! 2 1e ), 2 , 1 , 0(1)0(,)( 1 2 )()( n x n n

26、 n x kxk x n e xR xo n xx x kfexf 其拉格朗日余项为其拉格朗日余项为 解 第40页/共87页 例 求f(x)=sinx的n阶麦克劳林公式. ), 2 , 1 , 0( 12,)1( 2, 0 )0( ),2 , 1 , 0)( 2 sin()( )( )( j jk jk f kkxxf j k k 故故 解 ).( )!12( )1( ! 5! 3 sin ,2 2 12 1 53 m m m xo m xxx xx mn 得得取取 第41页/共87页 )1 , 0(, )!12( cos )1( )!12( 2 )12( sin )( 12 12 2 mm

27、m m x m x x m m x xR 其拉格朗日余项为其拉格朗日余项为 第42页/共87页 例 求f(x)=ln(1+x)的n阶麦克劳林公式. )., 2 , 1()!1()1()0( ), 2 , 1( )1( )!1( )1()( 1)( 1)( nkkf k x k xf kk k kk 故故 解 .0 )1)(1( )1( 432 )1ln( ,), 1(, .0, )1( ! )1()(, 0)0( 1 1432 1 )1( 之间之间与与在在其中其中 时时当当于是于是 之间之间与与在在又又 x n xxxx xx x x n ff n n n n n 第43页/共87页 第四节

28、函数的单调性与极值 一、 函数的单调性 定理1 设f(x)C(a,b),且在(a,b)内可导,则 (1) 若对任意x(a,b),有f(x)0,则f(x)在a,b上严格单调增加; (2) 若对任意x(a,b),有f(x)0,则f(x)在a,b上严格单调减少. 证 对任意x1 , x2 a,b, 设x10, x(- /2, /2), 所以y=sinx在- /2, /2上严格单调增加. 例 证明y=sinx 在-/2, /2上严格单调增加. 第45页/共87页 函数单调增减区间的分界点是导数为零的点或导数不存在的点. 如果函数在定义域区间上连续,除去有限个导数不存在的点外导数存在,那么只要用f(x)

29、 =0的点及f(x)不存在的点来划分函数的定义域区间,在每一区间上判别导数的符号,便可求得函数的单调增减区间 第46页/共87页 例 ).1ln(,0, , 0)0()( ,), 0)( ), 0(, 0 1 )( ), 0()(),1ln()( xxx fxf xf x x x xf Cxfxxxf 时时当当因此因此 从而从而 严格单调增加严格单调增加在在故故 又又 则则令令 . )1ln(,0 xxx 有有时时证证明明当当 证 第47页/共87页 二、 函数的极值 定义1 设f(x)在x0的某邻域U(x0)内有定义.若对任意x (x0),有 f(x)f(x0)f(x)f(x0), 则称f(

30、x)在点x0处取得极大值(极小值)f(x0),称为极大值点(极小值点) U 极大值和极小值统称为极值,极大值点和极小值点统称为极值点 第48页/共87页 . 0)( ,)( , )( 0 00 xf xfx Ixf 则必有则必有 存在存在且且处取极值处取极值在该区间的内点在该区间的内点内有定义内有定义 在某区间在某区间设函数设函数)( 2定定理理费费马马定定理理Fermat 0 )()( lim)( 0 )()( ,),( ,)( 0 0 0 0 0 00 0 0 0 xx xfxf xf xx xfxf xxxUx xf xx 故故 有有时时当当对任意对任意 则由定义则由定义为极大值为极大值

31、不妨设不妨设证证 第49页/共87页 0)( 0 )()( lim)( 0 )()( , 0 0 0 0 0 0 0 0 xf xx xfxf xf xx xfxf xx xx 从而得到从而得到 有有时时当当 通常称f(x)=0的根为函数f(x)的驻点. 可导函数的极值点一定是驻点 第50页/共87页 3定理定理 .)(, 0)( ),(, 0)( ),()2( ;)(, 0)( ),(, 0)( ),()1( ,)(,)( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 取得极小值取得极小值在在则则 对任意对任意若对任意若对任意 取得极大值取得极大值在在则则 对任意对任意若对任意若对任意

32、 内可导内可导在在处连续处连续在在设设 xxfxf xUxxfxUx xxfxf xUxxfxUx xUxxf 第51页/共87页 .)( ),()(, 0)( , 0)( .),)( )()( ),(, ),()(, 0)( , 0)( .),)( )()( ),(,),1( 0 02 20020 0 0 01 01010 0 0 取极大值取极大值在在从而从而 故故得得由由 有有对任意对任意同理同理 故故得得由由 有有 对任意对任意由拉格朗日中值定理由拉格朗日中值定理只证只证证证 xxf xfxffxf xxxxfxfxf xUx xfxffxf xxxxfxfxf xUx 第52页/共87

33、页 例 .22)3( ,10)1()( ;0)( ,), 3( ;0)( ,)3 , 1( ;0)( ,)1,( , 3, 1, 0)( )3)(1(3963)( 21 2 f fxf xfx xfx xfx xxxf xxxxxf 极极小小值值为为 的的极极大大值值为为故故得得 时时当当 时时当当 时时当当 得得驻驻点点令令 .593)( 23 的极值的极值求求 xxxxf 解 第53页/共87页 第54页/共87页 4定理定理 .)(,0)()2( ;)(,0)()1( , 0)( , 0)(,)()( 00 00 0 00 取极小值取极小值在在时时当当 取极大值取极大值在在时时当当 则则

34、 且且内具有二阶导数内具有二阶导数在在设设 xxfxf xxfxf xf xfxUxf ).)()( !2 )( )()( , 0)( )( 2 0 2 0 0 0 0 0 xxoxx xf xfxf xf xxf 得得并注意到并注意到 处展开为二阶泰勒公式处展开为二阶泰勒公式在在将将证证 第55页/共87页 ,),( ),(),(, )()(, 0 0 00 0 2 0 2 00 第一项第一项上式右端的正负取决于上式右端的正负取决于时时 使当使当所以所以的无穷小量的无穷小量 高阶高阶是比是比时时因为因为 xUx xUxU xxxxoxx ;)(),()( ),(,0)( ;)(),()( )

35、,(,0)( 00 0 0 0 00 0 0 0 为极大值为极大值即即 有有对任意对任意时时当当 为极小值为极小值即即 有有对任意对任意时时故当故当 xfxfxf xUxxf xfxfxf xUxxf 第56页/共87页 .2)1(, 06)1( ;2)1(, 06)1( , 10)( 6)( )1)(1(333)( 2 为极小值为极小值所以所以 为极大值为极大值所以所以 由于由于得得令令 ff ff xxf xxf xxxxf .3)( 3 的极值的极值求求xxxf 例 解 第57页/共87页 第五节 最优化问题 求一个函数(称为目标函数)的最大值或最小值问题. . )(, ,),(, ,)

36、( , ),(),()( 21 导数不存在的点导数不存在的点 的极值点只能是驻点或的极值点只能是驻点或而而它一定也是极值它一定也是极值 则则内取得内取得若最值在若最值在取得最大值和最小值取得最大值和最小值 上必上必在在定理知定理知闭区间连续函数的最值闭区间连续函数的最值 由由设其为设其为驻点或导数不存在的点驻点或导数不存在的点 内只有有限个内只有有限个且在且在若若 xf ba baxf xxx babaCxf n 第58页/共87页 )(),(),(),()(max )(),(),(, )(max)(max ,)(, , 1 , 1 , bfxfxfafmixxf bfxfxfafxf bax

37、f bxax n bax n bax 上的最值上的最值在在于是于是达到达到 处处或或端点端点最值点也可能在区间的最值点也可能在区间的 第59页/共87页 . 3 , 128)( 24 最小值最小值 上的最大值和上的最大值和在在求求 xxxf .14)2()(min ,11)3()(max,3 , 1 .11)3(,14)2( , 2)0(, 5)1( ).3 , 1( , 2, 0 , 0)2)(2(4)( 3, 1 3, 1 321 fxf fxf ff ff xxx xxxxf x x 上上故在故在 计算出计算出 舍去舍去得驻点得驻点 由由 例 解 第60页/共87页 .)(,)( ,)(

38、;)( ,)(,)()2( .)(,)( ,)()(, ),(),()()1( 0 为最小值为最小值为最大值为最大值 则则上单调减少上单调减少在在若若为最大值为最大值 为最小值为最小值则则上单调增加上单调增加在在若若 值值小小上的最大上的最大在在 它就是它就是值时值时小小为极大为极大则当则当一个极值点一个极值点 内也只有唯一内也只有唯一且在且在若若 bfaf baxfbf afbaxf baxf xf babaCxf 第61页/共87页 一、 最大利润与最小成本问题 设某种产品的总成本函数为C(Q),总收益函数为R(Q) (Q为产量),则总利润L可表示为 L(Q) R(Q)- C(Q) 假如L

39、(Q)在(0,+)内二阶可导,则要使利润最大,必须使产量Q满足条件L(Q)=0,即 R(Q)=C(Q) 表明产出的边际收益等于边际成本 还要求L(Q)=R(Q)-C(Q)0,即 R(Q) C(Q) “最大利润原则” “亏损最小原则” 第62页/共87页 单位成本(即平均成本)最小的问题 设某种产品的总成本为C(Q),则生产的平均成本为 Q QC QC )( )( 最小,必须使产量Q满足条件 )(QC0 )( QC )()(QCQC 表明产出的边际成本等于平均成本 第63页/共87页 ?,60 001. 030601000 32 获最大利润获最大利润问每日产量为多少时可问每日产量为多少时可元元产

40、品单价为产品单价为 成本函数为成本函数为设每日生产某产品的总设每日生产某产品的总 QQ.Q-C(Q) 例 解 总收益 R(Q)=PQ=60Q, 总利润 L(Q)R(Q)C(Q) )0(001. 0301000 32 QQQ. 令L(Q)=0,得唯一驻点Q0=200, 又L(Q0)=L (200)=-0.60， 所以当日产量为Q0 =200单位时可获最大利润. 最大利润为 L(200) =3000(元) 第64页/共87页 二、 库存问题 假定计划期内货物的总需求为R,考虑分n次均匀进货且不允许缺货的进货模型. 设计划期为T天,待求的进货次数为n,那么每次进货的批量为q= ,进货周期为t= ,再

41、设每件物品贮存一天的费用为c1,每次进货的费用为c2, 在计划期(T天)内总费用E由两部分组成 nR nT 第65页/共87页 (1) 进货费 (2) 贮存费 q Rc ncE 2 21 Tc q E 12 2 于是总费用E可表示为批量q的函数 qTc q Rc EEE 1 2 21 2 1 最优批量q*应使一元函数E=f(q)达到极小值, 0 2 1 d d 1 2 2 Tc q Rc q E Tc Rc q 1 2 2 * 第66页/共87页 最优进货次数为 2 1 2* * c TRc q R n 最优进货周期 Rc Tc n T t 1 2 2 * * 最小总费用 TRcc Tc Rc

42、 Tc Rc Tc RcE 21 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 * 第67页/共87页 三、 复利问题 例 设林场的林木价值是时间t的增函数V= ,又设在树木生长期间保养费用为零,试求最佳伐木出售的时间 t 2 解 如果考虑到资金的时间因素, 晚砍伐所得收益与早砍伐所得收益不能简单相比,而应折成现值 设年利率为r,则在时刻t伐木所得收益V(t)= 的现值,按连续复利计算应为 t 2 ntn tVtA e2e )()( 第68页/共87页 ) 2 2ln )(e2 2 e ln22)(r t tAr t tA nt n t ntn tVtA e2e )()( 2 ) 2 2ln (

43、, 0)( r ttA 得驻点得驻点令令 ) 2 2ln )() 2 2ln )( ) 2 2ln )()( r t tAr t tAr t tAtA 0)( t A .,) 2 2ln ( 2 将树木砍伐出售最有利将树木砍伐出售最有利时时当当 r t 第69页/共87页 四、 其他优化问题 例 巴巴拉小姐得到纽约市隧道管理局一份工作,她的第一项任务是决定每辆汽车以多大速度通过隧道,可使车流量最大.经观测,她找到了一个很好的描述平均车速v(kmh)与车流量f(v)(辆/秒)关系的数学模型 试问:平均车速多大时,车流量最大?最大车流量是多少? 1 .31226 . 1 35 )( 2 vv v

44、vf 第70页/共87页 1 .31226 . 1 35 )( 2 vv v vf 解 0 )1 .31226 . 1( 32 35 1 .3135 )( 22 2 vv v vf令令 得唯一驻点v26.15(kmh).由于这是一个实际问题，所以函数的最大值必存在. 当车速v26.15kmh时,车流量最大,且最大车流量为 f(26.15)8.8(辆/秒). 第71页/共87页 第六节 函数的凸性、曲线的拐点及渐近线 一、函数的凸性、曲线的拐点 xxgxxf )()( 2 在(0,)上都是单调的,但它们增长方式不同,从几何上来说，两条曲线弯曲方向不同. 函数图形向上或向下凸的性质称为函数的凸性.

45、 第72页/共87页 向下凸的曲线,其上任意两点间的弧段总位于联结两点的弦的下方,向上凸的情形正好相反 在曲线y=f(x)上任取两点(x1, y1)和(x2, y2), 设x10,则f(x)在a,b上是严格下凸的; (2)若在(a,b)内f“ (x)0,则f(x)在a,b上是严格上凸的. ., 06,0 , 06,0 6,3 2 曲线是下凸的曲线是下凸的时时当当 曲线是上凸的曲线是上凸的时时当当 xyx xyx xyxy 例 . 3的凸性 的凸性讨论函数讨论函数xy 解 第76页/共87页 定义2 设f(x)C(U(x0),若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)的左右两侧凸性相反,则称点(x0,f(x0)为该曲线的拐点 ., 3 并并求求拐拐点点的的凸凸性性讨讨论论xy 例 解 . ),(,0 , 9 2 , 3 1 ,0,),(